Konvergens og divergens i uendelege geometriske rekker

Vi finn $$ k$$:

$$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1}=\frac{1}{3}$$

Sidan vi har at $$ -1<\frac{1}{3}<1$$, veit vi at rekka konvergerer. Vi finn summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ & =& \frac{3}{2}\end{array}$$

Vi les her ut av formelen at $$ k=0,5$$. Vi har at $$ -1<0,5<1$$, så dermed har vi ei konvergerande rekke. Vi finn summen:

$$ $ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{3}{1-{\displaystyle 0,5}}\\ & =& \frac{3}{{\displaystyle 0,5}}\\ & =& 6\\ & & \end{array}$$$

Her les vi ut frå formelen at $$ k=3$$. Vi har at $$ k>1$$, altså har vi ei divergerande rekke. Vi kan ikkje finne nokon sum av den uendelege rekka.

Vi observerer at dette er den same rekka som i b), altså konvergerer ho, og summen er 6.

Vi har her ei geometrisk rekke med $$ a_1=1$$ og $$ k=\frac{1}{3}$$.

Dette er den same rekka som i a), og summen er dermed $$ \frac{3}{2}$$.

Vi skriv om uttrykket for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\\ & =& \frac{1}{3}·{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\end{array}$$

Vi ser at vi har ei geometrisk rekke med $$ a_1=\frac{1}{3}$$ og $$ k=\frac{1}{3}$$.

Vi har at $$ -1<\frac{1}{3}<1$$, så rekka konvergerer.

Vi finn summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

Her kan vi òg legge merke til at dette er det same som rekka i e) multiplisert med $$ \frac{1}{3}$$:

$$ \begin{array}{rcl}$ \sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ & =& $ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3}·{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$\\ & =& \frac{1}{3}$ \sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$\\ & =& \frac{1}{3}·\frac{3}{2}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

Vi finn $$ k$$:

$$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Vi har at $$ -1<-\frac{1}{3}<1$$, så rekka konvergerer. Vi finn summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{3}{1-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}\\ & =& \frac{3}{{\displaystyle \frac{4}{3}}}\\ & =& \frac{9}{4}\end{array}$$

Vi skriv om uttrykket for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& {\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-2}\\ & =& {\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1}·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\\ & =& {\left(5^{-1}\right)}^{-1}·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\\ & =& 5·{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\end{array}$$

Vi har dermed at $$ -1<k<1$$, og vi kan finne summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{5}{1-{\displaystyle \frac{1}{5}}}\\ & =& \frac{5}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}\\ & =& \frac{25}{4}\end{array}$$

Vi finn først $$ k$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{x}{1}=x$$

Vi må ha at $$ -1<k<1$$. Det betyr at konvergensområdet for rekka er $$ -1<x<1$$.

Summen av rekka blir då

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-x}\end{array}$$

Vi finn først $$ k$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-x^2}{x}=-x$$

Dette gir det same konvergensområdet som i a), altså $$ -1<x<1$$. Vi finn summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{x}{1-(-x)}\\ & =& \frac{x}{1+x}\end{array}$$

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{x}}}{2}=\frac{2}{x}$$

Vi må løyse dobbeltulikskapen

$$ -1<\frac{2}{x}<1$$

Vi deler dobbeltulikskapen i to og løyser dei to enkle ulikskapane kvar for seg.

$$\begin{gathered} $ \begin{array}{rclcccccrcl}-1& <& \frac{2}{x}& & & & & & \frac{2}{x}& <& 1\\ 0& <& \frac{2}{x}+1& & & & & & \frac{2}{x}-1& <& 0\\ 0& <& \frac{2+x}{x} & & & & & & \frac{2-x}{x}& <& 0\end{array} \\ $ \end{gathered}$$

Venstre ulikskap:

Vi har to kritiske punkt, $$ x=-2$$ og $$ x=0$$. Vi undersøker kvar ulikskapen er oppfylt, ved å teste for $$ x=-3, x=-1$$ og $$ x=1$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2+(-3)}{-3} & =& \frac{-1}{-3}>0\\ \frac{2+(-1)}{-1} & =& \frac{1}{-1}<0\\ \frac{2+1}{1} & =& \frac{3}{1}>0\end{array}$$

Vi har at venstre ulikskap har løysinga

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨0, \to ⟩$$$

Høgre ulikskap:

