Hopp til innhold

Fagartikkel

Drøfting av eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjoner kan drøftes på tilsvarende måte som polynomfunksjoner.

LK06

Eksempel

Som eksempel skal vi drøfte funksjonen f gitt ved fx=5x·e-x2.

Definisjonsmengde

Eksponentialfunksjoner er definert for alle verdier av x og Df=.

Nullpunkter

For å finne eventuelle nullpunkter løser vi likningen fx=0.

fx = 05x·e-x2=05x=0   e-x2=0x=0           e-x20, 

f har nullpunktet (0, 0).

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

For å undersøke monotoniegenskaper og finne eventuelle topp- og bunnpunkter ser vi på fortegnet til f'x.

Når vi skal derivere fx må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

fx = 5x·e-x2f'x=5·e-x2+5x·e-x2·-12=5·e-x2·1-x2

Vi finner nullpunktene til f'(x).

             f'x = 05·e-x2·1-x2=0            1-x2=0                x2=1                 x=2

Videre må vi regne ut en verdi for f'(x) på hver side av løsningen.

f'(0) = 5·e-02·1-02=5·1·1=5>0f'(3) = 5·e-32·1-32=5·e-32·-12<0

Vi tegner så fortegnslinjen for f'x.

Fortegnslinje eksponentialfunksjon

Av fortegnslinjen til f'x kan vi lese at grafen til f stiger i intervallet , 2 og synker i intervallet 2, .

Vi ser også at grafen til f har et toppunkt når x=2.

f2=5·2·e-22=10·e-1=10e

Toppunktet har koordinatene 2, 10e.

Krumningsforhold og vendepunkter

For å undersøke krumningsforhold og finne eventuelle vendepunkter ser vi på fortegnet til f''x.

f'x = 5·e-x2·1-x2f''x=5·e-x2'·1-x2+5·e-x2·1-x2'=5·e-x2·-12·1-x2+5·e-x2·-12=-125·e-x2·1-x2+1=-52·e-x2·2-x2

Vi finner nullpunktene til f''(x).

                 f''x = 0-52·e-x2·2-x2=0                2-x2=0                      x=4

Videre regner vi ut en verdi for f''(x) på hver side av løsningen.

f''0 = -52·e-02·2-02=-52·1·2<0f''5=-52·e-52·2-52=-52·e-52·-12>0

Vi tegner så fortegnslinjen for f''x.

Fortegnslinje dobbeltderivert

Av fortegnslinjen til f''x kan vi lese at grafen til f vender sin hule side ned i intervallet , 4 og vender sin hule side opp i intervallet 4, .

Vi ser også at grafen til f har et vendepunkt når x=4.

f4=5·4·e-42=20·e-2=20e2

Vendepunktet har koordinatene 4, 20e2.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Her har vi tegnet grafen i GeoGebra.)

Graf eksponentialfunksjon
Sist oppdatert 26.11.2018
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting