Fagartikkel

Konvergens og divergens i uendelege geometriske rekker

Kva skjer viss du halverer ein figur? Kan du få meir enn ein heil figur viss du berre gjer det mange nok gonger?

Sum av uendelege geometriske rekker

Eit kvadrat med sidekantar 2 som er delt inn i mindre figurar. Eit blått rektangel er halvparten og heiter a 1. Eit raudt kvadrat er ein fjerdedel og heiter a 2. Eit grønt rektangel er ein åttandedel og heiter a 3. Eit blått kvadrat er ein sekstandedel og heiter a 4. Eit raudt rektangel er ein trettitodel og heiter a 5. Resten av kvadratet er kvitt. Illustrasjon. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

På figuren ser du eit stort kvadrat med sidelengder lik 2 og areal lik 4. Det store blå rektangelet, som vi kallar $a_{1}$ , er halvparten av kvadratet og har dermed arealet 2.

Det raude kvadratet, som vi kallar $a_{2}$ , er ein fjerdedel av det store kvadratet og har arealet 1.

Kor stort er arealet av $a_{3}, a_{4} og a_{5}$ ?

Løysing

Vi ser at kvar figur er halvparten så stor som den førre, så vi har at $a_{3} = \frac{1}{2}, a_{4} = \frac{1}{4} og a_{5} = \frac{1}{8}$ .

Viss vi legg saman areala til dei farga firkantane, får vi summen av ei endeleg geometrisk rekke, der $a_{1} = 2 og k = \frac{1}{2}$ . Summen av dei 5 første ledda er

$S_{5} = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 3, 875$

Men kva skjer viss vi held fram med å legge til halvparten av det som står igjen av kvadratet? Summen av dei 10 første ledda i rekka er

$S_{10} = \sum_{n = 1}^{10} 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \approx 3, 99609375$

Summen av dei 30 første ledda i rekka er

$S_{30} = \sum_{n = 1}^{30} 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \approx 3, 99999999627470$

Dersom vi reknar ut summen av dei 100 første ledda, får vi

$S_{100} = \sum_{n = 1}^{100} 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \approx 4$

Det skal ikkje så mange ledd til før summen blir tilnærma lik talet 4. Det er avgrensa kor mange siffer vi kan ta med i svaret, derfor får vi svaret avrunda til 4 når vi får mange nok ledd.

Same kor mange ledd vi tek med, vil aldri summen overstige talet 4. Prøv sjølv, og tenk over kvifor det må vere sånn.

Forklaring

Vi legg heile tida til halvparten av det som er igjen av kvadratet. Det betyr at summen aldri kan bli høgare enn arealet til kvadratet, som er 4.

Vi kan forklare dette matematisk ved å sjå på grenseverdien til uttrykket for summen av den endelege geometriske rekka:

$\begin{array}{rcl} S_{n} & = & a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} - 1}{\frac{1}{2} - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} - 1}{- \frac{1}{2}} \\ = & - 4 \cdot ({(\frac{1}{2})}^{n} - 1) = - 4 \cdot (\frac{1}{2^{n}} - 1) = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}}) \end{array}$

Når $n$ blir veldig stor, vil leddet $\frac{1}{2^{n}}$ bli mindre og mindre, og summen vil derfor nærme seg 4, men summen vil alltid vere litt mindre enn 4. Summen av den uendelege geometriske rekka vil altså bli

$S = \lim_{n \to \infty} 4 (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 4$

Konvergens og divergens

I dømet over ser vi at summen til den uendelege geometriske rekka nærmar seg ein bestemd verdi når $n \to \infty$ . Vi seier at rekka konvergerer. Viss ei rekke ikkje nærmar seg nokon bestemd sum når $n \to \infty$ , seier vi at rekka divergerer.

La oss sjå på kva som skjer med summen av ei geometrisk rekke der $a_{1} = 2 og k = 3$ . Vi får at

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{3^{n} - 1}{3 - 1} = 3^{n} - 1$

Kva skjer med grenseverdien til $S_{n}$ når vi lar $n$ gå mot uendeleg?

Forklaring

Vi ser at leddet $3^{n}$ vil halde fram med å vekse for kvar gong $n$ blir større, altså eksisterer ikkje grenseverdien her.

Det verkar altså som at det er verdien av $k$ som avgjer om ei geometrisk rekke konvergerer eller ikkje. La oss sjå nærare på summeformelen for geometriske rekker:

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} når k \neq 1$

Vi legg merke til at det berre er leddet $k^{n}$ som vil endre seg når $n$ endrar seg. Det betyr at for å finne ut kva slags verdiar av $k$ som gir ei konvergerande rekke, må vi sjå nærare på kva som skjer med dette leddet når $k$ endrar seg og $n$ går mot uendeleg.

Kva verdiar trur du er dei kritiske verdiane for $k$ ? Tenk gjennom det før du les vidare!

Forklaring

Vi veit frå potensrekninga at $1^{n} = 1$ uavhengig av kor stor $n$ er. I døma over ser vi at der $k = \frac{1}{2}$ , fekk vi ei konvergerande rekke, altså ei rekke der summen nærmar seg ein bestemd verdi. Der $k = 3$ , fekk vi ei divergerande rekke. Vi ser at dette kjem av at absoluttverdien til leddet $k^{n}$ veks dersom $|k| > 1$ , og at leddet blir mindre og nærmar seg 0 dersom $|k| < 1$ . Vi må altså sjå på tilfella $k = \pm 1, k < - 1, - 1 < k < 1 og k > 1$ .

