Oppgaver og aktiviteter

Rasjonale funksjoner

Oppgavene nedenfor skal løses med bruk av hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra.

3.3.40

Tegn grafen til funksjonen $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Vis fasit

Graf for rasjonal funksjon. Illustrasjon.

3.3.41

Tegn grafen til funksjonene gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor, og bestem asymptotene.

a) $f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Vis fasit

Den vertikale asymptoten finner vi ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x + 2 = 0$ som gir $x = - 2$ .

Den vertikale asymptoten blir $x = - 2$ .

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x$ -leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $f (x) = \frac{x}{x + 2} \approx \frac{x}{x} = 1$ .

Horisontal asymptote blir $y = 1$ .

I GeoGebra kan vi finne begge asymptotene ved kommandoen Asymptote(f).

b) $g (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$

Vis fasit

Vi har $x + 2 = 0$ som gir den vertikale asymptoten $x = - 2$ .

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x$ -leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $g (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2} \approx \frac{3 x}{x} = 3$ .

Horisontal asymptote blir $y = 3$ .

c) $h (x) = \frac{2}{2 x + 4}$

Vis fasit

Vi har $2 x + 4 = 0$ som gir den vertikale asymptoten $x = - 2$ .

Den horisontale asymptoten finner du ved å la $x$ -leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $h (x) = \frac{2}{2 x + 4} \approx \frac{0}{2 x} = 0$ .

Horisontal asymptote blir $y = 0$ (altså $x$ -aksen).

d) $i (x) = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}$

Vis fasit

Vi har $x - 1 = 0$ som gir den vertikale asymptoten $x = 1$ .

Her har vi i tillegg en skråasymptote $y = x + 1$ .

(Du finner eventuelle skråasymptoter i GeoGebra på samme måte som du finner vertikale og horisontale asymptoter.)

3.3.42

Morten hadde på 2000-tallet et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene $K$ per minutt for Mortens mobilbruk en måned han ringer $x$ minutter kan skrives som

$K (x) = \frac{0, 49 x + 59}{x}$

a) Tegn grafen til $K$ for $x$ -verdier mellom 0 og 1400.

Vis fasit

Grafen til funksjonen K av x er lik parentes 0,49 x pluss 59 parentes slutt delt på x er tegnet i et intervall fra x er lik 0 til x er lik 1400. I tillegg er linjene y er lik 0,6 og y er lik 0,49 tegnet inn. Punktet A som ligger på grafen til K og har koordinater 300 og 0,69 og skjæringspunktet B mellom grafen til K og linja y er lik 0,6 og har koordinater 536 og 0,6 er tegnet inn. Skjermutklipp. — Graf som viser kostnad i kroner per ringeminutt

Vi bruker kommandoen $K (x) = Funksjon (\frac{0.49 x + 59}{x}, 0, 1400)$ til å tegne funksjonen.

b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye?

Vis fasit

Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Se linja $y = 0, 49$ .

c) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutter?

Vis fasit

Vi skriver inn punktet $(300, K (300))$ . Se punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre når Morten ringer 300 minutter en måned.

d) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt?

Vis fasit

Vi tegner linja $y = 0, 60$ . Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punkt $B$ på grafen. Han må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre.

3.3.43

En bedrift produserer sykkelhjelmer. Ved en produksjon av $x$ hjelmer er totalkostnaden $K (x)$ kroner. $K (x)$ er gitt ved

$K (x) = 150 x + 10 500$

a) Hva er totalkostnaden ved produksjon av 300 hjelmer?

Vis fasit

$K (300) = 150 \cdot 300 + 10 500 = 55 500$ .

Det koster 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmer.

b) Vis at gjennomsnittskostnaden $f (x)$ kroner per hjelm er gitt ved

$f (x) = \frac{10 500}{x} + 150$

Vis fasit

$\begin{array}{ccl} f (x) & = & \frac{150 x + 10500}{x} \\ = & \frac{150 x}{x} + \frac{10500}{x} \\ = & \frac{10500}{x} + 150 \end{array}$

c) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem. Bruk $x$ -verdier fra 0 til 500.

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik 10500 delt på x pluss 150 er tegnet i et intervall fra x er lik 0 til x er lik 500. Skjermutklipp. — Graf som viser kostnaden per hjelm i kroner

Vi bruker kommandoen

$f (x) = Funksjon (\frac{10500}{x} +150, 0, 500)$

til å tegne grafen.

d) Hva er gjennomsnittskostnaden per hjelm når totalkostnaden er 84 300 kr?

