Oppgave

Likningssett med andregradslikninger

Her kan du øve på å løse likningssett som inneholder én eller flere variabler av andre grad. Hvis det ikke står noe annet, skal oppgaven løses uten hjelpemidler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Løs likningssettene.

a) $[\begin{array}{rcl} x + y & = & 4 \\ x^{2} - y & = & 16 \end{array}]$

Løsning

Vi løser først den øverste likningen for x:

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 4 \\ x & = & 4 - y \end{array}$

Vi setter inn for x i den andre likningen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - y & = & 16 \\ (x^{2} - y) - y & = & 16 \\ 16 - 8 y + y^{2} - y - 16 & = & 0 \\ y^{2} - 9 y & = & 0 \\ y (y - 9) & = & 0 \\ y & = & 0 \lor y - 9 = 0 \\ y & = & 0 \lor y = 9 \\ y & = & 0 gir x = 4 - 0 = 4 \\ y & = & 9 gir x = 4 - 9 = - 5 \end{array}$

Likningssettet har to løsninger:

$\begin{array}{rcl} x & = & 4 \land y = 0 \\ x & = & - 5 \land y = 9 \end{array}$

b) $[\begin{array}{rcl} x + y^{2} & = & 3 \\ x + y & = & 1 \end{array}]$

Løsning

Vi løser først den andre likningen for x:

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 1 \\ x & = & 1 - y \end{array}$

Vi setter inn i den første likningen:

$\begin{array}{rcl} x + y^{2} & = & 3 \\ 1 - y + y^{2} & = & 3 \\ y^{2} - y - 2 & = & 0 \\ y & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ y & = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ y & = & \frac{1 + 3}{2} \lor y = \frac{1 - 3}{2} \\ y & = & 2 \lor y = - 1 \\ y & = & 2 gir x = 1 - 2 = - 1 \\ y & = & - 1 gir x = 1 - (- 1) = 2 \end{array}$

Likningssettet har to løsninger:

$\begin{array}{rcl} x & = & - 1 \land y = 2 \\ x & = & 2 \land y = - 1 \end{array}$

$[\begin{array}{rcl} x^{2} + y^{2} & = & 4 \\ x + y & = & - 2 \end{array}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & - 2 \\ x & = & - 2 - y \\ x^{2} + y^{2} & = & 4 \\ {(- 2 - y)}^{2} + y^{2} & = & 4 \\ 4 + 4 y + y^{2} + y^{2} & = & 4 \\ 2 y^{2} + 4 y & = & 0 \\ 2 y (y + 2) & = & 0 \\ 2 y & = & 0 \lor y + 2 = 0 \\ y & = & 0 \lor y = - 2 \\ y & = & 0 gir x = - 2 - 0 = - 2 \\ y & = & - 2 gir x = - 2 - (- 2) = 0 \end{array}$

Likningssettet har to løsninger:

$\begin{array}{rcl} x & = & - 2 \land y = 0 \\ x & = & 0 \land y = - 2 \end{array}$

Oppgave 2

a) To kvadrater har en omkrets på til sammen 56 cm. Det samlede arealet av kvadratene er $100 {cm}^{2}$ . Sett opp to likninger og finn sidene i kvadratene ved hjelp av CAS i GeoGebra.

Løsning

Vi kaller sidelengdene i de to kvadratene for x og y. Vi setter opp to likninger:

$[\begin{array}{rcl} 4 x + 4 y & = & 56 \\ x^{2} + y^{2} & = & 100 \end{array}]$

Vi løser likningssettet ved hjelp av GeoGebra:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 4 x pluss 4 y er lik 56. På linje 2 er det skrevet x i andre pluss y i andre er lik 100. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er x er lik 6, y er lik 8 eller x er lik 8, y er lik 6. Skjermutklipp.

Det ene kvadratet har sidelengde $6 cm$ og det andre $8 cm$ . De to løsningene gir i praksis det samme resultatet.

b) Summen av to tall er 169. Kvadrerer du tallene og legger dem sammen, blir resultatet 14 893. Sett opp to likninger og finn de to tallene.

Løsning

Vi kaller de to tallene x og y. Vi setter opp to likninger:

$[\begin{array}{rcl} x + y & = & 169 \\ x^{2} + y^{2} & = & 14 893 \end{array}]$

Vi løser likningssettet i GeoGebra. Der kan vi løse likningssettet ved å skrive kommandoen "Løs" i stedet for å skrive inn likningene på hver sin linje, slik som i forrige oppgave:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes x pluss y er lik 169 komma, x i andre pluss y i andre er lik 14893 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 67, y er lik 102 eller x er lik 102, y er lik 67. Skjermutklipp.

