Andregradsfunksjoner

$\begin{array}{rcl}& & A(2, -1)\\ & & B(3, 0)\\ & & C(0, 3)\\ & & D(4, 3)\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f(\mathrm{0)} & =& 0^2-4·0+3=3\\ f\left(2\right) & =& 2^2-4·2+3=4-8+3=-1\\ f\left(3\right) & =& 3^2-4·3+3=9-12+3=0\\ f\left(4\right) & =& 4^2-4·4+3=16-16+3=3\end{array}$

Når vi regner ut$f(2)$, finner vi funksjonsverdien for$x=2$.
$f\left(2\right)=2^2-4·2+3=-1$, det vil si punktet A på grafen. Et punkt $\left(b, f\left(b\right)\right)$ vil derfor alltid ligge på grafen til $f$ for alle verdier for $b$ der funksjonen eksisterer.

$\left(a,f\left(a\right)\right)$

Vi skriver (f(x)=Funksjon(x^2+x-6,-4,3) i algebrafeltet i GeoGebra og får tegnet grafen. (Bildet inneholder også andre elementer som er brukt til å svare på de andre spørsmålene i oppgaven.)

Grafisk:

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi får at bunnpunktet er $\left(-0.5, -6.25\right)$.

Uten hjelpemidler:

Symmetrilinja blir $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2·1}=-0,5$.

y-verdien blir $f\left(-0,5\right)={\left(-0,5\right)}^2-0,5-6=-6,25$.

Bunnpunktet blir $\left(-0.5, -6.25\right)$.

Vi skriver inn punktet $\left(0,f\left(0\right)\right)$ i algebrafeltet. Så bruker vi verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktene mellom grafen og x-aksen.

Grafen til f skjærer førsteaksen i $\left(-3,0\right)$ og $\left(2,0\right)$.

Grafen til f skjærer andreaksen i $\left(0,-6\right)$.

Grafen skjærer y-aksen når $x=0$:

$f\left(0\right)=0^2+0-6=-6$

Skjæringspunktet er $\left(0, -6\right)$.

Grafen skjærer x-aksen når $y=0$. Det gir oss en likning som vi her velger å løse med abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 0\\ x^2+x-6& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-6\right)}}{2}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}\\ & =& \frac{-1\pm 5}{2}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=2\end{array}$

Grafen skjærer førsteaksen i punktene $\left(-3, 0\right)$ og $\left(2, 0\right)$.

Definisjonsmengden $D_f$ til funksjonen er $D_f=\left[-4, 3\right]$.

Den laveste verdien til funksjonen f er $-6,25$ i bunnpunktet. Vi må finne y-verdiene i endepunktene på grafen. Vi skriver derfor inn punktene $\left(-4,f\left(-4\right)\right)$ og $\left(3,f\left(3\right)\right)$. y-verdien til begge punktene er 6. Da er den høyeste verdien til funksjonen 6.

Verdimengden $V_f$ blir dermed $V_f=\left[-6.25, 6\right]$.

Vi leser følgende ut fra grafen:

• Grafen har et bunnpunkt i $\left(-1,-4\right)$.

• Verdimengden til funksjonen blir $V_f=[-4, \to ⟩$.

• Grafen har symmetrilinja $x=-1$.

• Grafen har nullpunkter for $x=-3$ og $x=1$.

• Grafen skjærer y-aksen for $y=-3$.

• Ved hjelp av nullpunktene kan vi skrive funksjonen som
  
  $f\left(x\right)=a\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-1\right)=a\left(x+3\right)\left(x-1\right)$
  
  Siden grafen skjærer y-aksen for $y=-3$, vet vi at $f\left(0\right)=-3$. Dette gir
  
  $\begin{array}{rcl}a\left(0+3\right)\left(0-1\right) & =& -3\\ -3a & =& -3\\ a & =& 1\end{array}$
  
  Funksjonsuttrykket blir
  
  $f\left(x\right)=1\left(x+3\right)\left(x-1\right)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3$

Vi leser følgende ut fra grafen:

• Grafen har et bunnpunkt i $\left(0.5,-4.5\right)$.

