Cosinussetningen

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel A og løser i GeoGebra.

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·\cos A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{a}}^2=5^2+7^2-2·5·7·\cos \left(39°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{a}=-4.43, \mathrm{a}=4.43\}\end{array}}$

Vi ser bort fra den negative løsningen.

Siden $a=4,4 \mathrm{cm}$.

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{b}}^2=8.7^2+12.3^2-2·8.7·12.3·\cos \left(115.5°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{b}=-17.86, \mathrm{b}=17.86\}\end{array}}$

Siden $b=17,9 \mathrm{dm}$.

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel C og løser i GeoGebra.

$c^2=a^2+b^2-2·a·b·\cos C$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{c}}^2=2.3^2+4.5^2-2·2.3·4.5·\cos \left(23.6°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{c}=-2.56, \mathrm{c}=2.56\}\end{array}}$

Siden $c=2,6 \mathrm{cm}$.

Vi setter opp likninger med utgangspunkt i cosinussetningen for vinkel $A$ og for vinkel $B$ og løser i GeoGebra.

Vinkel A: $a^2=b^2+c^2-2·b·c·\cos A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 6.0^2={14}^2+{19}^2-2·14·19·\cos \left(\mathrm{A}°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{A}=11.67\}\end{array}}$

Vinkel B: $b^2=a^2+c^2-2·a·c·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {14}^2=6.0^2+{19}^2-2·6.0·19·\cos \left(\mathrm{B}°\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{B}=28.17\}\end{array}}$

Vinkel C:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 180-\mathrm{HøyreSide}(\$1)-\mathrm{HøyreSide}(\$2)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx \{140.16\}\end{array}}$

Her har vi i linje 3 brukt kommandoen "HøyreSide()" for å referere til svarene i linje 1 og 2 i stedet for å skrive inn svarene for vinklene A og B direkte.

$\begin{array}{rcl}\angle A& = & 11,7°\\ & & \\ \angle B& =& 28,2°\\ & & \\ \angle C& =& 140,2°\end{array}$

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel H og løser i GeoGebra.

$B{L}^2=B{H}^2+H{L}^2-2·BH·HL·\cos H$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{BL}}^2={737}^2+{652}^2-2·737·652·\cos \left(70°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BL}=-799.73, \mathrm{BL}=799.73\}\end{array}}$

Vi ser bort fra den negative løsningen.

$BL=800 \mathrm{m}$

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 4.8^2={\mathrm{a}}^2+4.5^2-2·\mathrm{a}·4.5·\cos \left(63°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{a}=-0.6, \mathrm{a}=4.68\}\end{array}}$

Vi ser bort fra den negative løsningen.

$a=4,7 \mathrm{cm}$

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel C og løser i GeoGebra.

$c^2=a^2+b^2-2·a·b·\cos C$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 6.0^2=3.8^2+{\mathrm{b}}^2-2·3.8·\mathrm{b}·\cos \left(80°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{b}=-4.03, \mathrm{b}=5.35\}\end{array}}$

Vi ser bort fra den negative løsningen.

$b=5,4 \mathrm{cm}$

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel A og løser i GeoGebra.

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·\cos A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3.9^2=4.7^2+{\mathrm{c}}^2-2·4.7·\mathrm{c}·\cos \left(35°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{c}=1.03, \mathrm{c}=6.67\}\end{array}}$

Her kan begge løsningene brukes.

Lengden $c=1,0 \mathrm{cm}$i den ene løsningstrekanten og $c=6,7 \mathrm{cm}$i den andre trekanten.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 4.0^2=8.0^2+{\mathrm{BC}}^2-2·8.0·\mathrm{BC}·\cos \left(30°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=6.93, \mathrm{BC}=6.93\}\end{array}}$

$BC=6,9 \mathrm{cm}$

Vi får to sammenfallende løsninger. Det må bety at siden AC akkurat rekker opp til det høyre vinkelbeinet til vinkel B, dvs. det vinkelbeinet som skal være siden BC. Det må videre bety at $\angle C=90°$. Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i en 30-, 60- og 90-graders trekant.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B (som i oppgave a)) og løser i GeoGebra.

