Oppgave

Potenser

Jobb med oppgaver med potenser. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Lag en potens med

a) grunntall $2$ og eksponent $3$

Løsning

$2^{3}$

b) grunntall $10$ og eksponent $2$

Løsning

$10^{2}$

c) grunntall $5$ og eksponent $3$

Løsning

$5^{3}$

d) grunntall $3$ og eksponent $-2$

Løsning

$3^{- 2}$

Oppgave 2

Regn ut potensene.

a) $4^{3}$

Løsning

$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

b) $2^{5}$

Løsning

$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

c) $10^{4}$

Løsning

$10^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10 000$

d) $3^{3}$

Løsning

$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Oppgave 3

Skriv som potens.

a) $36$

Løsning

$36 = 6 \cdot 6 = 6^{2}$

b) 64

Løsning

$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{6}$

eller

$64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3}$

c) 81

Løsning

$81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{4}$

eller

$81 = 9 \cdot 9 = 9^{2}$

d) $125$

Løsning

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}$

Oppgave 4

Bruk potensreglene og regn ut.

a) $4^{2} \cdot 4^{5}$

Løsning

$4^{2} \cdot 4^{5} = 4^{2 + 5} = 4^{7}$

b) $3^{4} \cdot 3$

Løsning

$3^{4} \cdot 3 = 3^{4} \cdot 3^{1} = 3^{4 + 1} = 3^{5}$

c) $\frac{3^{6}}{3^{3}}$

Løsning

$\frac{3^{6}}{3^{3}} = 3^{6 - 3} = 3^{3}$

d) $3^{2} \cdot 2^{2}$

Løsning

$3^{2} \cdot 2^{2} = 9 \cdot 4 = 36$

eller

$3^{2} \cdot 2^{2} = {(3 \cdot 2)}^{2} = 6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$

e) $\frac{4^{2}}{4^{3}}$

Løsning

$\frac{4^{2}}{4^{3}} = 4^{2 - 3} = 4^{- 1} = \frac{1}{4}$

f) ${(3^{2})}^{2}$

Løsning

$(3^{2})^{2} = 3^{2 \cdot 2} = 3^{4}$

eller

${(3^{2})}^{2} = (9)^{2} = 81$

g) ${(\frac{4^{2}}{2^{3}})}^{2}$

Løsning

${(\frac{4^{2}}{2^{3}})}^{2} = \frac{4^{2 \cdot 2}}{2^{3 \cdot 2}} = \frac{4^{4}}{2^{6}}$

eller

$\begin{array}{rcl} {(\frac{4^{2}}{2^{3}})}^{2} & = & \frac{4^{2 \cdot 2}}{2^{3 \cdot 2}} = \frac{4^{4}}{2^{6}} = \frac{(2^{2})^{4}}{2^{6}} \\ = & \frac{2^{2 \cdot 4}}{2^{6}} = 2^{8 - 6} = 2^{2} = 4 \end{array}$

h) $\frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{10^{3}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{10^{3}} & = & \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{(2 \cdot 5)^{3}} = \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{2^{3} \cdot 5^{3}} \\ = & 2^{4 - 3} \cdot 5^{2 - 3} = 2 \cdot 5^{- 1} = \frac{2}{5} \end{array}$

Oppgave 5

Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall.

a) $100$

b) $10 000$

c) $0,1$

Løsning

a) $100 = 10^{2}$

b) $10000 = 10^{4}$

c) $0,1 = 10^{- 1}$

Skriv tallene som potenser med 2 som grunntall.

d) $8$

e) $32$

f) $\frac{1}{16}$

Løsning

d) $8 = 2^{3}$

e) $32 = 2^{5}$

f) $\frac{1}{2^{4}} = 2^{- 4}$

Skriv tallene som potenser med 3 som grunntall.

g) $9$

h) $27$

i) $\frac{1}{27}$

Løsning

g) $9 = 3^{2}$

h) $27 = 3^{3}$

i) $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^{3}}$

Skriv tallene som potenser med 5 som grunntall.

j) $25$

k) $\frac{5}{25}$

Løsning

j) $25 = 5^{2}$

$\begin{array}{rcl} k) \frac{5}{25} & = & \frac{5^{1}}{5^{2}} \\ = & 5^{1 - 2} \\ = & 5^{- 1} \end{array}$

Oppgave 6

Gjør om til et uttrykk med bare én potens.

a) $2^{3} \cdot 4^{2}$

b) $3^{2} \cdot 9^{6}$

c) $2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12}$

d) $3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9}$

Løsning

a) $2^{3} \cdot 4^{2} = 2^{3} \cdot (2^{2})^{2} = 2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7}$

b) $3^{2} \cdot 9^{6} = 3^{2} \cdot (3^{2})^{6} = 3^{2} \cdot 3^{2 \cdot 6} = 3^{2 + 12} = 3^{14}$