Vi har to kritiske punkt, $$ x=2$$ og $$ x=0$$. Vi undersøker for $$ x=-1$$, $$ x=1$$ og $$ x=3$$:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2-(-1)}{-1} & =& \frac{3}{-1}<0\\ \frac{2-1}{1} & =& \frac{1}{1}>0\\ \frac{2-3}{3} & =& \frac{-1}{3}<0\end{array}$$

Vi har at høgre ulikskap har løysinga

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , 0⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$$

Vi må finne det området som oppfyller begge ulikskapane samtidig. Vi teiknar ein figur for å få oversikt:

Dette gir oss konvergensområdet:

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$$

Vi finn eit uttrykk for summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{2}{1-\frac{2}{x}}\\ & =& \frac{2x}{x-2}\end{array}$$

I GeoGebra kan vi løyse heile denne oppgåva med nokre få tastetrykk:

Vi startar med å finne $$ k$$. Her kan vi lese han ut av formelen, vi har at $$ k=(2+x)$$.

Vi løyser dobbeltulikskapen:

$$ \begin{array}{ccccc}-1& <& 2+x& <& 1\\ -1-2& <& 2+x-2& <& 1-2\\ -3& <& x& <& -1\end{array}$$

Vi har altså at $$ -3<x<-1$$ er konvergensområdet til rekka. Vi kan òg skrive det slik: $$ $ x\in ⟨-3, -1⟩$$$.

Vi les ut av formelen at $$ a_1 = 1$$ og finn summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-(2+x)}\\ & =& \frac{1}{-1-x}\\ & =& -\frac{1}{1+x}\end{array}$$

Vi les ut av formelen at $$ k=1-x$$ og løyser dobbeltulikskapen:

$$ $ \begin{array}{ccccc}-1& <& 1-x& <& 1\\ -1-1& <& 1-x-1& <& 1-1\\ -2& <& -x& <& 0\end{array}$$$

Vi deler opp i to ulikskapar:

$$ \begin{array}{ccccccc}-2& <& -x& & -x& <& 0\\ 2& >& x& & x& >& 0\end{array}$$

Vi har at konvergensområdet er $$ $ x\in ⟨0, 2⟩$$$.

For å finne $$ a_1$$ set vi inn $$ n=1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_1 & =& (1-x{)}^1=1-x\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{1-x}{1-(1-x)}\\ & =& \frac{1-x}{x}\end{array}$$

For hand:

Vi set formelen vi fann for summen lik 1:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{1-x} & =& 1\\ 1 & =& 1-x\\ x & =& 0\end{array}$$

Vi ser at vi får summen lik 1 dersom vi set $$ x=0$$.

Vi gjer det same med 4:

$$ $ \begin{array}{rcl}\frac{1}{1-x} & =& 4\\ 1 & =& 4( 1-x)\\ 1 & =& 4-4x\\ 4x & =& 3\\ x & =& \frac{3}{4}\\ & & \end{array}$$$

Vi ser at vi får summen lik 4 dersom vi set $$ x=\frac{3}{4}$$.

Når det gjeld løysing i CAS, kan vi anten bruke formelen for summen vi fann i 1.1.41 slik vi gjorde for hand, eller vi kan bruke den eksplisitte formelen for $$ a_n$$. Vi viser begge variantane her:

For hand:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x}{1+x} & =& 1\\ x & =& 1+x\\ 0x & =& 1\end{array}$$

Her ser vi at vi ikkje har noka løysing på likninga, altså kan ikkje summen bli 1.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x}{1+x} & =& 4\\ x & =& 4(1+x)\\ x & =& 4+4x\\ 3x & =& -4\\ x & =& \hspace{0.17em}-\frac{4}{3}\end{array}$$

Her finn vi ei løysing på likninga, men vi ser at ho ligg utanfor konvergensområdet, og derfor kan summen heller ikkje bli 4.

Vi løyser i CAS, her viser vi berre løysinga med summeformel:

Legg merke til at GeoGebra gir deg eit svar på likninga sjølv om denne summen ikkje finst! Sannsynlegvis finn GeoGebra formelen for summen først, slik vi har gjort, og løyser likninga med han utan å kunne ta med seg konvergensintervallet.

