Regning med vektorer

En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den mot nord og kjører 4 km i denne retningen. Bilen dreier så og kjører 8 km mot vest.

a) Illustrer de aktuelle forflytningene med vektorer.

Løsning

b) Tegn vektoren som viser luftlinja fra der bilen startet, til der den stopper.

Løsning

c) Kan du finne ut hvor langt det er i luftlinje?

d) Vi kaller summen av forflytningene for resultantforflytningen. Kan du på dette grunnlaget foreslå en måte å summere vektorer på?

Denne oppgaven har ikke fasit, her er det meningen at du skal utforske vektorsummer.

Tegn to vektorer som du kaller $$ \overrightarrow{u} \mathrm{og} \overrightarrow{v}$$, i GeoGebra (bruk knappen på verktøylinja, slik at du får vektor mellom to punkter).

Skriv så inn i algebrafeltet: u+v. Nå får du en vektor $$ \overrightarrow{w}$$ som er tegnet fra origo og er summen av de to vektorene du selv har tegnet. (Du får ikke piler over bokstavene uten å lage en tekstboks i GeoGebra, men det trenger du ikke å bruke tid på her.) På bildet ser du et eksempel på hvordan du kan tegne dem.

• Ta tak i vektorene og flytt dem rundt i grafikkfeltet. Hva skjer med vektorsummen?
• Ta tak i et av punktene på vektorene og dra i det slik at vektoren endres. Hva skjer nå med vektorsummen?

• Prøv å lage $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ like lange, men i motsatt retning. Hva skjer med vektorsummen?

• La vektorene $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ stå vinkelrett på hverandre. Kan du finne lengden av $$ \overrightarrow{w}$$ ved regning?

Vi har gitt vektorene $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ som på figuren til høyre.

Finn $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \mathrm{og} \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$$ ved tegning. Hva observerer du?

Løsning

Vi observerer ved hjelp av tegning at de to vektorsummene blir identiske:

Vi har gitt tre vektorer $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \mathrm{og} \overrightarrow{c}$$ i et koordinatsystem. Se figuren.

Tegn vektorene:

a) $$ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$

b) $$ \frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$$

c) $$ \frac{3}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$

Løsning

Vi har et rektangel ABCD. Tegn vektorene under, og skriv dem enklere hvis det er mulig:

a) $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$

b) $$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$$

c) $$ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$$

d) $$ \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}$$

e) $$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}$$

Løsning

a) $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

b) $$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$$

c) $$ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$$

d)$$ \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}$$

e) $$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$$

Vi har gitt tre vektorer som vist på figuren til høyre.

Tegn vektorene:

a) $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$

b) $$ \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$$

c) $$ -\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$

Løsning

Vi har gitt vektorene på bildet til høyre.

a) Uttrykk vektorene $$ \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e} \mathrm{og} \overrightarrow{f}$$ ved hjelp av vektorene $$ \overrightarrow{a} \mathrm{og} \overrightarrow{b}$$.

b) Uttrykk vektorene $$ \overrightarrow{a} \mathrm{og} \overrightarrow{b}$$ ved hjelp av $$ \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e} \mathrm{og} \overrightarrow{f}$$.