• Verdimengden til funksjonen blir $V_f=[-4.5, \to ⟩$.

• Grafen har symmetrilinja $x=0,5$.

• Grafen har nullpunkter for $x=-1$ og $x=2$.

• Grafen skjærer y-aksen for $y=-4$.

• Ved hjelp av nullpunktene kan vi skrive funksjonen som
  
  $f\left(x\right)=a\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-2\right)=a\left(x+1\right)\left(x-2\right)$
  
  Siden grafen skjærer y-aksen for $y=-4$, vet vi at $f\left(0\right)=-4$. Dette gir
  
  $\begin{array}{rcl}a\left(0+1\right)\left(0-2\right) & =& -4\\ -2a & =& -4\\ a & =& 2\end{array}$
  
  Funksjonsuttrykket blir
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\\ & =& 2\left(x^2-2x+x-2\right)\\ & =& 2\left(x^2-x-2\right)\\ & =& 2x^2-2x-4\end{array}$

Vi leser følgende ut fra grafen:

• Grafen har et toppunkt i $\left(-1,0.5\right)$.

• Verdimengden til funksjonen blir $V_f=⟨\leftarrow ,0.5]$.

• Grafen har symmetrilinja $x=-1$.

• Grafen har nullpunkter for $x=-2$ og $x=0$.

• Grafen skjærer y-aksen i origo.

• Ved hjelp av nullpunktene kan vi skrive funksjonen som
  
  $f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-0\right)=ax\left(x+2\right)$
  
  Nå har vi alt brukt skjæringspunktet med y-aksen siden det også er et nullpunkt. Vi leser derfor av et punkt til på grafen, $\left(2,-4\right)$. Da vet vi at $f\left(2\right)=-4$. Dette gir
  
  $\begin{array}{rcl}a·2\left(2+2\right) & =& -4\\ 8a & =& -4\\ a & =& -0.5\end{array}$
  
  Funksjonsuttrykket blir
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -0,5x\left(x+2\right)= -0,5x^2-x\end{array}$

Vi leser følgende ut fra grafen:

• Grafen har et toppunkt i $\left(0.5,-0.75\right)$.

• Verdimengden til funksjonen blir $V_f=⟨\leftarrow ,0.75]$.

• Grafen har symmetrilinja $x=0,5$.

• Grafen har ingen nullpunkter.

• Grafen skjærer y-aksen for $y=-1$.

• For å finne funksjonsuttrykket til f må vi her ha koordinatene til tre punkter. Fra før har vi punktene $\left(0.5,-0.75\right)$ og $\left(0,-1\right)$, og vi leser i tillegg av punktet $\left(1,-1\right)$. Da vet vi at
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(0\right) & =& -1\\ f\left(0,5\right) & =& -0,75\\ f\left(1\right) & =& -1\end{array}$
  
  Vi setter $f\left(x\right)=a{x}^2-bx+c$ og løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

Funksjonsuttrykket blir derfor $f\left(x\right)=-x^2+x-1$.

Vi tegner grafen med GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriver (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjæringspunktet med y-aksen.

Grafen skjærer y-aksen for $y=-6$. Grafen har et bunnpunkt i $\left(-0.5,-6,25\right)$. Verdimengden til funksjonen blir $V_f=[-6.25, \to ⟩$. Symmetrilinja har likningen $x=-0,5$. Grafen har nullpunkter for $x=-3$ og $x=2$.

Nullpunktene og koeffisienten foran andregradsleddet gir at funksjonsuttrykket på faktorisert form blir

$f\left(x\right)=\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-2\right)=\left(x+3\right)\left(x-2\right)$

Vi tegner grafen med GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriver (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjæringspunktet med y-aksen.

