Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. FaktoriseringChevronRight
  5. PolynomdivisjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Polynomdivisjon

Du har tidligere lært å dividere tall. Nå skal vi dividere polynomer. Framgangsmåten er ganske lik.

Du husker sikkert også at noen divisjoner «gikk opp», vi fikk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfeller kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere tallet vi startet med.

Eksempel

231:7=332121210

Dette betyr at 231=33·7.

På tilsvarende måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynomer.

Eksempel

Vi ser på tredjegradspolynomet  2x3-7x2+2x+3.

Vi setter inn  x=1  i polynomet og får

2·13-7·12+2·1+3=2-7+2+3=0.

Dette betyr at  x=1  er et nullpunkt for polynomet. x-1  er en faktor i 2x3-7x2+2x+3, og divisjonen  2x3-7x2+2x+3:x-1  vil «gå opp».

Vi skal nå se på hvordan vi utfører selve divisjonen.

Selve divisjonen

Forklaring

(2x37x2+2x+3):(x1)=2x25x3 (2x32x2)5x2+2x(5x2+5x)3x+3(3x+3)0

 2x3:x=2x2 (x1)·2x2=2x3-2x2(2x37x+2x)(2x32x2)=5x2+2x5x2:x=5x, (x1)·(5x)=5x2+5x5x2+2x+3(5x2+5x)=3x+33x:x=3, (x-1)·(3)=3x+33x+3(3x+3)=0

Vi fikk «rest lik 0». Det betyr at divisjonen «gikk opp».

Vi kan da skrive

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Andregradspolynomet kan vi nå faktorisere videre ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi setter 2x2-5x-3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

2x2-5x-3 = 0            x=--5±-52-4·2·-32·2            x=5±74            x1=3    x2=-12

Det betyr at

2x2-5x-3=2x-3x--12=2x-3x+12=x-32x+1

Her har vi multiplisert inn 2-tallet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

2x3-7x2+2x+3 = 2x2-5x-3x-1=x-32x+1x-1

Vi får det samme resultat i CAS i GeoGebra ved å skrive inn tredjegradsuttrykket og bruke knappen for faktorisering.

2x3-7x2+2x+31Faktoriser: x-3x-12x+1

Læringsressurser

Faktorisering