Hopp til innhold
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Eksponentialfunksjonen som modell

Løs oppgaver om prosentvis vekst og eksponentialfunksjoner som modeller.

FooterHeaderIconFooter iconLK20

3.3.45

Tabellen viser daglig bruk av tid på hjemme-PC i perioden 1994 til 2006 i minutter for ei bestemt gruppe personer. Tallene er fra Statistisk sentralbyrå (SSB).

Årstall

1994

1998

1999

2003

2006

Tid i minutter

10

13

18

35

50

a) Legg punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1994 og T(x) bruk av tid på hjemme-PC. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.

Løsning

Vi får plottet både punktene og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lager en ny rad i tabellen der vi regner ut antall år etter 1994.

Årstall

1994

1998

1999

2003

2006

x

0

4

5

9

12

Tid i minutter

10

13

18

35

50

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 8,91 multiplisert med 1,15 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 13. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Skjermutklipp.

Tid brukt på hjemme-PC per dag fra 1994 og utover

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket  Tx=8,91·1,15x. Vi sier at dette er en modell for hvordan tidsbruken med hjemme-PC har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).


b) Hvor stor er den gjennomsnittlige, årlige prosentvise økningen i bruk av hjemme-PC etter modellen?

Tips til oppgaven

Bruk vekstfaktoren i modellen.

Løsning

Vekstfaktoren er grunntallet i potensen i modellen, altså 1,15. Det tilsvarer en økning på 15 prosent for hver enhet på x-aksen. Siden enheten på x-aksen er år, blir den årlige prosentvise økningen på 15 prosent.

Kommentar: For å vise at en vekstfaktor på 1,15 tilsvarer en økning på 15 prosent, kan vi sette opp uttrykket for vekstfaktoren og få en likning vi kan løse:

1+x100=1,15

c) Bruk modellen du fant i a), og finn ut hvor mye tid som ble brukt på hjemme-PC i 2010 og 2020.

Løsning

År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn de aktuelle x-verdiene i modellen.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet T av 16. Svaret med tilnærming er 87,84. På linje 2 er det skrevet T av 26. Svaret med tilnærming er 367,26. Skjermutklipp.

Her har vi forutsatt at funksjonen har fått navnet "T" i GeoGebra.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktene (16, T(16)) og (26, T(26)).

d) Vurder gyldigheten av modellen fram i tid.

Løsning

Modellen virker troverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutter, det vil si over 7 timer i 2020, virker usannsynlig. Modellen vil kun være gyldig i noen få år.

e) Hvordan ville modellen ha sett ut hvis vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 ble brukt i gjennomsnitt 10 minutter til bruk av hjemme-PC, og den årlige prosentvise økningen skulle være 9,5 prosent?

Løsning

En økning på 9,5 prosent gir en vekstfaktor på 1,095. Hvis vi kaller den nye funksjonen T2x, får vi at

T2x=a·1,095x

Året 1994 tilsvarer  x=0. Det betyr at dersom vi prøver å regne ut T20, skal vi få 10 til svar. Dette gir oss en likning.

T20 = 10a·1,0950 = 10a·1 = 10a = 10

Modellen blir derfor i dette tilfellet

T2x=10·1,095x

f) Denne statistikken ble av SSB avsluttet etter 2014. (Hva er grunnen til det, tror du?)

Gå til SSB (ssb.no), og finn tallene ved å søke på "hjemme-PC". Velg "Minutter brukt til hjemme-PC" som statistikkvariabel, velg alle årene under "År", og velg "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med hele befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nederst.

Støtter de siste målingene i tabellen det vi konkluderte med i oppgave c)?

3.3.46

Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd.

Antall timer etter strømbruddet

0

4

8

12

16

20

Antall grader i °C

4,0

4,4

6,0

8,9

12,5

17,9

a) Plott punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall timer etter strømbruddet og T(x) temperaturen i kjøleskapet. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.

Løsning

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 3,51 multiplisert med 1,08 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 25. I tillegg er punktene som funksjonen er generert av, markert. Grafen er stigende i området og stiger gradvis mer og mer. Skjermutklipp.

Temperaturen i et kjøleskap som funksjon av antall timer etter et strømbrudd

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket T(x)=3,51·1,08x. Vi sier at dette er en modell for hvordan temperaturen i kjøleskapet utvikler seg etter strømbruddet. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).

b) Hva kan vekstfaktoren i uttrykket for Tx fortelle oss?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,08. Siden enheten på x-aksen er timer, får vi at temperaturen i kjøleskapet øker med 8 prosent per time.

c) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt.

