Modellering og analyse av trigonometriske funksjoner

Funksjonen vil ha sin største verdi når $\sin x=1$. Det betyr at den største verdien er $\frac{1}{2}·1=\frac{1}{2}$.

Funksjonen vil ha sin minste verdi når $\sin x=-1$. Det betyr at den minste verdien er $\frac{1}{2}·\left(-1\right)=-\frac{1}{2}$.

Funksjonen vil ha sin største verdi når $\cos 2x=1$. Det betyr at den største verdien er $3·1=3$.

Funksjonen vil ha sin minste verdi når $\cos 2x=-1$. Det betyr at den største verdien er $3·\left(-1\right)=-3$.

Vi vet at verdimengden til en tangensfunksjon er alle reelle verdier. Funksjonen vil derfor ikke ha en største eller minste verdi.

Funksjonen vil ha sin største verdi når $\sin 2x=1$. Det betyr at den største verdien er $3·1+2=5$.

Funksjonen vil ha sin minste verdi når $\sin 2x=-1$. Det betyr at den minste verdien er $3·\left(-1\right)+2=-1$.

Her kan vi bruke det vi vet om å slå sammen to slike trigonometriske uttrykk til et generelt sinusuttrykk. Vi setter

$\begin{array}{rcl}3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 3x & =& a\sin 3x+b\cos 3x\\ & =& A\sin \left(3x+𝜑\right)\end{array}$

der

$A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Siden vi bare skal finne største og minste verdi til funksjonen, trenger vi ikke bry oss om hva $𝜑$ er.

Amplituden til funksjonen er $2\sqrt{3}$, og det er ingen konstantledd i funksjonen. Funksjonen vil derfor ha $2\sqrt{3}$som største verdi og $-2\sqrt{3}$ som minste verdi.

Det er ikke gitt noen definisjonsmengde, så da må vi anta at $D_f=\mathrm{ℝ}$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 0\\ 2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)+1 & =& 0\\ \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right) & =& -\frac{1}{2}\\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& \frac{7\pi }{6}+n·2\pi \vee \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}= \frac{11\pi }{6}+n·2\pi \\ \frac{x}{2} & =& \frac{5\pi }{6}+n·2\pi \vee \frac{x}{2}=\frac{9\pi }{6}+n·2\pi \\ x & =& \frac{5\pi }{3}+n·4\pi \vee x=3\pi +n·4\pi \\ n & \in & \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Nullpunktene er $x=\frac{5\pi }{3}+n·4\pi \vee x=3\pi +n·4\pi$.

Funksjonen er en variant av den generelle sinusfunksjonen. Vi bruker derfor at en sinusfunksjon er periodisk slik at toppunktene kommer med én periodes mellomrom. Det samme gjelder bunnpunktene.

En generell sinusfunksjon har sin største verdi når argumentet er $\frac{\pi }{2}+n·2\pi$ der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Dette gir oss

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+n·2\pi \\ \frac{x}{2} & =& \frac{\pi }{6}+n·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{3}+n·4\pi \end{array}$

Vi vil få nye toppunkter med et mellomrom på $4\pi$ mellom hvert mellomrom. Det betyr at perioden $p=4\pi$. $y$-koordinatene blir

$d+A=1+2=3$

Toppunktene til $f$ er derfor $\left(\frac{\pi }{3}+n·4\pi , 3\right)$.

Bunnpunktene ligger midt mellom toppunktene, det vil si når

$x=\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{2}+n·4\pi =\frac{7\pi }{3}+n·4\pi$

$y$-koordinatene blir

$d-A=1-2=-1$

Bunnpunktene til $f$ er derfor $\left(\frac{7\pi }{3}+n·4\pi , -1\right)$.

En generell sinusfunksjon har ingen terrassepunkter.

Vendepunktene til en sinusfunksjon ligger der grafen krysser likevektslinja. Derfor vil de ligge med en halv periodes mellomrom midt mellom et topp- og et bunnpunkt. For eksempel er $x$-koordinaten til noen av vendepunktene en kvart periode større enn $x$-koordinaten til toppunktene. Dette gir oss at vi får vendepunkter når

$x=\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{4}+n·\frac{4\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}+n·2\pi$

$y$-koordinaten til vendepunktet er $d=1$. Koordinatene til vendepunktene blir

$\left(\frac{4\pi }{3}+n·2\pi , 1\right)$

Siden det første ekstremalpunktet etter vendepunktet i $x=\frac{4\pi }{3}$ er bunnpunktet i $\frac{7\pi }{3}$, vil grafen vende den hule siden opp i intervallet mellom $\frac{4\pi }{3}$ og det "neste" vendepunktet, det vil si i intervallet $\left[\frac{4\pi }{3},\frac{4\pi }{3}+2\pi \right]=\left[\frac{4\pi }{3},\frac{10\pi }{3}\right]$. I intervallet mellom $\frac{10\pi }{3}$ og det neste vendepunktet vil grafen vende den hule siden ned. Slik vil det fortsette.

Gjennomsnittsverdien til $f$ er $d$, som er 1.