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 6.0^2=8.0^2+{\mathrm{BC}}^2-2·8.0·\mathrm{BC}·\cos \left(30°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=2.46, \mathrm{BC}=11.4\}\end{array}}$

Vi får to løsninger og dermed to mulige trekanter der punktet C kan ligge to steder. Dersom vi kaller det ene punktet for C₁ og det andre for C₂, får vi

$B{C}_1=11,4 \mathrm{cm}, B{C}_2=2,5 \mathrm{cm}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Dette blir igjen samme oppsett som i a) og b) der vi løser med GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen for vinkel B.

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos B$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3.0^2=8.0^2+{\mathrm{BC}}^2-2·8.0·\mathrm{BC}·\cos \left(30°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \left\{\right\}\end{array}}$

Vi finner ingen mulige løsninger.

Hvis vi sammenlikner med oppgave a), ser vi at den minste avstanden fra A til C er 4 cm. Vi kan si at $AC$ ikke rekker bort til $BC$.

Alternativ 1. Løsning med GeoGebra

Vi tar utgangspunkt i samme cosinussetning som før, men setter AC = b og løser med GeoGebra.

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2·AB·BC·\cos B$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Løs}({\mathrm{b}}^2=8.0^2+{\mathrm{BC}}^2-2·8.0·\mathrm{BC}·\cos (30°), \mathrm{BC})\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \{\mathrm{BC}=-\sqrt{{\mathrm{b}}^2-16}+4\sqrt{3}, \mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{b}}^2-16}+4\sqrt{3}\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \$1\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \{\mathrm{BC}=-\sqrt{{\mathrm{b}}^2-16}+6.93, \mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{b}}^2-16}+6.93\}\end{array}} \end{gathered}$$

Siden vi har en likning med to ukjente (både BC og b), må vi bruke kommandoen "Løs(<likning>, <variabel>)" i stedet for bare å trykke direkte på knappen for numerisk løsning av likning. Etterpå trykker vi på knappen for tilnærma utregning og får svaret fra linje 1 med tilnærma verdier.

Vi får at når rottegnet er null, dvs. at $b=4$, blir det bare én løsning. Dette er den samme løsningen som i oppgave a), og vi kjenner igjen tallet 6,93.

Vi får videre at når $b<4$, blir det negativt under rottegnet, og da er det ingen løsning. Dette stemmer overens med hva vi fant i oppgave c).

Dersom $b>4$, har likningen alltid to løsninger. Men vi kan ikke ha negative løsninger, og løsninger som er null gir ingen trekant. Den andre løsningen i linje 2 er alltid positiv. Den første løsningen blir negativ når b blir stor nok. Fra den første løsningen setter vi opp en ulikhet som vi løser med GeoGebra.

$-\sqrt{b^2-16}+4\sqrt{3}>0$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & -\sqrt{{\mathrm{b}}^2-16}+4·\sqrt{3}>0\\ \overline{)3}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{-8<\mathrm{b}\le -4, 4\le \mathrm{b}<8\}\end{array}}$

Vi får altså to løsninger når b er mindre enn 8. Det er fordi at hvis b, som er siden AC, er større enn 8, blir den større enn siden AB. Vi får en trekant da også, men da er ikke vinkel B lik 30 grader lenger. (Hvorfor ikke?) Når b er akkurat lik 8, gir den første løsningen $BC=0$ og dermed ingen trekant.

Oppsummert:

Vi får to trekanter når $4<b<8$.

Vi får én trekant når $b\ge 8 \vee b=4$.

Alternativ 2. Løsning uten GeoGebra.

Vi finner lengden til $AC$ når $AC$ står vinkelrett på $BC$.

Vinkel $C$ er da $90°$, og vi får (trenger ikke GeoGebra her dersom vi husker at $\sin 30°=\frac{1}{2}$).