Grafen skjærer y-aksen for $y=-3$. Grafen har et bunnpunkt i $\left(1.25,-0.13\right)$. Verdimengden til funksjonen blir $V_f=[-0.13, \to ⟩$. Symmetrilinja har likningen $x=1,25$. Grafen har nullpunkter for $x=1$ og $x=1,5$.

Nullpunktene og koeffisienten foran andregradsleddet gir at funksjonsuttrykket på faktorisert form blir

$f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(x-1,5\right)$

Vi tegner grafen med GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriver (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjæringspunktet med y-aksen.

Grafen skjærer y-aksen for $y=-2,5$. Grafen har et toppunkt i $\left(-0.5,-1.5\right)$. Verdimengden til funksjonen blir $V_f=⟨\leftarrow ,-1.5]$. Symmetrilinja har likningen $x=-0,5$. Grafen har ingen nullpunkter.

Siden grafen ikke har noen nullpunkter, kan vi ikke faktorisere funksjonsuttrykket slik at vi får lineære faktorer av x.

Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv. Grafen vil derfor vende den hule siden opp (smile) og ha et bunnpunkt.

Funksjonen har nullpunktene $x=3$ og $x=4$, og grafen skjærer y-aksen for $y=12$. Grafen har bunnpunktet $\left(\frac{7}{2},-\frac{1}{4}\right)$, og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_f=[-\frac{1}{4}, \to ⟩$. Symmetrilinja har likningen $x=\frac{7}{2}$.

Koeffisienten foran andregradsleddet er negativ. Grafen vil derfor vende den hule siden ned (sur) og ha et toppunkt.

Funksjonen har nullpunktene $x=-1$ og $x=2$, og grafen skjærer y-aksen for $y=4$. Grafen har toppunktet $\left(\frac{1}{2},\frac{9}{2}\right)$, og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_g=⟨\leftarrow ,\frac{9}{2}]$. Symmetrilinja har likningen $x=\frac{1}{2}$.

Koeffisienten foran andregradsleddet er negativ. Grafen vil derfor vende den hule siden ned (sur) og ha et toppunkt.

Funksjonen har ingen nullpunkter. Grafen skjærer y-aksen for $y=4$. Grafen har toppunktet $\left(0,-8\right)$, og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_h=⟨\leftarrow ,-8]$. Symmetrilinja har likningen $x=0$ (y-aksen).

Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv. Grafen vil derfor vende den hule siden opp (smile) og ha et bunnpunkt.

Funksjonen har nullpunktene $x=-4$ og $x=0$, og grafen skjærer y-aksen i origo. Grafen har bunnpunktet $\left(-2,-12\right)$, og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_f=[-12, \to ⟩$. Symmetrilinja har likningen $x=-2$.

Husk å skrive et mellomrom eller et multiplikasjonstegn mellom koeffisientene a og b og variabelen x. Legg merke til at det automatisk blir opprettet tre glidere for a, b og c.

Dersom du ikke får opp gliderne automatisk, kan du lage dem først ved å skrive a=1 og trykke linjeskift, deretter b=1 og linjeskift og tilsvarende for c. Så kan du skrive for eksempel f(x)=a*x^2+b*x+c.

Når $a>0$, vender grafen den hule siden opp, og motsatt når $a<0$. Når $a=0$, har vi ikke lenger en andregradsfunksjon, men ei rett linje. Vi observerer også at jo større a blir, jo brattere blir grafen.

Koeffisienten c er konstantleddet i funksjonsuttrykket og bestemmer hvor grafen skjærer y-aksen. Grafen flyttes opp eller ned med verdien av c.

Når b endres, flyttes grafen både vannrett og loddrett. Kan du se noe mønster i denne flyttingen? Finn ekstremalpunktet til funksjonen, og slå på sporing av punktet ved å høyreklikke på punktet og velge "Vis spor". Endre deretter på b. Hva slags form har sporet etter ekstremalpunktet?

