Oppgave

Lineære ulikheter

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Løs ulikhetene.

a) $x - 3 < 5$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x - 3 & < & 5 \\ x & < & 5 + 3 \\ x & < & 8 \end{array}$

Vi kan også løse ulikheten grafisk:

Koordinatsystem med x-verdier mellom 0 og 8 og y-verdier mellom minus 4 og 8. To linjer skjærer hverandre i punktet med koordinater 8 og 5. Den grønne linja er grafen til funksjonen f av x er lik x minus 3. Den røde linja er grafen til funksjonen g av x er lik 5. Skjermutklipp.

Vi ser at linjene skjærer hverandre i punktet (8, 5), og at linja som beskriver venstre side, ligger under den røde linja når x er mindre enn 8, noe som gir den samme løsningen som over.

b) $2 x + 1 > 3$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & > & 3 \\ 2 x & > & 2 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $2 x - 4 < x - 4$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & < & x - 4 \\ 2 x - x & < & - 4 + 4 \\ x & < & 0 \end{array}$

Oppgave 2

Løs ulikhetene.

a) $3 x - 5 < 5$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 x - 5 & < & 5 \\ 3 x & < & 10 \\ x & < & \frac{10}{3} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $6 - 5 x \geq 6 (1 - x)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 6 - 5 x & \geq & 6 (1 - x) \\ 6 - 5 x & \geq & 6 - 6 x \\ - 5 x + 6 x & \geq & 6 - 6 \\ x & \geq & 0 \end{array}$

d) $x - 3 \leq 2 (x + 6)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x - 3 & \leq & 2 (x + 6) \\ x - 3 & \leq & 2 x + 12 \\ x - 2 x & \leq & 12 + 3 \\ - x & \leq & 15 \end{array}$

Vi deler på $(- 1)$ og snur ulikhetstegnet:

$x \geq - 15$

Oppgave 3

Løs ulikhetene.

a) $3 (x - 5) < 5 (x - 2)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 (x - 5) & < & 5 (x - 2) \\ 3 x - 15 & < & 5 x - 10 \\ 3 x - 5 x & < & - 10 + 15 \\ - 2 x & < & 5 \end{array}$

Vi deler på $(-2)$ og snur ulikhetstegnet:

$\begin{array}{rcl} x & > & - \frac{5}{2} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $1 - x \geq 1 + x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 1 - x & \geq & 1 + x \\ - x - x & \geq & 1 - 1 \\ - 2 x & \geq & 0 \end{array}$

Vi deler på $(-2)$ og snur ulikhetstegnet:

$\begin{array}{rcl} x & \leq & 0 \end{array}$

d) $3 (2 x - 3) < 6 x - 9$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 (2 x - 3) & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 6 x & < & - 9 + 9 \\ 0 x & < & 0 \end{array}$

$0 x$ kan aldri bli mindre enn 0. Det betyr at ulikheten ikke har løsning.

e) $3 (2 x - 3) \geq 6 x - 9$

Løsning

Vi ser at vi har nesten den samme ulikheten som over, men vi har "større enn eller lik" i stedet for "mindre enn".

Vi får følgende resultat:

$0 x \geq 0$

Vi observerer at $0 x = 0$ for alle verdier av x. Løsningen blir derfor $x \in ℝ$ .

Dette kan vi også observere ved å se at venstre side og høyre side er like for alle verdier av x i andre linje av løsningen.

Vi ser på hvordan den grafiske løsningen kan se ut her:

Koordinatsystem med x-verdier mellom minus 6 og 12 og y-verdier mellom minus 8 og 4. Det er tegnet to linjer oppå hverandre. Den bakerste er grønn og viser funksjonen 3 multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt. Linja som ligger oppå, er rød og viser funksjonen 6 x minus 9. Skjermutklipp.

Vi legger merke til at linjene ligger helt oppå hverandre, altså vil de to uttrykkene være like for alle x, som vi også fant ved regning.

