Prosentregning

Alle tall kan skrives som "prosent". Dette er fordi alle tall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren. Vi kan så utvide brøken slik at vi får 100 i nevneren.

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}5=\frac{5}{1}=\frac{5·100}{1·100}=\frac{500}{100}=500 \%\end{array} \\ \end{gathered}$$

$$ \begin{array}{l}0,34=\frac{0,34}{1}=\frac{0,34·100}{1·100}=\frac{34}{100}=34 \%\end{array}$$

I begge tilfellene kommer vi fra tallet til tilsvarende prosent ved å ...

Hva blir 1,62 skrevet som prosent?

Dette blir det motsatte av å skrive et tall som prosent. I stedet for å multiplisere med 100 prosent, må vi dividere med 100 prosent.

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{l}44 \%=\frac{44 \%}{100 \%}=0,44\\ \\ 1,23 \%=\frac{1,23 \%}{100 \%}=0,0123\end{array}\end{array}$$

Hva blir 200 prosent skrevet som tall?

Eksempel 1: å beregne skattetrekk

Linda har sommerjobb og tjener så mye at arbeidsgiveren må trekke 15 prosent av lønna i skatt. Hvor mye må Linda betale i skatt når hun tjener 3 000 kroner?

Løsning

For å finne svaret, må vi finne ut hvor mye 15 prosent utgjør. Vi bruker en metode vi kaller "veien om 1".

• Først må vi finne ut hvor mange prosent det oppgitte tallet tilsvarer. Det oppgitte tallet er 3 000 kroner. Dette er hele lønna, eller 100 prosent av lønna.

• For å finne 15 prosent av lønna regner vi først ut 1 prosent av lønna ved å dele 3 000 på 100: $$ \frac{3 000 \mathrm{kr}}{100}=30 \mathrm{kr}$$.

• 15 prosent blir videre 15 ganger så mye som det 1 prosent tilsvarer: $30 \mathrm{kr}·15=450 \mathrm{kr}$.

Linda må betale 450 kroner i skatt.

Prøv å sette opp hele utregningen som ett regnestykke.

Regn ut svaret med CAS i GeoGebra.

Utregning med CAS i GeoGebra

I CAS i GeoGebra skriver vi 3000/100*15 og trykker på knappen $\boxed{=_{}^{}}$.

Eksempel 2: å finne salgspris

Et par sko koster 540 kroner. Skoene settes ned med 40 prosent. Hva blir salgsprisen på skoene?

Løsning

Vi går "veien om 1" for å finne ut hvor mye skoene er nedsatt, som utgjør 40 prosent.

• Det oppgitte tallet er den opprinnelige prisen. 540 kroner utgjør derfor 100 prosent.

• 1 prosent av prisen blir $\frac{540 \mathrm{kr}}{100}=5,40 \mathrm{kr}$.

• 40 prosent blir videre $5,40 \mathrm{kr}·40=216 \mathrm{kr}$.

Salgsprisen blir da $540 \mathrm{kr}-216 \mathrm{kr}=324 \mathrm{kr}$.

Sett opp utregningen som ett regnestykke. Finn svaret med CAS.

Utregning som ett regnestykke

$$ 540 \mathrm{kr}-\frac{540 \mathrm{kr}·40}{100}$$

Hvorfor kalles metoden "veien om 1", tror du?

Eksempel 1: eksamensuttrekk

I en matematikklasse ble seks elever trukket ut til eksamen. Disse seks elevene utgjorde 40 prosent av elevene i klassen. Hvor mange elever var det i klassen?

Løsning

Oppgaven spør etter antall elever i klassen. Det er det tallet som prosenten er regnet av og tilsvarer derfor 100 prosent. Vi bruker metoden "veien om 1", og som i eksemplene over må vi begynne med å finne ut hvor mange prosent det oppgitte tallet tilsvarer.

• Tallet som er oppgitt, er 6 (elever). 6 elever utgjør 40 prosent.

• 1 prosent utgjør $$ \frac{6 \mathrm{elever}}{40}$$.