$\begin{array}{rcl}\sin 30°& = & \frac{AC}{8,0}\\ & & \\ AC& =& 8,0·\sin 30°=8,0·\frac{1}{2}\\ & & \\ AC& =& 4,0 \mathrm{cm}\end{array}$

Dette fant vi i oppgave a).

Dersom lengden $AC$ er kortere enn $4,0 \mathrm{cm}$, vil vi ikke ha noen løsninger. Dette så vi i oppgave c) der $AC$ ikke rekker opp til linja $BC$.

Dersom vi skal ha to løsninger, må lengden $AC$ være større enn $4,0 \mathrm{cm}$ og mindre enn lengden til $AB$, dvs. $8,0 \mathrm{cm}$. Et eksempel på dette var oppgave b) ovenfor.

Vi får én løsning når lengden $AC$ er større enn eller lik $8,0 \mathrm{cm}$ og når lengden $AC$ akkurat er $4,0 \mathrm{cm}$ dvs. at $AC$ står vinkelrett på $BC$.

Oppsummert:

Vi får to trekanter når $4<b<8$.

Vi får én trekant når $b\ge 8 \vee b=4$.

Vi ser at trekanten er likebent. Da vet vi at to av vinklene er like. Vi kaller de to like vinklene $v$ og den tredje vinkelen $u$. Så bruker vi cosinussetningen til å bestemme cosinus til vinklene.

Den tredje vinkelen $u$ er mellomliggende vinkel til de to like sidene. Vi får

$\begin{array}{rcl}{4}^2& = & 5^2+5^2-2·5·5·\cos u\\ & & \\ \cos u& =& \frac{5^2+5^2-4^2}{2·5·5}\\ & & \\ & =& \frac{34}{50}=\frac{17}{25}\\ & & \\ 5^2& =& 4^2+5^2-2·4·5·\cos v\\ & & \\ \cos v& =& \frac{4^2+5^2-5^2}{2·4·5}\\ & & \\ & =& \frac{16}{40}=\frac{2}{5}\end{array}$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi bruker cosinussetningen til å bestemme $AB$.

$\begin{array}{rcl}A{B}^2& = & 6^2+3^2-2·6·3·\frac{5}{9}\\ & & \\ & =& 36+9-20\\ & & \\ AB& =& 5\end{array}$

Vi bruker cosinussetningen til å bestemme $\cos A$.

$\begin{array}{rcl}{3}^2& = & 6^2+5^2-2·6·5·\cos A\\ & & \\ \cos A& =& \frac{36+25-9}{2·6·5}\\ & & \\ & =& \frac{52}{2·6·5}\\ & & \\ & =& \frac{13}{15}\end{array}$

Vi bruker også cosinussetningen til å bestemme $\cos B$.

$\begin{array}{rcl}{6}^2& = & 3^2+5^2-2·3·5·\cos B\\ & & \\ \cos B& =& \frac{9+25-36}{2·3·5}\\ & & \\ & =& \frac{-2}{2·3·5}\\ & & \\ & =& -\frac{1}{15}\end{array}$

Siden $\cos B<0$, vet vi at $\angle B>90°$. De to andre vinklene er mindre enn $90°$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi bruker sinussetningen og får

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin C}{AB}& = & \frac{\sin A}{BC}\\ & & \\ \frac{\sin C}{5}& =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{3}\\ & & \\ \sin C& =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}·5}{3}\\ & & \\ & =& \frac{5}{6}\end{array}$

Vi får en vinkel i intervallet $⟨0°, 90°⟩$ og en vinkel i intervallet $⟨90°, 180°⟩$ , se figuren.

Vi bruker cosinussetningen:

$\begin{array}{rcl}{b}^2& = & a^2+c^2-2ac \cos B\\ & & \\ \cos B& =& \frac{3^2+5^2-6^2}{2·3·5}\\ & & \\ & =& -\frac{1}{15}\end{array}$

Siden cosinusverdien er negativ, vet vi at vinkelen er større enn $90°$.

Vi bruker arealsetningen og får at arealet er

$T=\frac{1}{2}b·c·\sin A=\frac{1}{2}·6·5·\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$