Bargobihttá

Integrasjon ved variabelskifte

Her kan du øve på integrasjon med variabelskifte, som også blir kalt substitusjon.

Oppgavene på denne siden skal, når ikke annet er angitt, gjøres uten digitale hjelpemidler.

3.2.1

Bestem integralene.

a) $\int {(3 x + 1)}^{2} d x$

Tips

Sett $u = 3 x + 1$ .

Løsning

Vi setter $u = 3 x + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int {(3 x + 1)}^{2} d x & = & \int u^{2} \frac{d u}{3} \\ = & \frac{1}{3} \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3} + C \end{array}$

b) $\int \sqrt{3 - 4 x} d x$

Tips

Sett $u = 3 - 4 x$ og bruk regelen for integrasjon av kvadratrot.

Løsning

Vi setter $u = 3 - 4 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 4 \\ d x = - \frac{d u}{4} = - \frac{1}{4} d u \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{3 - 4 x} d x & = & \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u \\ = & - \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u \\ = & - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u \\ = & - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{6} \cdot {(3 - 4 x)}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

c) $\int \frac{1}{5 x + 2} d x$

Tips

Sett $u = 5 x + 2$ .

Løsning

Vi setter $u = 5 x + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{5 x + 2} d x & = & \int \frac{1}{u} \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |5 x + 2| + C \end{array}$

d) $\int \sin 2 x d x$

Tips

Sett $u = 2 x$ .

Løsning

Vi setter $u = 2 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 \\ d x = \frac{d u}{2} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sin 2 x d x & = & \int \sin u \frac{d u}{2} \\ = & \frac{1}{2} \int \sin u d u \\ = & - \frac{1}{2} \cos u + C \\ = & - \frac{1}{2} \cos 2 x + C \end{array}$

e) $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Tips

Her har vi $x$ i både telleren og nevneren.

Hva kan vi velge som $u$ som gjør at vi får forkortet bort det som er igjen av $x$ ?

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C \end{array}$

Legg merke til at vi fjerner absoluttverditegnet fra nest siste til siste linje i løsningen. Dette kan vi gjøre fordi $(x^{2} + 1)$ alltid vil være positiv.

f) $\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x$

Løsning

Vi setter $u = \ln x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = d u \cdot x \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln x)}^{3} + C \end{array}$

g) $\int (\cos (x^{2} + 1) \cdot x) d x$

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\cos (x^{2} + 1) \cdot x) d x & = & \int \cos u \cdot x \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \cos u d u \\ = & \frac{1}{2} \sin u + C \\ = & \frac{1}{2} \sin (x^{2} + 1) + C \end{array}$

h) $\int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x$

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x & = & \int x \cdot u^{6} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int u^{6} d u \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C \\ = & \frac{1}{14} {(x^{2} + 2)}^{7} + C \end{array}$

i) $\int \tan x d x$

Tips

Bruk at $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Løsning

$\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x$

Vi setter $u = \cos x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ d x = \frac{d u}{- \sin x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \tan x d x & = & \int \frac{\sin x}{\cos x} d x \\ = & \int \frac{\sin x}{u} \cdot \frac{d u}{- \sin x} \\ = & - \int \frac{1}{u} d u \\ = & - \ln |u| + C \\ = & - \ln |\cos x| + C \end{array}$

3.2.2

Bestem integralene.

a) $\int \cos 2 x d x$ .

Løsning

Vi setter $u = 2 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 \\ d x = \frac{d u}{2} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \cos 2 x d x & = & \int \cos u \frac{d u}{2} \\ = & \frac{1}{2} \int \cos u d u \\ = & \frac{1}{2} \sin u + C \\ = & \frac{1}{2} \sin 2 x + C \end{array}$

b) $\int \cos^{2} x d x$

Tips

Bruk resultatet fra oppgave a) og sammenhengen $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \cos 2 x & = & 2 \cos^{2} x - 1 \\ \cos 2 x + 1 & = & 2 \cos^{2} x \\ \frac{1}{2} (\cos 2 x + 1) & = & \cos^{2} x \end{array}$

Det ubestemte integralet blir da

$\int \cos^{2} x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \int \begin{array}{rcl} (\cos 2 x + 1) d x \end{array}$

Vi vet fra oppgave a) at $\int \cos 2 x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \begin{array}{rcl} \sin \end{array} \begin{array}{rcl} 2 \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} C \end{array}$ .

Vi får følgende løsning:

$\begin{array}{rcl} \int \cos^{2} x d x & = & \frac{1}{2} \int (\cos 2 x + 1) d x \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 2 x + x) + C \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{array}$

c) $\int \sin^{2} x d x$

Tips

Bruk sammenhengen $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ og resultatet fra oppgave b).

