Førstegradslikninger

En likning består av et likhetstegn med et tall eller uttrykk på hver side. Et eksempel er likningen

$$3+5=8$$

En likning inneholder gjerne en eller flere ukjente størrelser symbolisert med bokstaver som for eksempel formelen

$$A=g·h$$

Det er vanlig å bruke bokstaven $$x$$ for den ukjente når likningen har én ukjent størrelse. Når i tillegg den ukjente bare opptrer i første grad, det vil si at likningen ikke har ledd som inneholder $$x^2$$ , $$x^3$$ osv, så har vi en førstegradslikning.

Et eksempel på en førstegradslikning er

$$x+5=8$$

Å løse en likning går ut på å finne ut hvilke verdier $$x$$ kan ha for at likningen skal være sann. For eksempel, hvilken verdi av $$x$$ i likningen ovenfor gjør uttrykket $$x+5$$ lik tallet $$8$$.

I likningen $$x+5=8$$ ser vi umiddelbart at når $$x$$ er lik tallet $$3$$, er venstresiden og høyresiden like. Likningen har løsningen $$x=3$$.

I likningen $$2x-3=9$$ er det derimot ikke så enkelt å løse likningen direkte. Vi trenger en framgangsmåte.

Tenk deg at du har to like tall. Er du enig i de fire påstandene nedenfor?

• Hvis vi til to tall som er like adderer det samme tallet, vil summene være to like tall. Siden $$9=9$$, så er $$9\overline{)+3}=9\overline{)+3}$$ .
• Hvis vi fra to tall som er like subtraherer det samme tallet, vil differensene være to like tall. Siden $$9=9$$, så er $$9\overline{)-5}=9\overline{)-5}$$.
• Hvis vi har to tall som er like og multipliserer dem med det samme tallet, vil produktene være to like tall. Siden $$9=9$$ , så er $$9\overline{)·3}=9\overline{)·3}$$.
• Hvis vi har to tall som er like og dividerer dem med det samme tallet, vil kvotientene være to like tall. Siden $$9=9$$ , så er $$\frac{9}{\overline{)3}}=\frac{9}{\overline{)3}}$$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med samme tall på begge sider i en likning og fortsatt beholde likhet mellom venstresiden og høyresiden.

Dette kan vi bruke til å løse likninger.

Eksempel

Vi vil løse likningen $$2x-3=9$$.

Eksempel

Når vi skal løse likninger som inneholder brøker, kan det være lurt å multiplisere hvert ledd med fellesnevneren for å få en likning uten brøker.

Vi vil løse likningen $$\frac{2}{x}-4=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2x}$$.

Vi kan også løse likninger ved CAS i GeoGebra.

For eksakte løsninger klikker vi på knappen "Løs" $$\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$ .

For tilnærmede løsninger klikker vi på "NLøs" $$\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}\approx }$$ .

Eksempel

Når likningen inneholder parentesuttrykk, begynner vi med å løse opp parentesene.

$$\begin{array}{rcl}x-2\left(x-3\right)& = & -2\\ & & \\ x-2x+6& =& -2\\ & & \\ x-2x& =& -2-6\\ & & \\ \frac{-x}{-1}& =& \frac{-8}{-1}\\ & & \\ x& =& 8\end{array}$$

Fra linje 2 til linje 3 er tallet $$6$$ subtrahert på begge sider. Legg også merke til divisjonen med $$-1$$.

En fremgangsmåten for å løse førstegradslikninger blir da:

1. Vi løser opp eventuelle parenteser.
2. Hvis likningen inneholder brøker, multipliserer vi alle ledd med fellesnevneren.
3. Vi adderer og/eller subtraherer med samme tall på begge sider av likhetstegnet. Resultatet blir at ledd «flyttes» fra den ene siden av likhetstegnet til den andre siden, og leddet skifter fortegn. Formålet er å samle alle ledd som inneholder $$x$$ på den ene siden av likhetstegnet, og alle ledd som bare består av tall på den andre siden.
4. Vi trekker sammen leddene.
5. Til slutt dividerer vi med tallet foran $$x$$ på begge sider.

Du kan bruke CAS-verktøyet i GeoGebra for å løse en likning.

• Skriv inn likningen i felt 1.
• Trykk knappen «Løs» (markert med blå penn) for å få løsningen på likningen.