Funksjonen kan bare være gyldig når ballen er i lufta.

Vi må anta at kastet starter når $t=0$. Funksjonen er gyldig helt til ballen lander. Da er høyden lik 0. Vi må derfor finne nullpunktene til funksjonen. Det kan vi gjøre med CAS.

Den første løsningen er utenfor definisjonsmengden siden t er negativ. Den andre løsningen gir at definisjonsmengden til funksjonen blir

$D_h=\left[0,3\right]$

Vi skriver h(t)=Funksjon(14.1t-4.9t^2+1.8,0,3) i algebrafeltet i GeoGebra og får den krumme, blå grafen på bildet nedenfor.

Vi tegner linja $y=10$. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til h med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.

Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.

Vi finner toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter omtrent 1,4 sekunder og har da en høyde på 12 meter over bakken.

Graf A: Vi får med en gang at andregradsleddet må være negativt siden grafen har et toppunkt og konstantleddet må være 2. Da er det enten funksjon g eller funksjon i som er riktig funksjon. Symmetrilinja til grafen er $x=-2$. Grafen til funksjon g har symmetrilinje $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2·\left(-1\right)}=-1$. Grafen til funksjon i har symmetrilinje $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2·\left(-0,5\right)}=-2$.

Graf A tilhører funksjonen i.

Graf B: Vi får med en gang at andregradsleddet må være positivt siden grafen har et bunnpunkt og konstantleddet må være 2. Da er det enten funksjon f eller funksjon h som er riktig funksjon. Symmetrilinja til grafen er $x=1$. Grafen til funksjon f har symmetrilinje $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2·1}=1$. Grafen til funksjon h har symmetrilinje $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2·2}=\frac{1}{2}$.

Graf B tilhører funksjonen f.

Graf C: Vi får med en gang at andregradsleddet må være negativt siden grafen har et toppunkt og konstantleddet må være $-6$. Da er det enten funksjon j eller funksjon k som er riktig funksjon. Symmetrilinja til grafen er $x=2$. Grafen til funksjon j har symmetrilinje $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2·\left(-0,5\right)}=-2$. Grafen til funksjon i har symmetrilinje $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2·\left(-1\right)}=2$.

Graf C tilhører funksjonen k.

I et rektangel er alle vinklene rette, og to og to sider er like lange, slik at vi maksimalt kan ha to forskjellige sidelengder. Vi kaller disse for grunnlinje og høyde her.

Resultatene for arealet bør være i nærheten av dette:

Formen på grafen skal bli en parabel med et toppunkt.

Det største mulige arealet får rektangelet når grunnlinja er 3 m.

Omkretsen til rektangelet er 12 meter. Grunnlinja og høyden må til sammen være halve omkretsen, slik at når grunnlinja er x, så må høyden h være $h= 6-x$.

For hver verdi av x får vi et bestemt rektangel med et bestemt areal, som vi regner ut ved å multiplisere grunnlinja med høyden. Vi har altså at arealet til rektangelet er en funksjon av x. Vi kaller denne funksjonen $A\left(x\right)$ og får

$A\left(x\right)=x·h=x·\left(6-x\right)=6x-x^2$

Dette er en andregradsfunksjon.

Løsning uten hjelpemidler:

Funksjonen kan bare være gyldig når den gir verdier som er større enn null. Vi må derfor finne nullpunktene til A.

$\begin{array}{rcl}A\left(x\right) & =& 0\\ 6x-x^2 & =& 0\\ x\left(6-x\right) & =& 0\\ & & \\ x & =& 0 \vee 6-x=0\\ x & =& 0 \vee x=6\end{array}$

Siden koeffisienten foran andregradsleddet er negativ, vet vi at funksjonen har et toppunkt. Det er derfor området mellom nullpunktene som er det aktuelle området.

Definisjonsmengden til A blir $D_A=\langle 0,6\rangle$.

