Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Uendelige geometriske rekker med variable kvotienter

Hvordan kan vi bestemme om en uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten er en variabel?

FooterHeaderIconFooter iconLK06

Grunnlaget her er at det er verdien på kvotienten k som bestemmer om en uendelig geometrisk rekke konvergerer eller divergerer.

En uendelig geometrisk rekke vil konvergere dersom k-1, 1.

I den uendelige geometriske rekken

1+1x+1x2+1x3+...   x0

er kvotienten k=1x . Det betyr at rekken konvergerer når 1x-1, 1. Vi må altså løse denne dobbeltulikheten for å finne for hvilke verdier av x rekken konvergerer. Disse verdiene kalles rekkens konvergensområde.

Dobbeltulikheten kan løses som to enkle ulikheter

-1<1x1x<1-1-1x<0 1x-1<0x+1x>01-xx<0                          

Fortegnsskjema geometriske rekker

Den første ulikheten gir at x, -10, .

Den andre ulikheten gir at x, 01, .

Det betyr at rekken konvergerer når

x, -11, 

Rekken har da summen

Sx = a11-kSx=11-1xSx=xx-1

Summen er en funksjon av x. Nedenfor har vi tegnet grafen til S i rekkens konvergensområde.

Graf geometriske rekker

Vi kan bruke grafen til å finne hva summen av rekken er for gitte verdier av x. Vi kan også finne de x-verdiene som gir en bestemt sum.

Det samme kan vi finne ved regning.

Forutsetningen er at vi hele tiden bruker x-verdier som ligger i konvergensområdet.

Sist oppdatert 07.09.2018
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Uendelige geometriske rekker