$\begin{array}{rcl} 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} & + & 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} + 2^{12} \\ = & 8 \cdot 2^{12} \\ = & 2^{3} \cdot 2^{12} \\ = & 2^{3 + 12} \\ = & 2^{15} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} & + & 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} + 3^{9} \\ = & 9 \cdot 3^{9} \\ = & 3^{2 \cdot} 3^{9} \\ = & 3^{2 + 9} \\ = & 3^{11} \end{array}$

Oppgave 7

Regn ut, og sorter tallene i stigende rekkefølge fra minste verdi til største verdi.

a) $125^{0} {(2^{2})}^{2} \frac{6}{3^{2}} 4^{- 2} 3^{3} \cdot 3^{- 2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4^{- 2} & = & \frac{1}{4^{2}} \\ = & \frac{1}{16} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{6}{3^{2}} & = & \frac{6}{9} \\ = & \frac{2}{3} \end{array}$

$125^{0} = 1$

$\begin{array}{rcl} 3^{3} \cdot 3^{- 2} & = & 3^{3 - 2} \\ = & 3 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} {(2^{2})}^{2} & = & 4^{2} \\ = & 16 \end{array}$

b) $\frac{1}{10^{3}} 0, 01 2^{- 2} \frac{3^{- 2}}{3^{- 3}} \frac{1000}{(10^{2})^{2}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{10^{3}} & = & \frac{1}{1000} \\ = & 0, 001 \end{array}$

0,01

$\begin{array}{rcl} \frac{1000}{{(10^{2})}^{2}} & = & \frac{1000}{10000} \\ = & \frac{1}{10} \\ = & 0, 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{- 2} & = & \frac{1}{2^{2}} \\ = & \frac{1}{4} \\ = & 0, 25 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{3^{- 2}}{3^{- 3}} & = & 3^{- 2 - (- 3)} \\ = & 3^{1} \\ = & 3 \end{array}$

c) $(2^{- 2})^{- 1} \frac{1}{9} {(\frac{12}{3})}^{0} \sqrt{\frac{10^{5}}{10^{3}}} \frac{3^{- 3}}{3^{- 2}}$

Løsning

$\frac{1}{9} \approx 0, 11$

$\begin{array}{rcl} \frac{3^{- 3}}{3^{- 2}} & = & 3^{- 3 - (- 2)} \\ = & 3^{- 1} \\ = & \frac{1}{3} \\ \approx & 0, 33 \end{array}$

${(\frac{12}{3})}^{0} = 1$

$\begin{array}{rcl} {(2^{- 2})}^{- 1} & = & 2^{(- 2) \cdot (- 1)} \\ = & 2^{2} \\ = & 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\frac{10^{5}}{10^{3}}} & = & \sqrt{10^{5 - 3}} \\ = & \sqrt{10^{2}} \\ = & 10 \end{array}$

Oppgave 8

Regn ut og skriv svarene enklest mulig.

a) $\frac{a^{6} \cdot 4^{3} \cdot 16}{2^{4} \cdot a^{3}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{6} \cdot 4^{3} \cdot 16}{2^{4} \cdot a^{3}} & = & \frac{a^{6 - 3} \cdot (2^{2})^{3} \cdot 2^{4}}{2^{4}} \\ = & a^{3} \cdot 2^{6 + 4 - 4} \\ = & a^{3} \cdot 2^{6} \\ = & 64 a^{3} \end{array}$

b) $\frac{(15)^{3} \cdot (27)^{- 2}}{(3^{- 2})^{2} \cdot (5)^{2}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{(15)^{3} \cdot (27)^{- 2}}{(3^{- 2})^{2} \cdot (5)^{2}} & = & \frac{(3 \cdot 5)^{3} \cdot (3^{3})^{- 2}}{3^{- 2 \cdot 2} \cdot 5^{2}} \\ = & \frac{3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 3^{- 6}}{3^{- 4} \cdot 5^{2}} \\ = & 3^{3 - 6 + 4} \cdot 5^{3 - 2} \\ = & 3 \cdot 5 = 15 \end{array}$