Vi må først finne $f^{\text{'}}\left(x\right)$. Vi setter $u=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}$, som gir $g\left(u\right)=2\sin u+1$ og $u^{\text{'}}=\frac{1}{2}$ og bruker kjerneregelen når vi deriverer.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\\ & =& 2\cos \left(u\right)·\frac{1}{2}\\ & =& 2\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)·\frac{1}{2}\\ & =& \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Vi finner nullpunktene til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right) & =& 0\\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \\ \frac{x}{2} & =& \frac{\pi }{6}+n·\pi \\ x & =& \frac{\pi }{3}+n·2\pi , n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Nå må vi finne ut hvilke av disse $x$-verdiene som gir et toppunkt og hvilke som gir et bunnpunkt. Når $n=0$, får vi at $x=\frac{\pi }{3}$. Argumentet til sinusfunksjonen blir da

$\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$

Dette må være et toppunkt siden $\sin \frac{\pi }{2}=1$ er den største verdien sinus kan ha. Det neste nullpunktet til den deriverte, som vi får når $n=1$, må være et bunnpunkt til funksjonen. $n=2$ må gi et toppunkt igjen.

Vi får derfor at $x$-koordinaten til toppunktene er

$\frac{\pi }{3}+2n·2\pi =\frac{\pi }{3}+n·4\pi$

og bunnpunktene

$\frac{\pi }{3}+\left(2n+1\right)·2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi +n·4\pi =\frac{7\pi }{3}+n·4\pi$

Alternativt kan vi ta dobbeltderiverttesten for å sjekke hva slags type stasjonære punkter vi får.

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)·\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$

Vi setter inn nullpunktene til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}+n·2\pi \right) & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+n·2\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)\\ & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{6}+n·\pi +\frac{\pi }{3}\right)\\ & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{3\pi }{6}+n·\pi \right)\\ & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}+n·\pi \right)\\ & =& \pm \frac{1}{2}\end{array}$

Svaret skifter mellom å være positivt og negativt. Svaret er negativt når $n$ er 0 eller et partall, og positivt når $n$ er et oddetall. Dette gir samme resultat som over.

Vi bruker at $y$-koordinaten til toppunktene får vi når sinus til uttrykket i parentes er 1. Da trenger vi ikke sette inn $x$-koordinaten til toppunktene for å regne ut $y$-verdien. Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{\pi }{3}+n·4\pi \right) & =& 2·1+1=3\end{array}$

$y$-koordinaten til bunnpunktene får vi tilsvarende når sinus til uttrykket i parentes er lik $-1$. Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{7\pi }{3}+n·4\pi \right)& =& 2·\left(-1\right)+1=-1\end{array}$

Oppsummert får vi dette:

Toppunkt: $\left(\frac{\pi }{3}+n·4\pi , 3\right)$

Bunnpunkt: $\left(\frac{7\pi }{3}+n·4\pi , -1\right)$

$n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Stemmer dette med resultatet i forrige oppgave?

Vi finner vendepunktene ved å sette den dobbeltderiverte lik 0.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right) & =& 0\\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& n·\pi \\ \frac{x}{2} & =& -\frac{\pi }{3}+n·\pi \\ x & =& -\frac{2\pi }{3}+n·2\pi \\ & =& -\frac{2\pi }{3}+2\pi +n·2\pi \\ & =& \frac{4\pi }{3}+n·2\pi \\ n & \in & \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Nederst har vi skrevet om uttrykket for å skrive det første leddet som en vinkel i første omløp, men vi må ikke gjøre det.

Vi prøver å sette denne løsningen inn i $f$.

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{4\pi }{3}+n·2\pi \right) & =& 2\sin \left(\frac{{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+n·2\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)+1\\ & =& 2\sin \left(\frac{2\pi }{3}+n·\pi +\frac{\pi }{3}\right)+1\\ & =& 2\sin \left(\pi +n·\pi \right)+1\\ & =& 2\sin \left(n·\pi \right)+1\\ & =& 2·0+1\\ & =& 1\end{array}$

Vendepunktene til $f$ er $\left(\frac{4\pi }{3}+n·2\pi , 1\right)$.

Svaret er nei. Her har vi en kombinasjon av en sinusfunksjon og en polynomfunksjon som er avhengig av $x$. Da må vi derivere.

Vi deriver $f\left(x\right)$. Vi bruker kjerneregelen igjen, her i kortform:

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 2\sin 2x+2x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 2\cos \left(2x\right)·2+2\\ & & \\ & =& 4\cos 2x+2\end{array}$

Vi finner eventuelle ekstremalpunkter ved å sette $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rclcccrclll}4\cos 2x+2& =& 0& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ \cos 2x& =& -\frac{1}{2}& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ 2x& =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi & & \vee & & 2x& =& \frac{4\pi }{3}+k·2\pi & ,& k \mathrm{heltall}\\ & & & & & & & & & & \\ x& =& \frac{\pi }{3}+k·\pi & & \vee & & x& =& \frac{2\pi }{3}+k·\pi & ,& x\in ⟨0, 2\pi ⟩\end{array}$

For begge løsningene kan vi bare bruke $k$-verdier på 0 og 1 for at løsningene skal være innenfor definisjonsmengden. Vi får følgende mulige ekstremalpunkter:

$x=\frac{\pi }{3} \vee x=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$

$\vee$

$x=\frac{2\pi }{3} \vee x=\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}$

Så tar vi en stikkprøve for å avgjøre monotoniegenskapene i stedet for dobbeltderiverttesten:

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}\right)& = & 4\cos \left(2·\frac{\pi }{6}\right)+2=4\end{array}·\frac{1}{2}+2=4$

Siden den deriverte er en ren cosinusfunksjon, vet vi at den skifter fortegn i nullpunktene. Vi trenger derfor ikke å ta flere stikkprøver.

Vi kan nå sette opp fortegnslinja for $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Fortegnslinja viser at grafen til $f$ stiger i intervallene $\langle 0, \frac{\pi }{3}\rangle$, $⟨\frac{2\pi }{3}, \frac{4\pi }{3}⟩$ og $⟨\frac{5\pi }{3}, 2\pi ⟩$ og synker i intervallene $⟨\frac{\pi }{3}, \frac{2\pi }{3}⟩$ og $⟨\frac{4\pi }{3}, \frac{5\pi }{3}⟩$.

$x$-koordinatene til toppunktene blir $x=\frac{\pi }{3}$ og $x=\frac{4\pi }{3}$, og bunnpunktene har $x$-koordinatene $x=\frac{2\pi }{3}$ og $x=\frac{5\pi }{3}$.

$y$-verdien til toppunktene blir

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}f\left(\frac{\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{2\pi }{3}=2\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi }{3}=\sqrt{3}+\frac{2\pi }{3}\\ & & \\ f\left(\frac{4\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{8\pi }{3}\right)+\frac{2·4\pi }{3}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{4\pi }{3}=\sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\end{array}\end{array}$

$y$-verdien til bunnpunktene blir

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{2\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)+\frac{2·2\pi }{3}=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{4\pi }{3}=-\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\\ & & \\ f\left(\frac{5\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{10\pi }{3}\right)+\frac{2·5\pi }{3}=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{10\pi }{3}=-\sqrt{3}+\frac{10\pi }{3}\end{array}$

Toppunkter: $\left(\frac{\pi }{3}, \sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)$ og $\left(\frac{4\pi }{3}, \sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\right)$

Bunnpunkter: $\left(\frac{2\pi }{3}, -\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)$ og $\left(\frac{5\pi }{3}, -\sqrt{3}+\frac{10\pi }{3}\right)$

Ekstremalpunktene kommer med periodiske mellomrom, men siden ekstremalverdiene varierer, vil ikke funksjonen være periodisk.

Vi finner infleksjonspunkter ved å sette $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=0$. Først finner vi $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right).$

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4\cos 2x+2\\ & & \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& 4\left(-\sin 2x\right)·2\\ & & \\ & =& -8\sin 2x\end{array}$

Så setter vi den andrederiverte lik null.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& 0\\ & & \\ -8\sin 2x& =& 0\\ & & \\ \sin 2x& =& 0\\ & & \\ 2x& =& 0+k·\pi \\ & & \\ x& =& k·\frac{\pi }{2} , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Vi får løsning når $k\in \left\{1,2,3\right\}$. I stigende rekkefølge får vi følgende infleksjonspunkter:

$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{\pi }{2} \vee x=\pi \vee x=\frac{3\pi }{2}\\ & & \\ f\left(\frac{\pi }{2}\right)& =& 2\sin \left(\frac{2·\pi }{2}\right)+\frac{2·\pi }{2}=\pi \\ & & \\ f\left(\pi \right)& =& 2\sin \left(2\pi \right)+2\pi =2\pi \\ & & \\ f\left(\frac{3\pi }{2}\right)& =& 2\sin \left(\frac{2·3\pi }{2}\right)+\frac{2·3\pi }{2}=3\pi \end{array}$

Vendepunkt:

$\left(\frac{\pi }{2}, \pi \right), \left(\pi , 2\pi \right)$ og $\left(\frac{3\pi }{2}, 3\pi \right)$

Funksjonen må stige raskest i ett av vendepunktene. Vi må se etter et vendepunkt som kommer etter et bunnpunkt. Det første bunnpunktet er $\left(\frac{2\pi }{3}, -\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)$. Det nærmeste vendepunktet etter dette er $\left(\pi , 2\pi \right)$. Det andre bunnpunktet har ikke noe vendepunkt etter seg. Vi regner ut

$f^{\text{'}}\left(\pi \right)=4·\cos 2\pi +2=4·1+2=6$

Funksjonen stiger raskest når $x=\pi$, og da er den momentane vekstfarten 6.

Vendepunktet med minst $x$-verdi er punktet $\left(\frac{\pi }{2}, \pi \right)$. Stigningstallet til tangenten er

$f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=4\cos \left(2·\frac{\pi }{2}\right)+2=4·\left(-1\right)+2=-2$

Vi bruker ettpunktsformelen for å finne vendetangenten:

$\begin{array}{rcl}y-y_1& =& a(x-x_1)\\ & & \\ y-\pi & = & -2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\\ & & \\ y& =& -2x+2\pi \end{array}$

Vi bruker funksjonen $f$ som alt er skrevet inn i algebrafeltet i GeoGebra.

I linje 1 finner vi ekstremalpunktene.

I linje 2 bruker vi dobbeltderiverttesten for å finne ut om ekstremalpunktene er minimal- eller maksimalpunkt.

I linje 3 regner vi ut ekstremalverdiene.

I linje 4 finner vi nullpunktene til den dobbeltderiverte. Ut fra verdiene vi fikk regnet ut i linje 2, ser vi at den dobbeltderiverte skifter fortegn i disse nullpunktene, som da er infleksjonspunkt.

I linje 5 finner vi $y$-koordinatene til vendepunktene.

I linje 6 regner vi ut den deriverte i vendepunktene siden det må være i ett av disse funksjonen stiger raskest.

I linje 7 finner vi tangenten for $x=\frac{\pi }{2}$.

Vi kan erstatte $2v$ med $x$ i formelen. Det betyr at $v=\frac{x}{2}$. Dette gir

$\cos x= {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Så bruker vi enhetsformelen med vinkelen $\frac{x}{2}$:

${\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)=1 \iff {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)=1-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Resultatet blir

$\begin{array}{rcl}\cos x & =& {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)\\ & =& 1-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)\\ & =& 1-2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)\end{array}$

Ved å snu på resultatet i oppgave a) får vi at

$2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$

Dette gir videre

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\\ & =& 1-\cos x-1\\ & =& -\cos x\end{array}$

Grafen vil ha toppunkter der $\cos x$ har bunnpunkter og motsatt. Det betyr at

• bunnpunktene til $f$ er $\left(n·2\pi ,-1\right)$, $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

• toppunktene til $f$ er $\left(\pi +n·2\pi ,1\right)$

Vi vet at ${\sin }^{2}x$ vil ha toppunkt både når $\sin x=1$ og $\sin x=-1$. Bunnpunktene vil være der $\sin x=0$.

Toppunktene kommer derfor når

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{x}{2} & =& \pm 1\\ \frac{x}{2} & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi , n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \pi +n·2\pi \end{array}$

Bunnpunktene kommer tilsvarende når

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{x}{2} & =& 0\\ \frac{x}{2} & =& n·\pi \\ x & =& n·2\pi \end{array}$

Dette stemmer med det vi fant i oppgave d) over.

Vi vet at ${\sin }^{2}x$ vil ha toppunkt både når $\sin x=1$ og $\sin x=-1$. Bunnpunktene vil være der $\sin x=0$.

Toppunktene kommer derfor når

$\begin{array}{rcl}\sin x & =& \pm 1\\ x & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$y$-koordinaten til toppunktene blir $2·1+1=3$.

Bunnpunktene kommer tilsvarende når

$\begin{array}{rcl}\sin x & =& 0\\ x & =& n·\pi \end{array}$

$y$-koordinaten til bunnpunktene blir $2·0+1=1$.

Vi får

• toppunkter: $\left(\frac{\pi }{2}+n·\pi ,3\right)$

• bunnpunkter: $\left(n·\pi ,1\right)$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Vi vet at ${\cos }^{2}3x$ vil ha toppunkt både når $\cos 3x=1$ og $\cos 3x=-1$. Bunnpunktene vil være der $\cos 3x=0$.

Toppunktene kommer derfor når

$\begin{array}{rcl}\cos 3x & =& \pm 1\\ 3x & =& n·\pi \\ x & =& n·\frac{\pi }{3}\end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$y$-koordinaten til toppunktene blir $3·1-4=-1$.

Bunnpunktene kommer tilsvarende når

$\begin{array}{rcl}\cos 3x & =& 0\\ 3x & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{3}\end{array}$

$y$-koordinaten til bunnpunktene blir $3·0-4=-4$.

Vi får

• toppunkter: $\left(n·\frac{\pi }{3},-1\right)$

• bunnpunkter: $\left(\frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{3},-4\right)$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Her lønner det seg å fjerne en av de trigonometriske funksjonene ved hjelp av enhetsformelen. Vi velger å fjerne ${\cos }^{2}2x$.

$\begin{array}{rcl}{\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& 1\\ {\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& 1-{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 5{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+{\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\\ & =& 5{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1-{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\\ & =& 4{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Vi vet at ${\sin }^{2}x$ vil ha toppunkt både når $\sin x=1$ og $\sin x=-1$. Bunnpunktene vil være der $\sin x=0$.

Toppunktene kommer derfor når

$\begin{array}{rcl}\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& \pm 1\\ 2x-\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \\ 2x & =& \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+n·\pi \\ & =& \frac{5\pi }{6}+n·\pi \\ x & =& \frac{5\pi }{12}+n·\frac{\pi }{2}\end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$y$-koordinaten til toppunktene blir $4·1=4$.

Bunnpunktene kommer tilsvarende når

$\begin{array}{rcl}\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& 0\\ 2x-\frac{\pi }{3} & =& n·\pi \\ 2x & =& \frac{\pi }{3}+n·\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{2}\end{array}$

$y$-koordinaten til bunnpunktene blir $4·0=0$.

Vi får

• toppunkter: $\left(\frac{5\pi }{12}+n·\frac{\pi }{2},4\right)$

• bunnpunkter: $\left(\frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{2},0\right)$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Den generelle sinusfunksjonen skriver vi som

$f\left(x\right)=A\sin \left(kx+𝜑\right)+d$

Siden det er tida som er den frie variabelen, kan vi bytte ut $x$ med $t$ hvis vi vil.

Den første opplysningen betyr at

$2A=80 \iff A=40$

Når pendelen bruker 4 s fra ytterpunkt til ytterpunkt, betyr det at perioden $p=2·4=8$. Det betyr at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$

Siden vi ikke har flere opplysninger om svingningen, kan vi ikke regne oss fram til hva $𝜑$ og $d$ er. Vi kan derfor sette $𝜑=d=0$. Funksjonen blir

$f\left(x\right)=40\sin \frac{\pi }{4}t$

Likevektslinja må ligge midt mellom laveste og høyeste verdi. Vi får derfor at

$d=\frac{30 000+15 000}{2}=22 500$

$A=30 000-d=30 000-22 500=7 500$

Hvis vi lar $x$ stå for dager, betyr det at perioden til funksjonen er ei uke, eller $p=7$. Da får vi at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{7}$

Hvis vi lar $x=1$ bety en mandag, betyr det at funksjonen skal ha toppunkt når $x=4$. Dette gir

$\begin{array}{rcl}\sin \left(k·4+𝜑\right) & =& 1\\ k·4+𝜑 & =& \frac{\pi }{2}+n·2\pi \\ \frac{2\pi }{7}·4+𝜑 & =& \frac{7\pi }{14}+ n·2\pi \\ 𝜑 & =& \frac{7\pi }{14}-\frac{16\pi }{14}+ n·2\pi \\ & =& -\frac{9\pi }{14}+n·2\pi \\ & =& \frac{19\pi }{14}+n·2\pi \end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Det enkleste er da å velge $n=0$. Funksjonen $f$ som passer best til å beskrive besøksmønsteret blir

$f\left(x\right)=2 500\sin \left(\frac{2\pi }{7}x+\frac{19\pi }{14}\right)+22 500$

Vi kan finne $d$ og $A$ på tilsvarende måte som i forrige oppgave.

$d=\frac{50 000+4 000}{2}=27 000$

$A=50 000-d=50 000-27 000=23 000$

Hvis vi lar $x$ stå for antall år, betyr det at perioden $p=4$. Det betyr at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

Vi kan si at det skal være lemenår når $x=0$. Det betyr at det skal være et toppunkt der. Dette gir

$k·0+𝜑=\frac{\pi }{2} \iff 𝜑=\frac{\pi }{2}$

Vi behøver ikke ta med "$+n·2\pi$" siden vi er fornøyde med en enkelt verdi for $𝜑$. Funksjonen for antall lemen blir

$f\left(x\right)=23 000\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{2}\right)+27 000$

Du kan bruke verktøyet "Tegne og måle", som ligger under hovedmenyen på Norgeskart, til å måle avstander. Du kan finne høyder over havet ved å klikke direkte i kartet (gå ut av "Tegne og måle" først) og se øverst til venstre.

Vi velger å lage et tverrsnitt fra Gol i Hallingdal til Koppang i Østerdalen. Dette måler vi til cirka 148 km. Denne avstanden skal tilsvare 3 perioder i sinusfunksjonen siden Østerdalen er den tredje dalen etter Hallingdal (vi regner ikke med noen mindre dalfører som også passeres, slik som Gausdal og Imsdalen).

Dalbunnene i de 4 dalene ligger mellom cirka 200 og 300 meter over havet. Da sier vi at den laveste verdien til sinusfunksjonen skal være 250. Tilsvarende måler vi at de høyeste toppene langs linja ligger rundt 1 250 meter over havet.

Vi får derfor at

$d=\frac{1 250+250}{2}=750$

$A=1 250-d=1 250-750=500$

Vi lar $x$ stå for avstand fra Gol målt i km. Siden det skal være 3 perioder mellom Gol og Koppang, betyr det at

$3p=147 \iff p=49$

Dette gir videre at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{49}=0,128$

Til slutt må vi bestemme $𝜑$. Vi skal ha et bunnpunkt i Gol, det vil si for $x=0$. Dette gir

$0,128·0+𝜑=\frac{3\pi }{2} \iff 𝜑=\frac{3\pi }{2}$

Funksjonen blir derfor

$f\left(x\right)=500\sin \left(0,128x+\frac{3\pi }{2}\right)+750$

En sinusfunksjon passer egentlig ikke så veldig godt. For eksempel er det nesten dobbelt så langt mellom Valdres og Gudbrandsdalen som mellom Valdres og Hallingdal.

Siden temperaturen går opp og ned mellom sommer og vinter, kan vi anta at en periodisk funksjon som en sinusfunksjon passer godt.

La $x=1$ bety januar 2022.

Vi utvider tabellen med en kolonne for $x$.

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger regresjonsanalyseverktøyet. Vi velger videre regresjonsmodellen "sin".

Resultatet blir

$f\left(x\right)=8,113\sin \left(0,52x-2,129\right)+5,061$

Funksjonen passer sånn noenlunde. Det kan se ut som at desember 2021 var veldig kald i Trondheim.

Perioden er

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{0,521}=12,1$

Perioden er 12,1 måneder, altså omtrent et år, som vi kunne forvente. Grunnen til at vi ikke får nøyaktig 12 måneder, kan skyldes at temperaturene varierer ganske mye innenfor en måned. Dersom vi hadde hatt tall for en tiårsperiode, ville nok perioden på den funksjonen vi hadde kommet fram til, vært enda nærmere 12.

Amplituden $A$ til sinusfunksjonen er 8,1 og sinusfunksjonen svinger rundt $d=5,1$.

Høyeste temperatur blir

$d+A=5,1°+8,1°=13,2°$

Laveste temperatur blir

$d-A=5,1°-8,1°=-3,0°$

Siden sinusfunksjonen svinger rundt likevektslinja, blir gjennomsnittstemperaturen gjennom året 5,1° etter modellen.

For å finne den årlige gjennomsnittstemperaturen direkte fra målingene lager vi ei liste av målingene fra og med januar 2022 til og med desember 2022. Så bruker vi kommandoen gsnitt for å få gjennomsnittet av tallene i lista.

Målingene gir årlig gjennomsnittstemperatur i Trondheim lik 5,2°, altså svært liten forskjell i forhold til hva modellen gir.

Vi bruker verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" og får et bunnpunkt med koordinatene $\left(1.1,-3.1\right)$ og et toppunkt med koordinatene $\left(7.1,13.2\right)$, se figuren.

$x=1,1$ betyr januar, mens $x=7,1$ betyr juli. Temperaturen er etter modellen lavest i januar og høyest i juli.

Vi ser at målingene tyder på at det er kaldest i desember og varmest i august, så det stemmer ikke helt med modellen. Det vil variere fra år til år hvilken måned som er kaldest, og hvilken som er varmest.

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene, velger regresjonsanalyseverktøyet og regresjonsmodellen "Sin".

Modellen passer godt med målingene. Sinusfunksjonen som passer best med tallene, er

$T\left(x\right)=21,3+6,0\sin \left(0.265x-2,67\right)$

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5        # lager funksjonen som beskriver modellen
6def modell(x,A,k,fi,d):
7  return A*np.sin(k*x + fi) + d
8        # legger inn måledataene i lister
9x_verdier = [0,1,4,7,9,10,12,13,15,17,20,22,24]
10y_verdier = [19,17,15,17,19,21,25,26,27,26,24,22,18]
11        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
12konstanter,kovarians = curve_fit(modell,x_verdier,y_verdier)
13        # henter ut konstantene fra lista konstanter
14A, k, fi, d = konstanter
15
16        # lager utskrift av funksjonen
17print(f"Funksjonen blir T(x) = {A:.2f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
18        # plotter data og modell som en kontroll
19        # plotter data
20plt.plot(x_verdier,y_verdier,'.', label="Målinger") 
21        # plotter modell
22x_array = np.linspace(min(x_verdier),max(x_verdier),300)
23y_array = modell(x_array,A, k, fi, d)
24plt.plot(x_array,y_array,"brown", label="Modell")
25plt.grid(True)
26plt.xlabel("Tid (timer)")
27plt.ylabel("Temperatur (°C)")
28plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
29        # endrer på skalaen på x-aksen til å passe bedre med klokka
30plt.xticks(np.arange(min(x_verdier), max(x_verdier)+1, 3.0))
31plt.show()

Programmet gir funksjonen $T\left(x\right)=21,40+1,61\sin \left(0,815x+3,57\right)$. Dette er ikke samme funksjon som vi fikk med regresjon i GeoGebra. Bildet nedenfor viser den grafiske framstillingen som programmet lager.

Modellen passer ikke med målingene. Regresjonen feiler, rett og slett. Heldigvis fins det et triks eller hjelpemiddel vi kan bruke. Det ser vi på i neste oppgave.

Temperaturen varierer mellom cirka 15 og 25 grader. Det betyr at amplituden $A\approx 5$. Perioden $p$ er omtrent 24 timer. Da vet vi at $k\approx \frac{2\pi }{24}\approx \frac{6}{24}=0,25$. Vi prøver om det går bra å beholde startverdien $𝜑=1$. Likevektslinja må ligge i nærheten av 20, så vi får $d\approx 20$.

Vi legger inn følgende kode i parameterlista til "curve_fit":

p0 = [5,0.25,1,20]

Da blir resultatet

$T\left(x\right)=21,3-6,0\sin \left(0,265x+0,47\right)$

Plottet programmet gir oss, viser at funksjonen passer godt.

Er dette samme funksjon som vi fikk med GeoGebra? Med GeoGebra fikk vi

$T\left(x\right)=21,3+6,0\sin \left(0.265x-2,67\right)$

Vis at de to funksjonene er like ved å bruke at

$A·\sin \left(ax+𝜑\right)=-A·\sin \left(ax+𝜑-\pi \right)$

Høyeste temperatur var

$d+A=21,3°+6,0°=27,3°$

Laveste temperatur var

$d-A=21,3°-6,0°=15,3°$

Oppgaven spør etter perioden $p$. Tidsrommet i timer mellom høyeste temperatur denne dagen og dagen etter er

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{0,265}=23,7$

Vi vet ikke noe om været dagen før eller dagen etter. Dersom været blir annerledes med for eksempel regn, vil modellen mest sannsynlig ikke passe særlig godt lenger.

En annen ting er at perioden ikke ble nøyaktig 24 timer. Det betyr at tidspunktene for den høyeste temperaturen kommer tidligere og tidligere for hver dag som går. Slik kan det ikke fortsette særlig lenge.

Gjennomsnittstemperaturen blir det samme som verdien for $d$, altså 21,3°, siden tidsrommet er én periode.

Her må vi regne ut et integral. Vi velger å bruke CAS i GeoGebra.

Gjennomsnittstemperaturen i dette tidsrommet var 23,1°.

Du kan også prøve å finne dataene selv på Kartverkets side for tidevann ved Mandal. Velg datoer fra 3. november 2022 til 4. november 2022, velg "Tabell" og "Hvert 10. minutt". Du må laste ned som ei tekstfil, importere tekstfila i Excel, passe på at tallene kommer i hver sin kolonne og eksportere regnearket som ei semikolonseparert csv-fil.

De øverste 15 linjene er informasjon om målingene. Tidspunktene står i første kolonne inkludert dato. I andre kolonne er måledataene vi er på jakt etter. Tredje kolonne inneholder det som var forventet nivå (disse tallene skal vi ikke bruke).

Først importeres biblioteket "pandas", som brukes til innlesingen av datafila.

I linje 3 leses datafila inn og lagres i datarammen data. Vi så i oppgave a) at det ikke var overskrifter i csv-fila. Derfor skriver vi header = None. Vi ønsker ikke å importere de 15 første radene, så vi spesifiserer det med kodeordet skiprows og funksjonen range. Med kodeordet sep angir vi at csv-fila er semikolonseparert. Kommandoen encoding = latin-1 gjør at vi kan ha for eksempel skandinaviske bokstaver i datafila.

I linje 5 lages det nye kolonneoverskrifter til datarammen data.

I linje 6 skrives datarammen ut til skjermen.

Resultatet blir omtrent som nedenfor, der de tre første målingene vises:

Det er vanskelig å bruke tidsangivelsen for måledataene direkte. Vi kan lage $x$-verdiene vi trenger, ved å generere en array med funksjonen "arange" eller "linspace". Se utskriften av dataene for å finne ut hva $x$-verdiene er.

Det kan hende modellen passer svært dårlig med måledataene, at regresjonen rett og slett feiler. Årsaken til det kan være at startverdiene regresjonsverktøyet bruker som utgangspunkt for de fire konstantene, ligger et stykke fra de riktige verdiene. Dette er tilfelle i forrige oppgave om temperaturen på Lindesnes. Løs i tilfelle problemet på samme måte ved å angi startverdier for konstantene i funksjonen ved hjelp av kodeordet p0.

Regresjonen feiler også her uten å spesifisere startverdier for regresjonskonstantene med kodeordet p0. Det holder å sette nye startverdier for A og for k. Nedenfor finner du fullstendig kode.

1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def modell(x,A,k,fi,d):
8    return A*np.sin(k*x + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("tidevann.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
11    sep =";", encoding = "latin-1")
12        # lager overskrifter til kolonnene
13data.columns = ["Tid","Vannstand","Ikke i bruk"]
14        # lager liste med måleverdiene, som står i kolonnen med overskrift "Vannstand"
15vannstand = list(data.Vannstand)
16        # lager array med x-verdiene (tidspunktene for målingene)
17tid = np.arange(0,48+1/6,1/6)
18
19        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
20konstanter,kovarians = curve_fit(modell, tid, vannstand, p0 = [15,2*np.pi/12,1,1])
21        # henter ut konstantene fra lista konstanter
22A, k, fi, d = konstanter
23
24        # lager utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
25print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.2f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
26        # lager y-verdier for modellen til plottingen av den
27modellverdier = modell(tid,A,k,fi,d)    
28plt.plot(tid,vannstand,'.', label = "Målinger")       # plotter måledataene
29plt.plot(tid,modellverdier, "brown", label = "Modell")       # plotter modellen
30plt.grid(True)
31plt.xlabel("Tid (timer)")
32plt.ylabel("Vannstand (cm)")
33plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
34        # endrer på skalaen på x-aksen til å passe bedre med klokka
35plt.xticks(np.arange(min(tid), max(tid)+1, 3.0))
36plt.show()

Programmet gir oss funksjonen

$f\left(x\right)=11,33\sin \left(0,546x+0,89\right)+76,5$

og plottet nedenfor.

Det finnes ikke en sinusfunksjon som passer godt til målingene av tidevannet siden vannstanden bare delvis følger en sinuskurve. Vi regner ut perioden til modellen.

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{0,546}=11,5$

På teorisiden har vi at tidsrommet mellom to høyvann, altså perioden, er 12,4 h. Vi får derfor litt for liten periode. Ellers kan vi si at amplituden og faseforskyvningen passer noenlunde med tallene for den 4. november, det vil si det andre døgnet. Likevektslinja er det vanskelig å si noe om, men det ser ut som den ligger på en slags gjennomsnittsverdi.

En amplitude på 11,3 cm gir en forskjell mellom høyvann og lavvann på 22,6 cm. Det er lite, siden vi har fra teorisiden at forskjellen for Mandal skal være 35 cm.

Vi regner ut $k$ først.

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{12,4}=0,507$

Koden kan se slik ut:

1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def modell(x,A,fi,d):
8    return A*np.sin(0.507*x + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("tidevann.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
11    sep =";", encoding = "latin-1")
12        # lager overskrifter til kolonnene
13data.columns = ["Tid","Vannstand","Ikke i bruk"]
14        # lager liste med måleverdiene, som står i kolonnen med overskrift "Vannstand"
15vannstand = list(data.Vannstand)
16        # lager array med x-verdiene (tidspunktene for målingene)
17tid = np.arange(0,48+1/6,1/6)
18
19        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
20konstanter,kovarians = curve_fit(modell, tid, vannstand, p0 = [15,1,1])
21        # henter ut konstantene fra lista konstanter
22A, fi, d = konstanter
23
24        # lager utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
25print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.2f}sin(0.507x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
26        # lager y-verdier for modellen til plottingen av den
27modellverdier = modell(tid,A,fi,d)    
28plt.plot(tid,vannstand,'.', label = "Målinger")       # plotter måledataene
29plt.plot(tid,modellverdier, "brown", label = "Modell 2")       # plotter modellen
30plt.grid(True)
31plt.xlabel("Tid (timer)")
32plt.ylabel("Vannstand (cm)")
33plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
34        # endrer på skalaen på x-aksen til å passe bedre med klokka
35plt.xticks(np.arange(min(tid), max(tid)+1, 3.0))
36plt.show()

Vi får funksjonen

$f\left(x\right)=9,82\sin \left(0,507x+1,88\right)+77,3$

Grafen til funksjonen har vi kalt "Modell 2" på figuren nedenfor.

Det ble ikke veldig stor endring. Det kan se ut som en periode på 12,4 timer er litt større enn tida mellom to høyvann, i alle fall for den andre dagen. Perioden til den første modellen passer litt bedre enn denne. Den nye modellen fikk ellers litt mindre amplitude enn den forrige, noe som passer enda dårligere med opplysningene om nivåforskjellen på tidevann for Mandal.

Da får vi $e^{0·t}=e^0=1$, og funksjonen blir en ren sinusfunksjon uten demping.

Vi må gjøre en regresjon med dataene for å bestemme konstanten $b$. Funksjonen for svingebevegelsen blir

$f\left(t\right)=A·e^{-bt}·\sin \left(kt+𝜑\right)+d$

Det er derfor 5 konstanter som må finnes:

$A, b, k, 𝜑$ og $d$

Vi velger å bruke Python og metoden curve_fit. For å regne ut $e^x$ kan vi bruke numpyfunksjonen exp(x).

Forslag til programkode:

1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def modell(t,A,b,k,fi,d):
8    return A*np.exp(b*t)*np.sin(k*t + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("sving.csv", skiprows = (0,1), sep =";", encoding = "latin-1")
11
12        # lager liste med måleverdiene, som står i kolonnen med overskrift "Utslag"
13utslag = list(data.Utslag)
14        # lager liste med t-verdiene, som står i kolonnen med overskrift "Tid"
15tid = np.array(list(data.Tid))
16
17        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
18konstanter,kovarians = curve_fit(modell, tid, utslag)
19        # henter ut konstantene fra lista konstanter
20A, b, k, fi, d = konstanter
21        # lager y-verdier for modellen til plottingen av den
22modellverdier = modell(tid,A,b,k,fi,d) 
23
24        # lager plott av modell og målinger
25plt.plot(tid,utslag,'.', label = "Målinger")       # plotter måledataene
26plt.plot(tid,modellverdier, "brown", label = "Modell")       # plotter modellen
27plt.grid(True)
28plt.xlabel("Tid (s)")
29plt.ylabel("Utslag (cm)")
30        # skriver ut funksjonen med matematisk tegnsetting
31plt.suptitle(f"Modell: $f(x)={A:.2f}e^{{{b:.3f}t}}\sin({{{k:.3f}t{fi:+.2f}}}){d:+.2f}$") 
32plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
33
34plt.show()

Koden gir utskriften nedenfor.

Vi får at dempingskonstanten $b=-0,044$.

Kommentarer til koden:

• I dette tilfellet var det ikke behov for å sette nye startverdier for regresjonskonstantene med kodeordet p0.

• For å få penere utskrift av funksjonsuttrykket har vi lagt det inn som en undertittel i plottet. Der kan vi få matematisk formatering med LaTeX ved å sette funksjonsuttrykket mellom dollartegn ($). Siden sløyfeparenteser brukes både av LaTeX for å gruppere ting og av Python til å markere at noe i en tekststreng er en variabel, må vi bruke doble sløyfeparenteser der LaTeX vil ha sløyfeparentes. Vi bruker som før enkel sløyfeparentes rundt variabler. Noen steder blir det derfor tre sløyfeparenteser etter hverandre.

• Koden \sin er LaTeX-kommandoen som gir "sin" som ikke står i kursiv.

Vi prøvde å løse likningen $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ med CAS, men det gikk ikke bra.

Vi studerer funksjonen. Det er faktoren $e^{-0.044t}$ i funksjonen som gir dempingen av utslaget. Vi kan bruke at utslaget blir halvert når denne faktoren er 0,5. Dette gir oss likningen

$e^{-0.044t}=0,5$

Vi får at svingningene er halvert etter cirka 16 sekunder.

Vi kan se på sinusdelen av funksjonen for å svare på dette. Antall hele svingninger blir hvor mange hele perioder sinusdelen har i løpet av de 16 sekundene.

Vi fikk at $k=1$. Det betyr at

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$

I løpet av 16 s blir antall perioder 2,55, så det går bare 2–3 hele svingninger før utslaget er halvert.