I resten av desse oppgåvene viser vi berre løysing for hand. Sjå på dei to tidlegare oppgåvene dersom du ikkje hugsar korleis du skal løyse i CAS.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2x}{x-2} & =& 1\\ 2x & =& x-2\\ x & =& -2\end{array}$$

Vi ser at $$ x=-2$$ er utanfor konvergensintervallet, og summen kan ikkje bli 1.

$$ $ \begin{array}{rcl}\frac{2x}{x-2} & =& 4\\ 2x & =& 4(x-2)\\ 2x & =& 4x-8\\ 2x & =& 8\\ x & =& 4\\ & & \end{array}$$$

Denne løysinga er innanfor konvergensintervallet. Det betyr at summen $$ S = 4$$ når $$ x = 4$$.

$$ \begin{array}{rcl}-\frac{1}{1+x} & =& 1\\ -1 & =& 1+x\\ x & =& -2\end{array}$$

Denne løysinga er innanfor konvergensintervallet, så summen blir 1 når $$ x=-2$$.

$$ \begin{array}{rcl}-\frac{1}{1+x} & =& 4\\ -1 & =& 4(1+x)\\ -1 & =& 4+4x\\ 4x & =& -5\\ x & =& \hspace{0.17em}\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}\end{array}$$

Denne løysinga er òg innanfor konvergensintervallet, så summen blir 4 når $$ x=-\frac{5}{4}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1-x}{x} & =& 1\\ 1-x & =& x\\ 2x & =& \hspace{0.17em}1\\ x & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1-x}{x} & =& 4\\ 1-x & =& 4x\\ 5x & =& \hspace{0.17em}1\\ x & =& \hspace{0.17em}\frac{1}{5}\end{array}$$

Vi ser at begge løysingane ligg innanfor konvergensområdet, og vi har at $$ S=1$$ når $$ x= \frac{1}{2}$$ og $$ S=4$$ når $$ x=\frac{1}{5}$$.

Vi har at summen av rekka er gitt ved $$ S\left(x\right)=\frac{1}{1-x}$$, og at konvergensområdet er $$ $ -1<x<1$$$. Vi må finne eventuelle topp- og botnpunkt innanfor konvergensområdet til rekka.

Vi deriverer funksjonen i CAS:

Vi legg merke til at den deriverte alltid er positiv. Det vil seie at funksjonen er strengt veksande i heile konvergensintervallet. Vi kan ikkje finne ein bestemd høgaste verdi og lågaste verdi fordi summen ikkje er definert i ytterpunkta i intervallet, men vi kan finne grenseverdiane til summen.

Den lågaste verdien finn vi ved å la $$ x\to -1^{+}$$:

$$ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }S\left(x\right)=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$$

Den høgaste verdien finn vi ved å la $$ $ x\to 1^{-}$$$:

$$ $ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{0}$$$

Vi ser at vi får 0 i nemnaren, men ikkje i teljaren. Det vil seie at uttrykket ikkje har nokon grenseverdi, men vil gå mot uendeleg.

Vi ser at nedre grenseverdi for summen av rekka er $$ \frac{1}{2}$$, mens summen ikkje har nokon øvre grenseverdi.

Det kan vere lurt (men ikkje nødvendig!) å kikke på grafen til funksjonen for å få betre oversikt:

Vi ser at det vi fann ved rekning, stemmer bra med biletet av grafen.

Vi har at summen er gitt ved $$ S\left(x\right)=\frac{2x}{x-2}$$, og at konvergensområdet er gitt ved $$ $ $ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$$$.

Igjen startar vi med å derivere for å undersøke monotonieigenskapane til funksjonen:

Vi legg merke til at den deriverte er negativ i heile konvergensområdet, det vil seie at vi må leite etter den høgaste verdien der $$ x\to -\infty $$ og der $$ x\to 2^{+}$$. Den lågaste verdien kan vi finne anten der $$ x\to -2^{-}$$ eller der $$ x\to \infty $$.

Vi finn desse grenseverdiane:

$$ \begin{array}{ccc}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x}{x-2}& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 2x}}{x}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x}}{x}-\frac{{\displaystyle 2}}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}\\ & =& 2\end{array} $$

$$ $ \begin{array}{ccc}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x}{x-2}& =& \frac{2·2}{2-2}\\ & =& \frac{4}{0}\end{array} $$$

$$ $ \begin{array}{ccc}\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-2}& =& \frac{2·(-2)}{-2-2}\\ & =& \frac{-4}{-4}\\ & =& 1\end{array} $$$

Vi har altså at den nedre grenseverdien til summen av rekka er 1, og det eksisterer ikkje ein øvre grenseverdi. Vi legg òg merke til at summen ikkje kan bli 2.

Eit tips her òg er å teikne grafen dersom du vil ha betre oversikt.