Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. FaktoriseringChevronRight
  5. Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomer

Du har tidligere lært å dividere tall. Nå skal vi dividere polynomer. Framgangsmåten er ganske lik.

Polynomet 2x3-7x2+2x+3 er et eksempel på et tredjegradspolynom. Den høyeste eksponenten x har, er tre. Polynomet inneholder et tredjegradsledd, et andregradsledd, et førstegradsledd og et konstantledd.

Vi har sett at vi kan faktorisere andregradspolynomer ved å bruke nullpunktmetoden. Vi må da løse en andregradslikning. Tilsvarende kan tredjegradspolynomer faktoriseres ved først å løse tredjegradslikninger. Å løse generelle tredjegradslikninger ligger utenfor kompetansemålene i 1T. Men det fins en metode som gjør oss istand til å løse mange tredjegradslikninger og alle som er aktuelle i 1T.

Vi har sett at for et generelt andregradspolynom gjelder

ax2+bx+c=ax-x1x-x2 hvor x1 og x2 er nullpunkter til ax2+bx+c.

Tilsvarende kan det vises at for et generelt tredjegradspolynom gjelder

ax3+bx2+cx+d=ax-x1x-x2x-x3

hvor x1, x2 og x3 er nullpunktene til ax3+bx2+cx+d.

Dette betyr at hvis vi kan finne et nullpunkt x1, for tredjegradspolynomet (for eksempel ved prøving og feiling), så vet vi at x-x1 må være en faktor i uttrykket. Med andre ord er det mulig å dividere polynomet vårt med x-x1. Dette kalles polynomdivisjon. Det vi da står igjen med er et andregradspolynom som vi kan faktorisere ved å bruke nullpunktmetoden.

Du husker sikkert også at noen divisjoner «gikk opp». Vi fikk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfeller kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere tallet vi startet med.

Eksempel 1

Husker du hvordan du regnet et slik delingsstykke?

938:7=1347232128280

Dette betyr at 938=134·7.

På tilsvarende måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynomer.

La oss først se hva vi egentlig gjør i divisjonsalgoritmen over.

938 er egentlig en forkortet skrivemåte for 900+30+8. Det vil si 9 hundrere pluss 3 tiere pluss 8 enere. Med penger kan vi si 9 hundrelapper pluss 3 tikroner pluss 8 kronestykker.

Når vi skal dele dette på 7, kan vi spørre hvor mye det blir på hver.

Vi kan først spørre hvor mange hundrere det blir på hver. Vi ser at det blir 1 (hel) hundrer på hver.

Da har imidlertid vi 2 hundrere igjen som kan gjøres om til 20 tiere. Da har vi til sammen 23 tiere som delt på 7 gir 3 (hele) tiere på hver.

Vi har da igjen 2 hele tiere som vi kan gjøre om til 20 enere, slik at vi har til sammen 28 enere igjen. Deler vi disse på 7, blir det 4 enere på hver.

Det blir altså 1 hundrer, 3 tiere og 4 enere på hver.

Det betyr, som vi så over, at  938:7=134.

Algoritmen kan settes opp slik:

      (900+30+8):7=100+30+4-700     200+30+8-(200+10)                 20+8            -(20+8)                           0

Differansen, eller resten, blir null, og divisjonen går opp, som vi sier.

Eksempel 2

Vi ser på tredjegradspolynomet  2x3-7x2+2x+3.

Vi setter inn  x=1  i polynomet og får

2·13-7·12+2·1+3=2-7+2+3=0.

Dette betyr at  x=1  er et nullpunkt for polynomet. x-1  er en faktor i 2x3-7x2+2x+3, og divisjonen  2x3-7x2+2x+3:x-1  vil «gå opp».

Vi skal nå se på hvordan vi utfører selve divisjonen.

Selve divisjonen

Forklaring

(2x37x2+2x+3):(x1)=2x25x3 (2x32x2)5x2+2x+3(5x2+5x)3x+3(3x+3)0

 2x3:x=2x2 (x1)·2x2=2x3-2x2(2x37x+2x+3)(2x32x2)=5x2+2x+35x2:x=5x, (x1)·(5x)=5x2+5x5x2+2x+3(5x2+5x)=3x+33x:x=3, (x-1)·(3)=3x+33x+3(3x+3)=0

Vi fikk "rest lik 0". Det betyr at divisjonen gikk opp.

Vi kan da skrive

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1.

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Andregradspolynomet kan vi nå faktorisere videre ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi setter 2x2-5x-3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

2x2-5x-3 = 0            x=--5±-52-4·2·-32·2            x=5±74            x1=3    x2=-12

Det betyr at

2x2-5x-3=2x-3x--12=2x-3x+12=x-32x+1

Her har vi multiplisert inn 2-tallet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

2x3-7x2+2x+3 = 2x2-5x-3x-1=x-32x+1x-1

Vi får det samme resultatet i CAS i GeoGebra ved å skrive inn tredjegradsuttrykket og bruke knappen for faktorisering.

2x3-7x2+2x+31Faktoriser: x-3x-12x+1

Læringsressurser

Faktorisering

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter