Prosentrekning

Alle tal kan skrivast som "prosent". Dette er fordi alle tal kan skrivast som ein brøk med 1 i nemnaren. Vi kan så utvide brøken slik at vi får 100 i nemnaren.

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}5=\frac{5}{1}=\frac{5·100}{1·100}=\frac{500}{100}=500 \%\end{array} \\ \end{gathered}$$

$$ \begin{array}{l}0,34=\frac{0,34}{1}=\frac{0,34·100}{1·100}=\frac{34}{100}=34 \%\end{array}$$

I begge tilfella kjem vi frå talet til tilsvarande prosent ved å ...

Kva blir 1,62 skrive som prosent?

Dette blir det motsette av å skrive eit tal som prosent. I staden for å multiplisere med 100 prosent, må vi dividere med 100 prosent.

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{l}44 \%=\frac{44 \%}{100 \%}=0,44\\ \\ 1,23 \%=\frac{1,23 \%}{100 \%}=0,0123\end{array}\end{array}$$

Kva blir 200 prosent skrive som tal?

Døme 1: å berekne skattetrekk

Linda har sommarjobb og tener så mykje at arbeidsgivaren må trekke 15 prosent av lønna i skatt. Kor mykje må Linda betale i skatt når ho tener 3 000 kroner?

Løysing

For å finne svaret, må vi finne ut kor mykje 15 prosent utgjer. Vi bruker ein metode vi kallar "vegen om 1".

• Først må vi finne ut kor mange prosent det gitte talet svarer til. Det gitte talet er 3 000 kroner. Dette er heile lønna, eller 100 prosent av lønna.

• For å finne 15 prosent av lønna reknar vi først ut 1 prosent av lønna ved å dele 3 000 på 100: $$ \frac{3 000 \mathrm{kr}}{100}=30 \mathrm{kr}$$.

• 15 prosent blir vidare 15 gonger så mykje som det 1 prosent svarer til: $30 \mathrm{kr}·15=450 \mathrm{kr}$.

Linda må betale 450 kroner i skatt.

Prøv å setje opp heile utrekninga som eitt reknestykke.

Rekn ut svaret med CAS i GeoGebra.

Utrekning med CAS i GeoGebra

I CAS i GeoGebra skriv vi 3000/100*15 og trykker på knappen $\boxed{=_{}^{}}$.

Døme 2: å finne salspris

Eit par sko kostar 540 kroner. Skoa blir sette ned med 40 prosent. Kva blir salsprisen på skoa?

Løysing

Vi går "vegen om 1" for å finne ut kor mykje skoa er sette ned, som utgjer 40 prosent.

• Det gitte talet er den opphavlege prisen. 540 kroner utgjer derfor 100 prosent.

• 1 prosent av prisen blir $\frac{540 \mathrm{kr}}{100}=5,40 \mathrm{kr}$.

• 40 prosent blir vidare $5,40 \mathrm{kr}·40=216 \mathrm{kr}$.

Salsprisen blir då $540 \mathrm{kr}-216 \mathrm{kr}=324 \mathrm{kr}$.

Set opp utrekninga som eitt reknestykke. Finn svaret med CAS.

Utrekning som eitt reknestykke

$$ 540 \mathrm{kr}-\frac{540 \mathrm{kr}·40}{100}$$

Kvifor blir metoden kalla "vegen om 1", trur du?

Døme 1: eksamensuttrekk

I ein matematikklasse vart seks elevar trekte ut til eksamen. Desse seks elevane var 40 prosent av elevane i klassen. Kor mange elevar var det i klassen?

Løysing

Oppgåva spør etter talet på elevar i klassen. Det er det talet som prosenten er rekna av og svarer derfor til 100 prosent. Vi bruker metoden "vegen om 1", og som i døma over må vi byrje med å finne ut kor mange prosent det gitte talet svarer til.

• Talet som er gitt, er 6 (elevar). 6 elevar utgjer 40 prosent.

