Konvergens og divergens i uendelege geometriske rekker

På figuren ser du eit stort kvadrat med sidelengder lik 2 og areal lik 4. Det store blå rektangelet, som vi kallar $$ a_1$$, er halvparten av kvadratet og har dermed arealet 2.

Det raude kvadratet, som vi kallar $$ a_2$$, er ein fjerdedel av det store kvadratet og har arealet 1.

Kor stort er arealet av $$ a_3, a_4 \mathrm{og} a_5$$?

Viss vi legg saman areala til dei farga firkantane, får vi summen av ei endeleg geometrisk rekke, der  $$ a_1=2 \mathrm{og} k=\frac{1}{2}$$. Summen av dei 5 første ledda er

$$ S_5 = 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} = 3,875$$

Men kva skjer viss vi held fram med å legge til halvparten av det som står igjen av kvadratet? Summen av dei 10 første ledda i rekka er

$S_{10}=\sum _{n=1}^{10}2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\approx 3,99609375$

Summen av dei 30 første ledda i rekka er

$S_{30}=\sum _{n=1}^{30}2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\approx 3,99999999627470$

Dersom vi reknar ut summen av dei 100 første ledda, får vi

$S_{100}=\sum _{n=1}^{100}2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\approx 4$

Det skal ikkje så mange ledd til før summen blir tilnærma lik talet 4. Det er avgrensa kor mange siffer vi kan ta med i svaret, derfor får vi svaret avrunda til 4 når vi får mange nok ledd.

Same kor mange ledd vi tek med, vil aldri summen overstige talet 4. Prøv sjølv, og tenk over kvifor det må vere sånn.

Vi kan forklare dette matematisk ved å sjå på grenseverdien til uttrykket for summen av den endelege geometriske rekka:

$\begin{array}{rcl}{S}_n& = & a_1·\frac{k^n-1}{k-1}=2·\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1}{\frac{1}{2}-1}=2·\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1}{-\frac{1}{2}}\\ & & \\ & =& -4·\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1\right)=-4·\left(\frac{1}{2^n}-1\right)=4·\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\end{array}$

Når $n$ blir veldig stor, vil leddet $\frac{1}{2^n}$ bli mindre og mindre, og summen vil derfor nærme seg 4, men summen vil alltid vere litt mindre enn 4. Summen av den uendelege geometriske rekka vil altså bli

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=4$

I dømet over ser vi at summen til den uendelege geometriske rekka nærmar seg ein bestemd verdi når  $$ n\to \infty $$. Vi seier at rekka konvergerer. Viss ei rekke ikkje nærmar seg nokon bestemd sum når  $$ n\to \infty $$, seier vi at rekka divergerer.

La oss sjå på kva som skjer med summen av ei geometrisk rekke der  $$ a_1=2 \mathrm{og} k=3$$. Vi får at

$$ S_n=a_1·\frac{k^n-1}{k-1}=2·\frac{3^n-1}{3-1}=3^n-1$$

Kva skjer med grenseverdien til $$ S_n$$ når vi lar $$ n$$ gå mot uendeleg?

Det verkar altså som at det er verdien av $$ k$$ som avgjer om ei geometrisk rekke konvergerer eller ikkje. La oss sjå nærare på summeformelen for geometriske rekker:

$$ S_n=a_1·\frac{k^n-1}{k-1} \mathrm{når} k\ne 1$$

Vi legg merke til at det berre er leddet $$ k^n$$ som vil endre seg når $$ n$$ endrar seg. Det betyr at for å finne ut kva slags verdiar av $$ k$$ som gir ei konvergerande rekke, må vi sjå nærare på kva som skjer med dette leddet når $$ k$$ endrar seg og $$ n$$ går mot uendeleg.

Kva verdiar trur du er dei kritiske verdiane for $$ k$$? Tenk gjennom det før du les vidare!

Vi byrjar med å sjå på alle dei tilfella der summen til den uendelege geometriske rekka ikkje går mot nokon bestemd verdi, altså at han divergerer. Vi viser at grenseverdien  $$ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$$  ikkje eksisterer for desse tilfella. Legg merke til at vi føreset at  $$ a_1\ne 0$$.