$= 3^{3 - 6 + 4} \cdot 5^{3 - 2} = 3 \cdot 5 = 15$

c) $\frac{(3 a)^{- 2} \cdot 36 b}{3 b \cdot 2^{3} \cdot 3^{3} a}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{(3 a)^{- 2} \cdot 36 b}{3 b \cdot 2^{3} \cdot 3^{3} a} & = & \frac{3^{- 2} a^{- 2} \cdot (2 \cdot 3)^{2} \cdot b}{b \cdot 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot a} \\ = & \frac{3^{- 2} \cdot a^{- 2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot b \cdot b^{- 1} \cdot 2^{- 3} \cdot 3^{- 4} \cdot a^{- 1}}{1} \\ = & 3^{- 2 + 2 - 4} \cdot 2^{2 - 3} \cdot a^{- 2 - 1} \cdot b^{1 - 1} \\ = & 3^{- 4} \cdot 2^{- 1} \cdot a^{- 3} \cdot 1 \\ = & \frac{1}{3^{4} \cdot 2 \cdot a^{3}} \end{array}$

d) $\frac{45 a^{2} \cdot (5^{- 2})^{3}}{125 a \cdot (\frac{1}{5^{- 2}})^{- 3}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{45 a^{2} \cdot (5^{- 2})^{3}}{125 a \cdot {(\frac{1}{5^{- 2}})}^{- 3}} & = & \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot a^{2} \cdot (5^{- 2 \cdot 3})}{5^{3} \cdot a \cdot {(5^{2})}^{- 3}} \\ = & \frac{3^{2} \cdot 5 \cdot a^{2} \cdot 5^{- 6}}{5^{3} \cdot a \cdot 5^{- 6}} \\ = & 3^{2} \cdot 5^{1 - 3} \cdot a^{2 - 1} \\ = & \frac{3^{2} a}{5^{2}} \end{array}$

Oppgave 9

a) Lag et program som tar imot et uttrykk på formen $a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a$ fra brukeren og skriver det som en potens på formen $a^p$ .

Løsningsforslag

Python

1#Dette programmet skriver et uttrykk på formen a*a*a*a....*a som en potens.
2uttrykk = input("Skriv inn uttrykket ditt:")
3
4
5grunntall = uttrykk[0]  #plukker ut det første tallet brukeren skriver inn
6
7eksponent = 0          #lager en variabel for å telle antall faktorer 
8
9for i in range(len(uttrykk)):        #ei løkke som går gjennom hele uttrykket
10    if uttrykk[i] == grunntall:      #og teller antallet faktorer
11        eksponent = eksponent + 1    #øker eksponenten for hver gang grunntall finnes
12 
13print(f"{grunntall}^{eksponent}")      #skriver ut potensen
14

b) Utvid programmet så det kan ta imot et uttrykk med to ulike grunntall.

Løsningsforslag

Python

1#Dette programmet skriver et uttrykk på formen a*a*a*a*...*b*b*b som en potens.
2print("Du har et uttrykk som skal skrives ut som a^p * b^q.")
3string = input("Skriv uttrykket på formen a*a*a*...*b*b*b:")
4
5grunntall1 = string[0]
6grunntall2 = string[-1]
7eksponent1 = 0
8eksponent2 = 0
9#lager variabler for grunntallene og eksponentene
10for i in range(len(string)):
11    if string[i] == grunntall1:
12        eksponent1 = eksponent1 + 1
13    if string[i] == grunntall2:
14        eksponent2 = eksponent2+1
15#teller opp hvor mange som finnes av hvert grunntall 
16print(f"{grunntall1}^{eksponent1}*{grunntall2}^{eksponent2}")
17#skriver ut svaret

c) Lag et program som kan sortere potensuttrykk med flere enn to ulike grunntall.

Løsningsforslag

Python

1streng = input("Skriv inn gangestykket du vil ha som potens. Bruk * som gangetegn.")
2#innhenter uttrykket
3grunntall = []
4#lager ei liste for alle grunntallene
5for i in range(len(streng)):
6    if streng[i] not in grunntall:
7        grunntall.append(streng[i])
8#går gjennom hele regnestykket og henter ut alle unike tegn
9grunntall.remove('*')
10#fjerner gangetegnet
11
12eksponent = [0]*len(grunntall)
13#lager ei tom liste for eksponentene med lik lengde som lista for grunntall
14
15for i in range(len(streng)):
16    for t in range(len(grunntall)):
17        if streng[i] == grunntall[t]:
18            eksponent[t] = eksponent[t]+1
19#teller opp antall av hvert grunntall
20svar = "Potensen er "
21#lager en variabel for svaret
22
23for i in range(len(grunntall)-1):
24    svar = svar + str(grunntall[i]) + "^" + str(eksponent[i])+"*"
25#legger til alle potensene utenom den siste med et gangetegn imellom  
26svar = svar + str(grunntall[-1]) + "^" + str(eksponent[-1])
27#legger til den siste potensen
28print(svar)   
29#skriver svaret til skjermen

d) Lag et program der brukeren kan skrive inn en potens og få regnet ut svaret – en liten potenskalkulator.

Oppgave 10

Hva kan du om potenser?

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Potenser(DOCX)
Potenser(PDF)

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

Oppgave 9

Oppgave 10

Nedlastbare filer

Regler for bruk av teksten "Potenser"