Løsning

$\begin{array}{rcl} \sin^{2} x + \cos^{2} & x = & 1 \\ \sin^{2} & x = & 1 - \cos^{2} x \end{array}$

Det ubestemte integralet blir da

$\int \sin^{2} x d x = \int \begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) d x \end{array}$

Vi vet fra oppgave b) at $\int \cos^{2} x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{1}{4} \end{array} \begin{array}{rcl} \sin \end{array} \begin{array}{rcl} 2 \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} C \end{array}$ , og vi får da følgende løsning:

$\begin{array}{rcl} \int \sin^{2} x d x & = & \int \begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) d x \end{array} \\ = & x - (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x) + C \\ = & x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C \\ = & \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{array}$

3.2.3

a) Hvilke to muligheter har vi ved valg av $u$ hvis vi skal løse det ubestemte integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved hjelp av variabelskifte?

Løsning

Vi kan enten velge $u = \sin x$ eller $u = \cos x$ .

b) Bestem integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved å sette $u = \sin x$ .

Løsning

Vi setter $u = \sin x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \cos x \\ d x = \frac{d u}{\cos x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\sin x \cdot \cos x) d x & = & \int u \cdot \cos x \cdot \frac{d u}{\cos x} \\ = & \int u d u \\ = & \frac{1}{2} u^{2} + C \\ = & \frac{1}{2} \sin^{2} x + C \end{array}$

c) Bestem integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved å sette $u = \cos x$ .

Løsning

Vi setter $u = \cos x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ d x = - \frac{d u}{\sin x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\sin x \cdot \cos x) d x & = & \int \sin x \cdot u \frac{d u}{- \sin x} \\ = & - \int u d u \\ = & - \frac{1}{2} u^{2} + C \\ = & - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C \end{array}$

Løsningen vi får når vi velger $u = \cos x$ , er ikke den samme som når vi velger $u = \sin x$ .

d) Vi har i b) og c) brukt to forskjellige løsningsmetoder for å bestemme $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ , og vi har fått to forskjellige uttrykk som resultat. Kontroller begge resultatene ved derivasjon. Kommenter.

Løsning

$\begin{array}{rcl} {(\frac{1}{2} \sin^{2} x + C)}^{'} & = & {(\frac{1}{2} \sin x \cdot \sin x + C)}^{'} \\ = & \frac{1}{2} (\cos x \cdot \sin x + \sin x \cdot \cos x) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \\ = & \sin x \cdot \cos x \end{array}$

$\begin{array}{rcl} {(- \frac{1}{2} \cos^{2} x + C)}^{'} & = & {(- \frac{1}{2} \cos x \cdot \cos x + C)}^{'} \\ = & - \frac{1}{2} (- \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot - \sin x) \\ = & - \frac{1}{2} \cdot (- 2 \sin x \cdot \cos x) \\ = & \sin x \cdot \cos x \end{array}$

Derivasjon viser at vi i begge tilfellene kommer tilbake til det opprinnelige uttrykket.

e) Hvordan kan de to uttrykkene vi har fått til svar, begge være korrekte løsninger av det ubestemte integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ?

Løsning

Det som er viktig å være oppmerksom på, er at det i hver av løsningene er en konstant, som vi har angitt C. Hvis vi skal sammenligne de to resultatene, må vi huske at disse konstantene ikke trenger å være like. Vi skriver derfor opp de to resultatene slik:

$\frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1}$
$- \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2}$

Hvis vi setter de to resultatene lik hverandre, får vi følgende:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1} & = & - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2} \\ \frac{1}{2} \sin^{2} x + \frac{1}{2} \cos^{2} x & = & C_{2} - C_{1} \\ \frac{1}{2} (\sin^{2} x + \cos^{2} x) & = & C_{2} - C_{1} \\ \frac{1}{2} & = & C_{2} - C_{1} \end{array}$

Når differansen mellom de to konstantene er $\frac{1}{2}$ , er uttrykkene like. De "ukjente" konstantene kompenserer altså for ulikheten i resultatene.

f) Endring av størrelsen av en konstant som er et ledd i et funksjonsuttrykk, vil ikke føre til endring i formen på grafen, men vil bare føre til en forflytning vertikalt (opp eller ned) i koordinatsystemet.

Vi definerer to funksjoner ut fra de to resultatene vi har fått i denne oppgaven:

$f (x) = \frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1}$

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2}$

Lag et interaktivt GeoGebra-ark som viser at endringer i $C_{1}$ og/eller $C_{2}$ kan føre til at grafene til funksjonene blir sammenfallende. Kommenter.

Løsning

Grafene til $f$ og $g$ har samme form og er i fase.

Når vi endrer på verdiene til $C_{1}$ og $C_{2}$ ved hjelp av gliderne, finner vi at $C_{2} = C_{1} + \frac{1}{2}$ når grafene er sammenfallende.

Fiillat

Du kan laste ned GeoGebra-arket her(GGB)

3.2.1

3.2.2

3.2.3

Fiillat

Njuolggadusat teavstta geavaheapmái "Integrasjon ved variabelskifte"