Løsning med CAS:

Punktene fra oppgave b) skal ideelt sett ligge på grafen til A slik de gjør her.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finner vi at toppunktet på grafen er $\left(3,9\right)$. Se grafen i oppgave h). Det maksimale arealet firkanten kan få, er $9 {\mathrm{m}}^2$.

$V_A=⟨0,9]$

Vi skriver punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finner at funksjonen T kan beskrives med uttrykket

$T\left(x\right)=0,0234x^2-0,69x+2,6$

Grafen passer nokså bra med de observerte temperaturene.

30 timer etter at målingen startet, det vil si klokka 18 neste dag, viser modellen en temperatur på cirka 3 C°.

48 timer etter at målingen startet, viser modellen en temperatur på cirka 23 C°. Det virker usannsynlig når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per foretok målingene. Går vi utover denne tida, virker modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen bare fortsette å stige.

Når$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a>0$, vil grafen vende den hule siden opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt.

Grafen skjærer andreaksen i 12 fordi konstantleddet$c=12$.

Symmetrilinja er$x=\frac{-b}{2a}=\frac{7}{2}$.

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{7}{2}\right) & =& {\left(\frac{7}{2}\right)}^2-7·\frac{7}{2}+12=\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+12\\ & =& \frac{49}{4}-\frac{98}{4}+\frac{48}{4}\\ & =& -\frac{1}{4}\end{array}$

Bunnpunktet har koordinatene $\left(\frac{7}{2}, f\left(\frac{7}{2}\right)\right)=\left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.

Verdimengden blir $[-\frac{1}{4}, \to \rangle$.

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 0\\ x^2-7x+12& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{7\pm \sqrt{7^2-4·12}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=4\end{array}$

Nullpunktene er 3 og 4.

Funksjonen skrevet på faktorisert form blir $f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-4\right)$.

Når $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a<0$, vil grafen vende den hule siden ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt.

Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet $c=4$.

Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2·\left(-2\right)}=\frac{1}{2}$.

$g\left(\frac{1}{2}\right)=-2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2·\frac{1}{2}+4=-2·\frac{1}{4}+1+4=-\frac{1}{2}+5=\frac{9}{2}$

Toppunktet har koordinatene $(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$.

Verdimengden blir $\langle \leftarrow , \frac{9}{2}]$.

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& = & 0\\ -2x^2+2x+4& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-2\right)·4}}{2·\left(-2\right)}=\frac{-2\pm 6}{-4}\\ & & \\ x& =& -1 \vee x=2\end{array}$

Nullpunktene er $-1$ og 2.

Funksjonen skrevet på faktorisert form blir

$g\left(x\right)=-2\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-2\right)=-2\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

Når $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a<0$, vil grafen vende den hule siden ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt.

Grafen skjærer andreaksen i $-8$ fordi konstantleddet $c=-8$.

Symmetrilinja er $x=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{-2}=0$.

Toppunktet blir derfor det samme som skjæringspunktet med andreaksen: $\left(0, -8\right)$.

Verdimengden er $⟨\leftarrow , -8]$.

Grafen til h ligger under x-aksen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkter og kan heller ikke skrives på faktorisert form.

Når $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ og $a>0$, vil grafen vende den hule siden opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt.

Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet $c=0$.

Symmetrilinja blir $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2·3}=-2$.

$i\left(-2\right)=3·{\left(-2\right)}^2+12·\left(-2\right)=3·4-24=12-24=-12$

Bunnpunktet har koordinatene $\left(-2, i\left(-2\right)\right) = \left(-2, -12\right)$.

Verdimengden blir $[-12,\to \rangle$.

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl}i\left(x\right)& = & 0\\ 3x^2+12x& =& 0\\ 3x\left(x+4\right)& =& 0\\ & & \\ x& =& 0 \vee x=-4\end{array}$

Nullpunktene er $- 4$ og 0.

