Rasjonale funksjonar

Den vertikale asymptoten finn vi ved å setje nemnaren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x+2=0$ som gir $x=-2$.

Den vertikale asymptoten blir $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finn vi ved å la $x$-leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive $f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\approx \frac{x}{x}=1$.

Horisontal asymptote blir  $y=1$.

I GeoGebra kan vi finne begge asymptotane ved kommandoen Asymptote(f).

Vi har $x+2=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finn vi ved å la $x$-leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive $g\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+2}\approx \frac{3x}{x}=3$.

Horisontal asymptote blir $y=3$.

Vi har $2x+4=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finn du ved å la $x$-leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive $h\left(x\right)=\frac{2}{2x+4}\approx \frac{0}{2x}=0$.

Horisontal asymptote blir $y=0$ (altså $x$-aksen).

Vi har $x-1=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=1$.

Her har vi i tillegg ein skråasymptote $y=x+1$.

(Du finn eventuelle skråasymptotar i GeoGebra på same måte som du finn vertikale og horisontale asymptotar.)

Vi bruker kommandoen $$ \text{ K}\left(\text{x}\right)=\mathrm{Funksjon}\left(\frac{0.49\text{x}+59}{\text{x}}, 0, 1400\right)$$ til å teikne funksjonen.

Når Morten ringjer svært mykje, vil den faste månadsavgifta bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Sjå linja $$ y=0,49$$ .

Vi skriv inn punktet $(300, K(300\left)\right)$. Sjå punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre når Morten ringjer 300 minutt ein månad.

Vi teiknar linja $$ y=0,60$$. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkt $B$ på grafen. Han må ringje 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre.

$$ K\left(300\right)=150·300+10 500=55 500$$.

Det kostar 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmar.

$$ \begin{array}{ccl}f\left(x\right)& =& \frac{150x+10500}{x}\\ & =& \frac{150x}{x}+\frac{10500}{x}\\ & =& \frac{10500}{x}+150\end{array}$$

Vi bruker kommandoen

$$ \text{f}\left(\text{x}\right)=\mathrm{Funksjon}\left(\frac{10500}{\text{x}}+150, 0, 500\right)$$

til å teikne grafen.

Med ein totalkostnad på 84 300 kr blir det produsert 492 sykkelhjelmar.

$$ \begin{array}{rcl}84 300& =& 150x+10 500\\ 84 300-10 500& =& 150x\\ x& =& 492\end{array}$$

Dette gir ein gjennomsnittskostnad på

$$ \begin{array}{rcl}f\left(492\right)& =& \frac{10 500}{492}+150\\ & =& 171,34\end{array}$$

Når det blir produsert hjelmar for 84 300 kr, kostar kvar hjelm 171 kr.

Vi kan ikkje ha null i nemnaren, altså er funksjonen ikkje definert for $$ x=-2$$.

Vi sjekkar brotpunktet $$ x=-2$$. Dersom dette skal vere ein asymptote, kan ikkje $$ x=-2$$ vere eit nullpunkt for teljaren òg. Vi ser at $$ {\left(-2\right)}^2-4=4-4=0$$, altså har funksjonen ingen vertikal asymptote.

Vi sjekkar om vi kan finne ein fast verdi som funksjonsverdien nærmar seg dersom vi lèt $$ x$$ gå mot uendeleg.

$$ \frac{x^2-4}{x+2}\to \frac{x^2}{x}=x \mathrm{når} x\to \infty $$

Vi finn ingen fast verdi, altså har ikkje funksjonen nokon horisontal asymptote.

$$ \frac{x^2-4}{x+2}=\frac{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{x+2}}=x-2$$.

Grafen blir ei rett linje med brot for $$ x=-2$$.

GeoGebra markerer ikkje brotpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på ein tekstboks med eit kryss.

Vi ser at vi har $$ x-2 $$ i nemnaren. Dette uttrykket er null når $$ x=2$$, altså er funksjonen ikkje definert for denne $$ x$$-verdien.

Dersom ein rasjonal funksjon skal ha ein horisontal asymptote, må vi finne ein verdi som funksjonen går mot når $$ x$$ går mot pluss uendeleg eller minus uendeleg. Då ser vi bort frå konstantledda i uttrykket:

$$ \frac{x^2-9}{x-2}\to \frac{x^2}{x}=x \mathrm{når} x\to \infty $$

Vi ser at vi her ikkje finn nokon fast verdi, altså har ikkje funksjonen ein horisontal asymptote.

Sidan vi har $$ -5$$ i rest når vi utfører polynomdivisjonen, får vi uttrykket over.

$$ \begin{array}{l} \left(x^2-9\right):\left(x-2\right)=x+2\\ \underline{-\left(x^2-2x\right)}\\ 2x-9\\ \underline{-\left(2x-4\right)}\\ -5\end{array}$$

Vi ser at linja $$ y=x+2 $$ er ein asymptote til $$ g\left(x\right)$$.