Dersom du har hatt faget 1T, brukte du abc-formelen for å løse andregradslikninger.

Vi bruker tegnet $$\pm$$ for å spare skriving. Det betyr at det er egentlig to andregradsformler: én med pluss og én med minus.

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen $$a{x}^2+bx+c=0.$$

Du husker at vi definerte kvadratroten bare til positive tall og null. Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tall når det som står under rottegnet er mindre enn null.
Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven $$i$$? Det vil si at løsningen er imaginær.

Andregradslikningen har bare én løsning når det som står under rottegnet er lik null.

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.

$$\begin{array}{rcl} x^2& = & 5-4x\\ & & \\ x^2+4x-5& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1\left(-5\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4+6}{2} \vee x=\frac{-4-6}{2}\\ & & \\ x& =& 1 \vee x=-5\end{array}$$

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for $$x$$ som passer i den opprinnelige likningen.

Til høyre ser du at den grafiske løsningen gir samme resultat.

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm 0}{2}\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$$

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning. Dette ser vi også av den digitale grafiske løsningen til høyre.

For å løse denne likningen kunne vi også brukt første kvadratsetning og fått

$$\begin{array}{rcl} x^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ {\left(x+2\right)}^2& =& 0\\ & & \\ x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+4 & = & 0\\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{4-16}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{-12}}{2}\\ & & \\ & & \mathrm{Ingen} \mathrm{løsning}\end{array}$$

Vi får $$-12$$ under rottegnet og $$\sqrt{-12}$$ er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, dvs. at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Dette kan vi også se grafisk. Grafen til funksjonen $$f$$ gitt ved $$f\left(x\right)=x^2-2x+4$$ skjærer ikke
$$x$$-aksen. Se koordinatsystemet .

Ved CAS i GeoGebra får vi følgende løsninger ved å bruke knappen $$\boxed{x=}$$