Når 𝙠 = –1

Vi set inn $$ -1$$ for $$ k$$ i summen og får

$$ S_n=a_1·\frac{(-1{)}^n-1}{-1-1}$$

Summen vil bli $a_1$ dersom $$ n$$ er oddetal, og 0 dersom $$ n$$ er partal. Då eksisterer det ikkje nokon bestemd grenseverdi for summen.

Når 𝙠 < –1  eller  𝙠 > 1

Vi ser på kva som skjer med grenseverdien til summen når vi lar $$ n$$ gå mot minus uendeleg:

$$ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_1·\frac{k^n-1}{k-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1}{k-1}·\left(k^n-1\right)$$

Når  $$ k<-1$$, vil  $$ \left|k^n\right|\to \infty \mathrm{når} n\to \infty $$.

Når  $$ k>1$$, vil  $$ k^n\to \infty \mathrm{når} n\to \infty $$.

Når 𝙠 = 1

Når  $k=1$, blir summen av den endelege rekka $S_n=n·a_1$. Lar vi $$ n$$ gå mot uendeleg, ser vi at summen òg vil gå mot uendeleg.

Dette betyr at dersom  $$ k=\pm 1, k>1$$  eller  $$ k<-1$$, vil grenseverdien for summen ikkje eksistere, og vi vil få ei geometrisk rekke som divergerer.

Vi har no eitt område igjen å undersøke. Vi ser på grenseverdien til summen av den geometriske rekka dersom  $k\in \langle -1, 1\rangle$. Vi såg over at i desse tilfella vil  $k^n\to 0 \mathrm{når} n\to \infty$. Summen av rekka blir då

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_1·\frac{k^n-1}{k-1}=a_1·\frac{0-1}{k-1}=\frac{-a_1}{k-1}=\frac{a_1}{1-k}$

Rekka går altså mot ein bestemd sum og er derfor konvergent. Vi kan no formulere ei setning som samanfattar:

Til no har vi berre jobba med geometriske rekker der kvotienten er eit gitt tal. I den uendelege geometriske rekka

$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+... x\ne 0$

er kvotienten  $k=\frac{1}{x}$, altså ein variabel. Vi veit at ei geometrisk rekke konvergerer dersom  $k\in \langle -1, 1\rangle$, og det betyr at rekka konvergerer når $\frac{1}{x}\in ⟨-1, 1⟩$. Vi må dermed løyse ein dobbeltulikskap for å finne for kva verdiar av $x$ rekka konvergerer:

$$ -1<\frac{1}{x}<1$$

Dobbeltulikskapen kan løysast som to enkle ulikskapar:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rclcccccrcl}-1& <& \frac{1}{x}& & & & & & \frac{1}{x}& <& 1\\ -1-\frac{1}{x}& <& 0& & & & & & \frac{1}{x}-1& <& 0\\ \frac{x+1}{x}& >& 0 & & & & & & \frac{1-x}{x}& <& 0\end{array} \\ \end{gathered}$$

Den venstre ulikskapen gir at $x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨0, \to ⟩$.

Den høgre ulikskapen gir at $x\in ⟨\leftarrow , 0⟩\cup ⟨1, \to ⟩$.

Rekka konvergerer i det intervallet som oppfyller begge desse ulikskapane samtidig. For å få oversikt kan vi teikne ein figur:

Det betyr at rekka konvergerer når

$x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨1, \to ⟩$

Desse verdiane kallar vi konvergensområdet til rekkja.

Vi kan no finne summen av rekka ved hjelp av formelen for sum av konvergerande geometriske rekker:

$\begin{array}{rcl}S\left(x\right)& = & \frac{a_1}{1-k}\\ & & \\ S\left(x\right)& =& \frac{1}{1-\left(\frac{1}{x}\right)}\\ & & \\ S\left(x\right)& =& \frac{x}{x-1}\end{array}$

Summen er ein funksjon av $x$. Hugs at definisjonsmengda til funksjonen er konvergensområdet til rekka!