Det ene tallet er 102 og det andre 67.

Oppgave 3

Løs likningssettene.

a) Differansen mellom to tall er 3. Differansen mellom kvadratene til tallene er 57. Hvilke to tall er dette?

Løsning

Vi kaller de to tallene x og y. Vi setter opp to likninger:

$[\begin{array}{rcl} x - y & = & 3 \\ x^{2} - y^{2} & = & 57 \end{array}]$

$\begin{array}{rcl} x - y & = & 3 \\ x & = & 3 + y \\ x^{2} - y^{2} & = & 57 \\ {(3 + y)}^{2} - y^{2} & = & 57 \\ 9 + 6 y + y^{2} - y^{2} & = & 57 \\ 6 y & = & 57 - 9 \\ 6 y & = & 48 \\ y & = & 8 \\ x & = & 3 + 8 = 11 \end{array}$

Det ene tallet er 8 og det andre 11.

b) Kvotienten mellom to tall er 3. Produktet av de to tallene er 27. Hvilke to tall er dette?

Løsning

Vi kaller de to tallene x og y. Vi setter opp to likninger:

$\begin{array}{rcl} [\begin{matrix} \frac{x}{y} & = & 3 \\ x y & = & 27 \end{matrix}] \\ \frac{x}{y} & = & 3 \\ x & = & 3 y \\ x \cdot y & = & 27 \\ 3 y \cdot y & = & 27 \\ y^{2} & = & 9 \\ y & = & 3 \lor y = - 3 \\ x & = & 3 \cdot 3 = 9 \lor x = 3 \cdot (- 3) = - 9 \end{array}$

De to tallene er enten $3$ og $9$ eller $- 3$ og $- 9$ .

Oppgave 4

Løs likningssettet i CAS både ved hjelp av $x \approx_{}^{\overset{}{}}$ og $x =_{}^{\overset{}{}}$ , det vil si verktøyene "NLøs" og "Løs". Kommenter forskjellen på svarene du får.

$[\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 9 \\ y + 4 x^{2} & = & 3 \end{matrix}]$

Løsning

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre pluss y i andre er lik 9. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet y pluss 4 x i andre er lik 3. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er x er lik 0 og y er lik 3, x er lik rota av 23 delt på 4 og y er lik minus 11 firedeler og til slutt x er lik minus rota av 23 delt på 4 og y er lik minus 11 firedeler. Skjermutklipp.

Vi ser at "NLøs" bare finner én av løsningene. Dette er fordi "NLøs" bruker numeriske metoder for å finne løsningene, og GeoGebra slutter ofte å lete etter løsninger når en løsning er funnet. Derfor lønner det seg alltid å bruke "Løs" (det vil si $x =_{}^{\overset{}{}}$ ) når vi løser likninger i GeoGebra.

Oppgave 5

Løs likningssettet både med CAS og uten hjelpemidler.

$[\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 5 \\ 3 y^{2} + 2 x^{2} & = & 14 \end{matrix}]$

Løsning

Uten hjelpemidler:

Vi løser først for den ene variabelen. Vi velger å løse for $x^{2}$ i den øverste likningen (vi trenger ikke å løse for x her, siden vi kan sette rett inn for $x^{2}$ i den andre likningen):

$\begin{array}{rcl} x^{2} + y^{2} & = & 5 \\ x^{2} & = & 5 - y^{2} \end{array}$

Vi setter inn i likning 2:

$\begin{array}{rcl} 3 y^{2} + 2 x^{2} & = & 14 \\ 3 y^{2} + 2 (5 - y^{2}) & = & 14 \\ 3 y^{2} + 10 - 2 y^{2} & = & 14 \\ y^{2} & = & 4 \\ y & = & \pm 2 \end{array}$

Vi finner x:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 5 - y^{2} \\ x^{2} & = & 5 - 4 = \pm 1 \end{array}$

Vi ser at her har vi fire sett med løsninger, for både $y = - 2$ og $y = 2$ kan gi løsningene $x = \pm 1$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} x & = & 1 \land y = 2 \\ \lor \\ x & = & 1 \land y = - 2 \\ \lor \\ x & = & - 1 \land y = 2 \\ \lor \\ x & = & - 1 \land y = - 2 \end{array}$

I CAS:

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x i andre pluss y i andre er lik 5. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 2 x i andre pluss 3 y i andre er lik 14. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er x er lik 1 og y er lik 2, x er lik minus 1 og y er lik 2, x er lik 1 og y er lik minus 2 og til slutt x er lik minus 1 og y er lik minus 2. Skjermutklipp.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Andregradslikninger

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Nedlastbare filer