Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Ulikheter av tredje grad

Ulikheter av tredje grad løses på tilsvarende måte som ulikheter av andre grad.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

-4x2<x-4-x3

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side. Da kan vi faktorisere venstresiden, og ulikheten kan løses ved å studere fortegnet til det faktoriserte uttrykket.

x3-4x2-x+4<0

Her har vi ikke noen informasjon som kan gi oss den første løsningen av likningen x3-4x2-x+4=0. Derfor må vi prøve oss fram, og vi finner at uttrykket x3-4x2-x+4 blir null for x=1.

13-4·12-1+4=1-4-1+4=0

Det viser at x-1 er en faktor i x3-4x2-x+4.

Vi utfører så polynomdivisjonen

x3-4x2-x+4):(x-1)=x2-3x-4 -(x3-x2)-3x2-x-(-3x2+3x)-4x+4-(-4x+4)0

Vi setter x2-3x-4=0 og finner nullpunktene

x2-3x-4 = 0          x=--3±-32-4·1·-42·1          x=3±52          x1=4 ,  x2=-1

Vi har dermed nullpunktene x=-1, x=1 og x=4.

Det betyr at

x3-4x2-x+4=x+1x-1x-4

Ulikheten kan nå skrives slik

       x3-4x-x+4 < 0x+1x-1x-4<0

Vi tar nå «stikkprøver» innenfor hvert intervall for å finne ut hvilket fortegn uttrykket x+1x-1x-4 har i hvert av de fire intervallene , -1, -1, 1, 1, 4 og 4, .

For x=-2 får vi

-2+1-2-1-2-4=-1·-3·-5

Uttrykket er negativt.

For x=0 får vi

0+10-10-4=+1·-1·-4

Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2+12-12-4=+3·+1·-2

Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5+15-15-4=+6·+4·+1

Uttrykket er positivt.

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et fortegnsskjema. Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x det var slik at -4x2<x-4-x3, det vil si at x3-4x2-x+4<0. Løsningen på oppgaven blir da at x må være mindre enn -1 eller ligge mellom 1 og 4.

Løsningen er

x, -11, 4

Ved CAS i GeoGebra får vi

Løs-4x2<x-4-x31 x<-1, 1<x<4

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0