Funksjonen skrevet på faktorisert form blir

$i\left(x\right)=3\left(x-\left(-4\right)\right)\left(x-0\right)=3x\left(x+4\right)$

Vi må anta at kastet starter når $x=0$. Funksjonen er gyldig helt til spydet lander. Da er høyden lik 0. Vi må derfor finne nullpunktene til funksjonen. Det kan vi gjøre med CAS.

Den første løsningen angir en posisjon 2 og en halv meter bak Andreas, så den kan vi ikke bruke. Den andre løsningen gir at spydet lander 87,51 m fra Andreas. Definisjonsmengden for funksjonen blir derfor

$D_f=\left[0, 87.51\right]$

Vi tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn

f(x)=Funksjon(-0.01x^2+0.85x+2.20,0,87.15).

Vi skriver inn punktet $\left(0,f\left(0\right)\right)$ i algebrafeltet og får at grafen skjærer y-aksen for $y=2,2$.

Vi finner toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".

Toppunktet har koordinatene $\left(42.5, 20.3\right)$.

Andreas kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter, og lengden på kastet er 87,51 meter.

Siden summen av de to veggene er 2 m og den ene er $x$, må den andre være $2-x$.

Arealet er produktet av lengde og bredde, og vi får

$A\left(x\right)=x\left(2-x\right)=2x-x^2$

Siden planken er 2 m, kan ikke noen av sidene være større enn det. Ingen av sidene kan være null eller mindre. $x$ må altså være mindre enn 2 m og større enn 0 m.

I praksis må sengen være bred nok og lang nok til at hunden skal få plass. Vi kan ikke si noe helt eksakt, men vi kan se for oss at sengen må være minimum en halv meter i hver retning. Da er 0,5 nedre grense for $x$. Den øvre grensen for $x$ får vi når den andre siden er 0,5. Da kan vi løse likningen

$\begin{array}{rcl}2-x& =& 0,5\\ -x& =& 0,5-2\\ x& =& 1,5\end{array}$

Da blir den praktiske definisjonsmengden $[0.5 , 1,5]$.

Dette kan løses på flere måter. Vi kan tegne funksjonen og finne toppunktet (hvordan vet vi at funksjonen har et toppunkt?). Alternativt kan vi starte med å regne ut hvor stort arealet er når $x=0,5$ og når $x=1,5$ siden dette er grensene for definisjonsmengden.

$$\begin{gathered} A\left(0,5\right)=2·0,5-0,5^2=1-0,25=0,75 \\ A\left(1,5\right)=2·1,5-1,5^2=3-2,25=0,75 \end{gathered}$$

Hvorfor får vi samme areal?

For å finne toppunktet, kan vi bruke at andregradsfunksjoner er symmetriske. Det betyr at siden vi fikk samme svar på de to utregningene over, må toppunktet ligge midt i mellom 0,5 og 1,5, altså for $x=1$. Da er begge sidene lik 1 m, og arealet må bli 1 m².

Den praktiske verdimengden til funksjonen blir derfor $V_A=[0.75 , 1]$.

Ut ifra løsningen i forrige oppgave får vi den største mulige hundesengen når sidene er 1 m, og da er arealet 1 m².

Når vi løser likningen, finner vi ut for hvilke $x$-verdier arealet er lik 0,84 m². Når vi løser ulikheten, finner vi ut for hvilke $x$-verdier arealet er mindre enn eller lik 0,84 m². Når vi skal løse ulikheten, må vi først starte med å løse den tilsvarende likningen:

$\begin{array}{rcl} A\left(x\right) & =& 0,84 \\ 2x-x^2 & =& 0,84\\ -x^2+2x-0,84 & =& 0\end{array}$

Vi løser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-0,84\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4-3,36}}{-2}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{0,64}}{-2}\\ & =& \frac{-2\pm 0,8}{-2}\\ x & =& \frac{-2+0,8}{-2}=0,6 \vee x=\frac{-2-0,8}{-2}=1,4\end{array}$