• 1 prosent utgjer $$ \frac{6 \mathrm{elevar}}{40}$$.

• 100 prosent blir då $$ \frac{6 \mathrm{elevar}}{40}·100$$.

Utrekning i CAS gir oss at det var 15 elevar i klassen.

Døme 2: opphavleg pris på dongerijakke

Ei dongerijakke blir seld med 30 prosent rabatt. Prisen etter at rabatten er trekt frå, er 420 kroner. Kva var den opphavlege prisen?

Løysing

Den opphavlege prisen svarer til 100 prosent sidan det er den opphavlege prisen rabatten er rekna av. Vi byrjar med å finne ut kor mange prosent det oppgitte talet svarer til, og går "vegen om 1".

• Det oppgitte talet er prisen etter at det er trekt frå ein rabatt på 30 prosent. Det betyr at 420 kroner svarer til $100 \%-30 \%=70 \%$ av den opphavlege prisen.

• 1 prosent av prisen blir $$ \frac{420 \mathrm{kr}}{70}$$.

• 100 prosent av prisen blir $$ \frac{420 \mathrm{kr}}{70}·100$$.

Den opphavlege prisen var 600 kroner.

Vi bruker metoden når vi skal finne kor mykje ein viss prosent svarer til.

1. Ta utgangspunkt i eitt av dei tala i oppgåva som ikkje er eit prosental, og finn ut kor mange prosent dette svarer til.

2. Del talet på prosenten for å finne ut kor mykje 1 prosent svarer til.

3. Finn kor mange prosent det talet du skal finne, svarer til og multipliser med det.

Når vi skal finne kor mange prosent ein storleik utgjer av ein annan storleik, er det ofte enklast å setje opp forholdet mellom storleikane som ein brøk. Då kan vi vidare skrive brøken som eit desimaltal og gjere om desimaltalet til eit prosenttal, slik vi viste innleiingsvis.

Døme 1: pizzadel

Niels Henrik og Mary Ann skal dele ein pizza. Pizzaen er delt i fem like store stykke. Niels Henrik et tre pizzastykke, og Mary Ann et to. Kor mange prosent av pizzaen et Niels Henrik?

Løysing

Her skal vi finne ut kor mange prosent Niels Henrik sin del, 3 pizzastykke, er, samanlikna med heile pizzaen, som består av 5 pizzastykke. Då set vi opp forholdet mellom 3 og 5. Niels Henrik sin del er

$$ \frac{3}{5}=0,6=0,6·100 \%=60 \%$$

Vi reknar altså brøken om til desimaltal og finn prosenttalet.

Døme 2: prisauke på morellar

Pettersen sel morellar. Eit år aukar han prisen på ei korg morellar frå 35 kroner til 40 kroner. Kor mange prosent aukar prisen med?

Løysing

Her skal vi finne ut kor mange prosent prisauken er. Då er det alltid den opphavlege verdien, eller utgangspunktet, vi samanliknar med. Vi finn forholdet mellom prisauke og gammal pris. Dette forholdstalet gjer vi om til prosent. Reknestykket blir

$$ \frac{40-35}{35}·100 \%$$

Prisen aukar med 14,3 prosent. Merk at i linje 1 i utrekninga med GeoGebra får vi det eksakte svaret $$ \frac{100}{7}$$. I linje 2 har vi brukt knappen $$ \boxed{{\approx }_{}^{}}$$ i staden for $\boxed{=_{}^{}}$ for å få svaret som eit avrunda desimaltal.

Formel for prosentvis endring

$$ \frac{\mathrm{Endring}}{\mathrm{Utgangspunkt}}·100 \%$$

Promille betyr "tusendel". Til dømes er éin promille av 2 000 kroner lik 2 kroner, og éin promille av 100 000 er lik 100. Teiknet for promille er ‰.

$$ 1 ‰=\frac{1}{1 000}=0,001$$

All rekning med promille går føre seg heilt på same måte som rekning med prosent. Du må berre passe på å multiplisere og dividere med 1 000 i staden for med 100.