Oppgave 4

Løs ulikhetene.

a) $\frac{2}{3} x - 2 \leq - 3$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x - 2 & \leq & - 3 \\ \frac{2 x \cdot 3}{3} - 2 \cdot 3 & \leq & - 3 \cdot 3 \\ 2 x - 6 & \leq & - 9 \\ 2 x & \leq & - 3 \\ x & \leq & - \frac{3}{2} \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > \frac{1}{6}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - \frac{x}{3} & > & \frac{1}{6} \\ \frac{x \cdot 6}{2} - \frac{x \cdot 6}{3} & > & \frac{1 \cdot 6}{6} \\ 3 x - 2 x & > & 1 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $\frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} \geq 3 - \frac{x}{6}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} & \geq & 3 - \frac{x}{6} \\ \frac{5 x \cdot 12}{2} + \frac{x \cdot 12}{3} - \frac{7 \cdot 12}{4} & \geq & 3 \cdot 12 - \frac{x \cdot 12}{6} \\ 30 x + 4 x - 21 & \geq & 36 - 2 x \\ 36 x & \geq & 57 \\ x & \geq & \frac{57}{36} \\ x & \geq & \frac{19}{12} x \in [\frac{19}{12}, \to 〉 \end{array}$

d) $\frac{3}{2} (2 x - 3) < 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2})$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (2 x - 3) & < & 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2}) \\ \frac{6 x}{2} - \frac{9}{2} & < & \frac{9 x}{3} + \frac{9}{2} \\ 3 x - 3 x & < & \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\ 0 x & < & 9 \end{array}$

$0 x$ er alltid mindre enn 9. Det betyr at ulikheten er gyldig for alle mulige x. Vi kan skrive at $x \in ℝ$ .

Grafisk løsning:

Koordinatsystem med to parallelle linjer. Ei rød linje følger funksjonen 9 multiplisert med parentes x over 3 pluss en halv parentes slutt, og ei grønn følger funksjonen 3 halve multiplisert med parentes 2 x minus 3 parentes slutt. Skjermutklipp.

Vi observerer at de to linjene er parallelle, at den røde grafen som er høyre side, alltid vil ligge over den grønne. Det betyr at ulikheten er oppfylt for alle verdier av x.

Løsning i CAS:

Løsning av ulikhet i CAS. Det er skrevet 3 delt på 2 multiplisert med parentes 2 x minus tre parentes slutt er mindre enn 9 multiplisert med parentes x delt på 3 pluss en halv parentes slutt. Svaret er gitt som x er lik x. Skjermutklipp.

Vi ser at vi får $x = x$ som løsning. Dette betyr at x kan være hva som helst, og det gir samme løsning som over.

Oppgave 5

Per skal ha sommerjobb som jordbærplukker. Han har valget mellom to ulike lønnsavtaler:

Han kan få ei fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for hver kurv han plukker.
Han kan få 5 kroner for hver kurv han plukker, men da får han ikke noen fast timelønn.

Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kurver Per må plukke i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Løsning

Vi lar x være antall kurver Per plukker, og setter opp uttrykk for hver av de to lønnsavtalene.

1. $50 + 2 x$

2. $5 x$

Vi får ulikheten

$\begin{array}{rcl} 5 x & > & 50 + 2 x \\ 3 x & > & 50 \\ x & > & 16, 7 \end{array}$

Per må plukke minst 17 kurver i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Oppgave 6

Kari og familien skal på tur. De vil leie bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leiebiltilbud og funnet fram til to aktuelle.

700 kroner per døgn, fri kjørelengde opp til 500 km. Over det betales det 5 kroner per kilometer.
1 500 kroner per døgn. Fri kjørelengde.

Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kilometer de må kjøre for at avtale 2 skal lønne seg.

Løsning

Det er klart at hvis kjørelengden er mindre enn eller lik 500 kilometer, så lønner avtale 1 seg (lavere døgnpris). Kjørelengden må altså være høyere enn 500 kilometer for at avtale 2 skal lønne seg. Vi lar x være antall kilometer de kjører over 500 kilometer, og setter opp uttrykk for de to tilbudene.

1. $700 \cdot 5 + 5 x$

2. $1 500 \cdot 5$

For at avtale 2 skal lønne seg, må uttrykket for avtale 2 være mindre enn uttrykket for avtale 1.

Vi får

$\begin{array}{rcl} 1 500 \cdot 5 & < & 700 \cdot 5 + 5 x \\ - 5 x & < & 3 500 - 7 500 \\ - 5 x & < & - 4 000 \\ x & > & 800 \end{array}$

Det betyr at de må kjøre mer enn $800 km + 500 km = 1 300 km$ for at avtale 2 skal lønne seg.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Lineære ulikheter(DOCX)
Lineære ulikheter(PDF)

Ulikheter

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Nedlastbare filer