Tilfelle der den geometriske rekka divergerer

Vi byrjar med å sjå på alle dei tilfella der summen til den uendelege geometriske rekka ikkje går mot nokon bestemd verdi, altså at han divergerer. Vi viser at grenseverdien $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ ikkje eksisterer for desse tilfella. Legg merke til at vi føreset at $a_{1} \neq 0$ .

Når 𝙠 = –1

Vi set inn $- 1$ for $k$ i summen og får

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{(- 1)^{n} - 1}{- 1 - 1}$

Summen vil bli $a_{1}$ dersom $n$ er oddetal, og 0 dersom $n$ er partal. Då eksisterer det ikkje nokon bestemd grenseverdi for summen.

Når 𝙠 < –1 eller 𝙠 > 1

Vi ser på kva som skjer med grenseverdien til summen når vi lar $n$ gå mot minus uendeleg:

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{1}}{k - 1} \cdot (k^{n} - 1)$

Når $k < - 1$ , vil $|k^{n}| \to \infty når n \to \infty$ .

Når $k > 1$ , vil $k^{n} \to \infty når n \to \infty$ .

Når 𝙠 = 1

Når $k = 1$ , blir summen av den endelege rekka $S_{n} = n \cdot a_{1}$ . Lar vi $n$ gå mot uendeleg, ser vi at summen òg vil gå mot uendeleg.

Dette betyr at dersom $k = \pm 1, k > 1$ eller $k < - 1$ , vil grenseverdien for summen ikkje eksistere, og vi vil få ei geometrisk rekke som divergerer.

Tilfelle der den geometriske rekka konvergerer

Vi har no eitt område igjen å undersøke. Vi ser på grenseverdien til summen av den geometriske rekka dersom $k \in 〈 - 1, 1 〉$ . Vi såg over at i desse tilfella vil $k^{n} \to 0 når n \to \infty$ . Summen av rekka blir då

$S = \lim_{n \to \infty} a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = a_{1} \cdot \frac{0 - 1}{k - 1} = \frac{- a_{1}}{k - 1} = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Rekka går altså mot ein bestemd sum og er derfor konvergent. Vi kan no formulere ei setning som samanfattar:

Ei uendeleg geometrisk rekke der $k \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ , er konvergent og har sum

$S = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Geometriske rekk med variable kvotientar

Til no har vi berre jobba med geometriske rekker der kvotienten er eit gitt tal. I den uendelege geometriske rekka

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + . . . x \neq 0$

er kvotienten $k = \frac{1}{x}$ , altså ein variabel. Vi veit at ei geometrisk rekke konvergerer dersom $k \in 〈 - 1, 1 〉$ , og det betyr at rekka konvergerer når $\frac{1}{x} \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ . Vi må dermed løyse ein dobbeltulikskap for å finne for kva verdiar av $x$ rekka konvergerer:

$- 1 < \frac{1}{x} < 1$

Dobbeltulikskapen kan løysast som to enkle ulikskapar:

$\begin{array}{rclcccccrcl} - 1 & < & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} & < & 1 \\ - 1 - \frac{1}{x} & < & 0 & \frac{1}{x} - 1 & < & 0 \\ \frac{x + 1}{x} & > & 0 & \frac{1 - x}{x} & < & 0 \end{array}$

Løysing av ulikskapane

Venstre ulikskap:

Vi har to kritiske punkt, der teljaren er null,

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & 0 \\ x & = & - 1 \end{array}$

og der nemnaren er null:

$x = 0$

Vi testar for $x = - 2, x = - 0, 5$ og $x = 1$ for å finne ut kvar ulikskapen er oppfylt:

$\begin{array}{rcl} \frac{- 2 + 1}{- 2} & = & \frac{- 1}{- 2} > 0 \\ \frac{- 0, 5 + 1}{- 0, 5} & = & \frac{0, 5}{- 0, 5} < 0 \\ \frac{1 + 1}{1} & = & \frac{2}{1} > 0 \end{array}$

Vi får løysinga $x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 0, \to ⟩$ .

Høgre ulikskap:

Som for den venstre ulikskapen byrjar vi med å finne dei to kritiske punkta:

$\begin{array}{rcl} 1 - x & = & 0 \\ x & = & 1 \\ x & = & 0 \end{array}$

Vi testar for $x = - 1, x = 0, 5$ og $x = 2$ :

$\begin{array}{rcl} \frac{1 - (- 1)}{- 1} & = & \frac{2}{- 1} < 0 \\ \frac{1 - 0, 5}{0, 5} & = & \frac{0, 5}{0, 5} > 0 \\ \frac{1 - 2}{2} & = & \frac{- 1}{2} < 0 \end{array}$

Vi får løysinga $x \in ⟨ \leftarrow, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$ .

Ønsker du ytterlegare oversikt over løysingane, kan du teikne forteiknsskjema.

Den venstre ulikskapen gir at $x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 0, \to ⟩$ .

Den høgre ulikskapen gir at $x \in ⟨ \leftarrow, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$ .

Rekka konvergerer i det intervallet som oppfyller begge desse ulikskapane samtidig. For å få oversikt kan vi teikne ein figur:

En figur som illustrerer de to intervallene. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Det betyr at rekka konvergerer når

$x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$

Desse verdiane kallar vi konvergensområdet til rekkja.

Vi kan no finne summen av rekka ved hjelp av formelen for sum av konvergerande geometriske rekker:

$\begin{array}{rcl} S (x) & = & \frac{a_{1}}{1 - k} \\ S (x) & = & \frac{1}{1 - (\frac{1}{x})} \\ S (x) & = & \frac{x}{x - 1} \end{array}$

Summen er ein funksjon av $x$ . Hugs at definisjonsmengda til funksjonen er konvergensområdet til rekka!

Film om uendelege geometriske rekker

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om konvergens og divergens i rekker

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om rekker med variable kvotientar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0