Skjæringspunkt og nullpunkt

I skjæringspunktet mellom grafene til to funksjoner har begge funksjonene samme verdi for x og samme verdi for y. Skal vi finne skjæringspunktet ved regning, setter vi derfor funksjonsuttrykkene lik hverandre og løser likningen vi da får.

Eksempel

Funksjonene f og g er gitt ved $f\left(x\right)=2x-1$ og $g\left(x\right)=-x+2$.

Finn skjæringspunktet mellom de to linjene grafisk og ved regning.

Grafisk løsning

Vi tegner de to linjene i et koordinatsystem, leser av og finner at linjene skjærer hverandre i punktet $\left(1, 1\right)$.

I GeoGebra kan du bruke kommandoen Skjæring(f,g) (hvis funksjonene har navnene f og g i Geogebra), eller verktøyet "Skjæring mellom to objekt", som du finner under den andre verktøyknappen fra venstre på knapperaden øverst.

Ved regning

Vi setter funksjonsuttrykkene lik hverandre og løser likningen.

$$ \begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & g\left(x\right)\\ 2x-1& =& -x+2\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Vi kan sette inn $x=1$ i et av funksjonsuttrykkene (samme hvilket) for å finne y.

Vi velger å regne ut $f\left(1\right)=2·1-1=1$.

Skjæringspunktet er $\left(1, 1\right)$. Likningen kan også løses med CAS.

Et nullpunkt til en funksjon er en x-verdi som gir funksjonsverdien null.

Definisjon

Eksempel

Gitt funksjonen $f\left(x\right)=2x-1$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$

Nullpunktet til f er $x=\frac{1}{2}$.

Gitt funksjonen $g\left(x\right)=-x+2$.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& 0\\ -x+2& =& 0\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$

Nullpunktet til g er $x=2$.

I GeoGebra finner du nullpunkter enklest med verktøyet "Nullpunkt", som ligger på samme sted som verktøyet "Skjæring mellom to objekt" på knapperaden øverst. Du kan også skrive kommandoen Nullpunkt(f) for å finne nullpunktet til f.

For noen typer funksjoner virker ikke kommandoen eller verktøyet "Nullpunkt". Da kan du prøve kommandoen "NullpunktIntervall(Funksjon, Start, Slutt)". Her er "Start" og "Slutt" grensene for det intervallet der vi tror nullpunktet eller nullpunktene er.