Siden vi vet mye om funksjonen $A\left(x\right)$ fra før, ser vi at dersom $A\left(x\right)\le 0,84$, må $x$ være mindre eller lik 0,6 og større eller lik 1,4. Samtidig kan ikke $x$ være mindre enn 0,5 eller større enn 1,5. Vi slipper å tegne fortegnslinje. Løsningen på ulikheten blir derfor

$x\in [0.5 , 0.6] \cup [1.4 , 1.5]$

Alternativ skrivemåte: $0,5\le x\le 0,6 \vee 1,4\le x\le 1,5$

Tegnet $\vee$ betyr "eller".

Oppgaven kan også løses grafisk eller med CAS.

Her kan du bruke formlike trekanter.

For at skapet skal bli så stort som mulig, må det plasseres inntil den høyeste veggen. Vi bruker at trekantene $GFC$ og $DHC$ er formlike. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}\frac{GF}{DH}& =& \frac{FC}{HC}\\ \frac{x}{300}& =& \frac{260-h}{260-65}\\ \frac{x}{300}& =& \frac{260-h}{195} |·195\\ \frac{x}{300}·195& =& \frac{260-h}{195}·195\\ \frac{195x}{300}& =& 260-h\\ h& =& 260-\frac{195}{300}x\\ h& =& 260-0,65x\end{array}$

Merk at vi ikke multipliserte med fellesnevneren, som er produktet av 300 og 195, fordi det gir oss enklere regning når vi ønsker å ende opp med $h=$.

$A\left(x\right)=x·h=x\left(260-0,65x\right)=260x-0,65x^2$

Volumet av skapet er produktet av arealet av fronten, $A\left(x\right)$, og dybden av skapet. Vi må anta at veggen er plan slik at dybden av skapet er den samme overalt. Da varierer volumet bare med $A\left(x\right)$, så når denne funksjonen har sin største verdi, vil også volumet av skapet være størst.

Her betyr det at vi ønsker å finne toppunktet til arealfunksjonen $A\left(x\right)$. Vi tegner funksjonen i GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt".

Arealet av fronten er størst når bredden på skapet er 200 cm.
Høyden på skapet er da: $h=260-0,65·200=130 \mathrm{cm}.$

Oppgaven kan også løses ved å bruke CAS.

Her er det mange muligheter. Ett forslag er å dele opp skapet i to og la hver del gå så høyt som mulig. Da vil den høyre delen av skapet komme høyere enn resten.

Start med å finne en ny formel for høyden $h$ der lengden $HC$ nå blir $260-s$ i stedet for $260-65$.

Bruk GeoGebra. Legg inn tallet $s$ som en glider og la glideren gå fra 0 til 260. Legg inn arealfunksjonen $A\left(x\right)$ fra forrige oppgave med glideren $s$. Finn toppunktet til arealfunksjonen med GeoGebra. Observer hvordan toppunktet flytter seg når verdien for $s$ endres med glideren.

Hva betyr det i praksis når toppunktet til funksjonen har $x$-koordinat som er større enn 300?

Symmetrilinja til parabelen er $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2·1}=2$.

Vi finner nullpunktene ved å ta utgangspunkt i symmetrilinja og enten legge til eller trekke fra 1. De to nullpunktene ligger like langt fra symmetrilinja til parabelen. Eller: Symmetrilinja går midt imellom nullpunktene.

Nullpunktene til f er løsningen av likningen $f\left(x\right)=0$, som gir oss likningen $a{x}^2+bx+c=0$. Løsningen av likningen er gitt ved andregradsformelen.

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & & \\ & =& \frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

I andre linje har vi delt opp formelen i to ledd. Resultatet betyr at nullpunktene ligger like langt fra verdien til det første leddet, $\frac{-b}{2a}$, og at symmetrilinja derfor er gitt ved

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-b}{2a}\end{array}$