Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. To vinkler – samme sinusverdiChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

To vinkler – samme sinusverdi

En konsekvens av den generelle definisjonen av sinus og cosinus er at to vinkler kan få samme sinusverdi. Det gjelder to vinkler som til sammen er 180 grader.

Prøv selv

Det interaktive GeoGebra-arket nedenfor viser enhetssirkelen med to punkter P₁ og P₂. Strålen fra origo til P₁ danner vinkelen 𝑣 med den positive delen av x-aksen, mens strålen fra origo til P₂ danner vinkelen 𝑢 med samme akse. Da kan vi skrive opp koordinatene til de to punktene med hjelp av cosinus og sinus til de to vinklene som vist i figuren.

Dra i glidebryteren på figuren for å endre på vinkel 𝑣. Vi minner om at begge vinklene 𝑢 og 𝑣 måles i forhold til den positive delen av x-aksen.

Filer

Er du enig i at vinklene u og v i det interaktive GeoGebra-arket over er til sammen 180 grader og har samme sinusverdi?

Siden u+v=180°, er  v=180°u. Da kalles også de to vinklene for supplementvinkler.

Vi får at

sinu=sinv=sin(180°u)

Kan du også fra figuren se at

cosu=cos(180°u)?

Oppgave 1

Bruk figuren og finn supplementvinkelen til 30°, til 45° og til 157,5°. Kontroller svaret ved regning.

Løsning

180° – 30° = 150°. Supplementvinkelen til 30° er 150°.

180° – 45° = 135°. Supplementvinkelen til 45° er 135°.

180° – 157,5° = 22,5°. Supplementvinkelen til 157,5° er 22,5°.

Oppgave 2

Prøv å finne disse verdiene ved hjelp av figuren:

sin0°    sin90°    sin180°cos0°   cos90°    cos180°

Løsning

sin0°=0    sin90°=1    sin180°=0cos0°=1   cos90°=0    cos180°=-1

Trigonometriske likninger

Hvis vi for eksempel får opplyst at sinus til en vinkel er 0,5, så vet vi ikke om vinkelen er 30 grader eller 150 grader. Det betyr at likningen sinx=0,5  har to løsninger.

Dette kan du føre slik

sinx = 0,5   x=asin(0,5)   x=30°  x=180°-30°=150°      Tegnet  betyr "eller".

Vi kan også løse likningen med CAS i GeoGebra.

sinx°=121NLøs:  {x=30, x=150}

Noen digitale verktøy gir bare den ene løsningen. Da må du selv passe på å få med den andre.

I praktiske oppgaver der du skal finne en ukjent vinkel med en sinuslikning som den over, må du vurdere hvilken av løsningene som passer eller om begge løsningene kan brukes.

I dette kurset regner vi bare med vinkler opp til 180 grader. For disse vinklene får vi ikke problemer med to løsninger av likninger med cosinus og tangens.

En liten oppsummering

sinu = sin(180°-u)cosu=-cos(180°-u)

Hvis vi legger sammen en vinkel som er mindre enn 180 grader med den tilhørende supplementvinkelen, får vi alltid 180 grader til svar.

Eksempel

sin150° = sin30°=0,5cos150°=-cos30°-0,866