Vis fasit

Med en totalkostnad på 84 300 kr produseres det 492 sykkelhjelmer.

$\begin{array}{rcl} 84 300 & = & 150 x + 10 500 \\ 84 300 - 10 500 & = & 150 x \\ x & = & 492 \end{array}$

Dette gir en gjennomsnittskostnad på

$\begin{array}{rcl} f (492) & = & \frac{10 500}{492} + 150 \\ = & 171, 34 \end{array}$

Når det produseres hjelmer for 84 300 kr, koster hver hjelm 171 kr.

3.3.44

Vi ser på den rasjonale funksjonen $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ .

a) Er funksjonen definert for alle verdier av $x$ ? Forklar hvordan du tenker.

Vis fasit

Vi kan ikke ha null i nevner, altså er funksjonen ikke definert for $x = - 2$ .

b) Vis ved regning at funksjonen ikke har noen asymptoter.

Vis fasit

Vi sjekker bruddpunktet $x = - 2$ . Hvis dette skal være en asymptote, kan ikke $x = - 2$ være et nullpunkt for telleren også. Vi ser at ${(- 2)}^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$ , altså har funksjonen ingen vertikal asymptote.

Vi sjekker om vi kan finne en fast verdi som funksjonsverdien nærmer seg hvis vi lar $x$ gå mot uendelig.

$\frac{x^{2} - 4}{x + 2} \to \frac{x^{2}}{x} = x når x \to \infty$

Vi finner ingen fast verdi, altså har ikke funksjonen noen horisontal asymptote.

c) Faktoriser og forkort brøken. Hva slags graf vil funksjonen få?

Vis fasit

$\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} = x - 2$ .

Grafen blir ei rett linje med brudd for $x = - 2$ .

d) Tegn grafen.

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 4. Bruddpunktet for x er lik minus 2 er markert. Skjermutklipp. — Graf til rasjonal funksjon med bruddpunkt markert

GeoGebra markerer ikke bruddpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på en tekstboks med et kryss.

3.3.45

Vi har gitt den rasjonale funksjonen $g (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 2}$ .

a) Kan du ved å se på funksjonen si noe om hvilke $x$ -verdier funksjonen ikke er definert for?

Vis fasit

Vi ser at vi har $x - 2$ i nevneren. Dette uttrykket er null når $x = 2$ , altså er funksjonen ikke definert for denne $x$ -verdien.

b) Kan du vise at $g (x)$ ikke har noen horisontal asymptote?

Vis fasit

Hvis en rasjonal funksjon skal ha en horisontal asymptote, må vi finne en verdi som funksjonen går mot når $x$ går mot pluss uendelig eller minus uendelig. Da ser vi bort fra konstantleddene i uttrykket:

$\frac{x^{2} - 9}{x - 2} \to \frac{x^{2}}{x} = x når x \to \infty$

Vi ser at vi her ikke finner noen fast verdi, altså har ikke funksjonen en horisontal asymptote.

c) Bruk polynomdivisjon til å vise at $g (x) = x + 2 - \frac{5}{x - 2}$ .

Vis fasit

Siden vi har $- 5$ i rest når vi utfører polynomdivisjonen, får vi uttrykket over.

$\begin{array}{l} (x^{2} - 9) : (x - 2) = x + 2 \\ - (x^{2} - 2 x) \\ 2 x - 9 \\ - (2 x - 4) \\ - 5 \end{array}$

d) Tegn $g (x)$ og linja $y = x + 2$ i samme koordinatsystem. Hva kan du si om relasjonen mellom disse to grafene?

Vis fasit

Grafen til funksjonen g av x er lik parentes x i andre minus 9 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 9 og 9. I tillegg er den rette linjen y er lik x pluss 2 tegnet i samme intervall. Når x blir veldig stor eller veldig liten, nærmer grafen til g seg grafen til den rette linjen. Skjermutklipp. — Graf til rasjonal funksjon og asymptotefunksjon

Vi ser at linja $y = x + 2$ er en asymptote til $g (x)$ .

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Tove Annette Holter.

Sist faglig oppdatert 13.07.2022

Rasjonale funksjoner

3.3.40

3.3.41

3.3.42

3.3.43

3.3.44

3.3.45

Regler for bruk