Løsning

Modellen vil gi en høyere og høyere temperatur i kjøleskapet. I virkeligheten vil temperaturen nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikke gyldig noe særlig lenger enn cirka ett døgn etter strømbruddet.

d) Lag ei skisse av hvordan du tror temperaturutviklingen i kjøleskapet vil være dersom vi antar at romtemperaturen er 22 °C.

Tips til oppgaven

Temperaturgrafen må flate ut når temperaturen nærmer seg 22 °C.

3.3.47

Tabellen viser utslippene av karbondioksid CO2 i verden målt i millioner tonn for noen utvalgte år mellom 1980 og 2006.

Årstall

1980

1990

2000

2005

2006

Utslipp av CO2 i
millioner tonn

18 054

20 988

23 509

27 146

28 003

a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver utslippene av CO2. La x være antall år etter 1980 og U(x) utslippene av CO2.

Løsning

Vi lager en ny rad i tabellen, der vi regner ut antall år etter 1980.

Årstall

1980

1990

2000

2005

2006

x

1

10

20

25

26

Utslipp av CO2 i
millioner tonn

18 054

20 988

23 509

27 146

28 003

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 17847 multiplisert med 1,02 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 30. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt stigende i hele området. Skjermutklipp.

Verdens utslipp av CO₂ i millioner av tonn

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket  Ux=17 847·1,02x. Vi sier at dette er en modell for hvordan verdens utslipp av CO2 har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon også?

b) Hvilken årlig, prosentvis økning i CO2-utslipp gir modellen?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,02. Siden enheten på x-aksen er år, får vi at den årlige, prosentvise økning i CO2-utslippet er på 2 prosent.

c) Mange land har vedtatt å senke utslippet av CO2 i tida framover. Vurder gyldigheten framover i tid av modellen du fant i a).

Løsning

Uttrykket vi fant i a) er eksponentielt, det vil si at mengden av CO2-utslipp vil øke mer og mer. Mest sannsynlig vil CO2-utslippet etter hvert flate ut, og modellen vår blir antakelig ikke korrekt langt fram i tid.

d) Finn nyere tall på utslipp av CO2. Ta med i modellen tallene for 2010, 2015, 2020 og det nyeste tallet du finner.

Hvordan blir modellen påvirket av dette?

3.3.48

Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.

Etter x uker

1

2

3

4

5

6

7

8

Høyde i cm

16

20

27

40

56

68

107

140

a) Plott punktene i et koordinatsystem, og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene.

Løsning

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen H av x er lik 11 multiplisert med 1,37 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 8. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt stigende i hele området. Skjermutklipp.

Høyden til en solsikke som funksjon av antall uker solsikken har vokst

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket  H(x)=11·1,37x. Vi sier at dette er en modell for hvordan solsikken har vokst. Modellen passer ganske bra med tallene.

b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,37. Siden enheten på x-aksen er uker, får vi at den ukentlige veksten i høyden av solsikken er 37 prosent.

c) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a).

3.3.49

Punktene i koordinatsystemet nedenfor viser fem observasjoner av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høyder over havet.

Fem punkter er tegnet inn i et koordinatsystem. Punktene har koordinatene 0 og 1000, 2 og 800, 4 og 600, 7 og 400 og til slutt 10 og 300. Skjermutklipp.

Lufttrykk målt ved noen høyder over havet

a) Finn en matematisk modell som beskriver lufttrykket målt i millibar.

Løsning

Vi leser av koordinatene til punktene i koordinatsystemet og får den følgende tabellen:

Høyde over havet i km

0

2

4

7

10

Lufttrykk målt i millibar

1 000

800

600

400

300

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen f av x er lik 998 multiplisert med 0,88 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 14. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt avtagende. Skjermutklipp.

Lufttrykk i millibar som funksjon av høyde over havet i km

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket fx=998·0,88x. Vi sier at dette er en modell for hvordan verdens utslipp av CO2 har utviklet seg. Modellen ser ut til å passe ganske bra.

b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?

Løsning

Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det tilsvarer en prosentvis nedgang på 12 prosent. Siden enheten på x-aksen er km, får vi at lufttrykket reduseres med 12 prosent for hver km vi beveger oss rett oppover i lufta.

Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, ligger 2 469 meter over havet.

c) Hva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fant i a)?

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn den aktuelle x-verdien inn i modellen.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet f av 2,469. Svaret med tilnærming er 735,375. Skjermutklipp.

Etter modellen vår blir lufttrykket på Galdhøpiggen 735 millibar.

Her har vi forutsatt at funksjonen har fått navnet "f" i GeoGebra.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktet (2.469, f(16)).

Sist oppdatert 28.06.2021
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Ikke-lineære funksjoner