• 100 prosent blir da $$ \frac{6 \mathrm{elever}}{40}·100$$.

Utregning i CAS gir oss at det var 15 elever i klassen.

Eksempel 2: opprinnelig pris på dongerijakke

En dongerijakke selges med 30 prosent rabatt. Prisen etter at rabatten er trukket fra, er 420 kroner. Hva var den opprinnelige prisen?

Løsning

Den opprinnelige prisen tilsvarer 100 prosent siden det er den opprinnelige prisen rabatten er regnet av. Vi begynne med å finne ut hvor mange prosent det oppgitte tallet tilsvarer, og går "veien om 1".

• Det oppgitte tallet er prisen etter at det er trukket fra en rabatt på 30 prosent. Det betyr at 420 kroner tilsvarer $100 \%-30 \%=70 \%$ av den opprinnelige prisen.

• 1 prosent av prisen blir $$ \frac{420 \mathrm{kr}}{70}$$.

• 100 prosent av prisen blir $$ \frac{420 \mathrm{kr}}{70}·100$$.

Den opprinnelige prisen var 600 kroner.

Vi bruker metoden når vi skal finne hvor mye en viss prosent tilsvarer.

1. Ta utgangspunkt i ett av de tallene i oppgaven som ikke er et prosentall, og finn ut hvor mange prosent dette tilsvarer.

2. Del tallet på prosenten for å finne ut hvor mye 1 prosent tilsvarer.

3. Finn hvor mange prosent det tallet du skal finne, tilsvarer og multipliser med det.

Når vi skal finne hvor mange prosent en størrelse utgjør av en annen størrelse, er det ofte enklest å sette opp forholdet mellom størrelsene som en brøk. Da kan vi videre skrive brøken som et desimaltall og omgjøre desimaltallet til et prosenttall, slik vi viste innledningsvis.

Eksempel 1: pizzaandel

Niels Henrik og Mary Ann skal dele en pizza. Pizzaen er delt i fem like store stykker. Niels Henrik spiser tre pizzastykker, og Mary Ann spiser to. Hvor mange prosent av pizzaen spiser Niels Henrik?

Løsning

Her skal vi finne ut hvor mange prosent Niels Henrik sin del, 3 pizzastykker, er, sammenliknet med hele pizzaen, som består av 5 pizzastykker. Da setter vi opp forholdet mellom 3 og 5. Niels Henrik sin andel er

$$ \frac{3}{5}=0,6=0,6·100 \%=60 \%$$

Vi regner altså brøken om til desimaltall og finner prosenttallet.

Eksempel 2: prisøkning på moreller

Pettersen selger moreller. Et år øker han prisen på en kurv moreller fra 35 kroner til 40 kroner. Hvor mange prosent øker prisen med?

Løsning

Her skal vi finne ut hvor mange prosent prisøkningen er. Da er det alltid den opprinnelige verdien, eller utgangspunktet, vi sammenlikner med. Vi finner forholdet mellom prisøkning og gammel pris. Dette forholdstallet gjør vi om til prosent. Regnestykket blir

$$ \frac{40-35}{35}·100 \%$$

Prisen øker med 14,3 prosent. Merk at i linje 1 i utregningen med GeoGebra får vi det eksakte svaret $$ \frac{100}{7}$$. I linje 2 har vi brukt knappen $$ \boxed{{\approx }_{}^{}}$$ i stedet for $\boxed{=_{}^{}}$ for å få svaret som et avrundet desimaltall.

Formel for prosentvis endring

$$ \frac{\mathrm{Endring}}{\mathrm{Utgangspunkt}}·100 \%$$

Promille betyr "tusendel". For eksempel er én promille av 2 000 kroner lik 2 kroner, og én promille av 100 000 er lik 100. Tegnet for promille er ‰.

$$ 1 ‰=\frac{1}{1 000}=0,001$$

All regning med promille foregår helt på samme måte som regning med prosent. Du må bare passe på å multiplisere og dividere med 1 000 i stedet for med 100.