Oppgåver og aktivitetar

Rekker

Her kan du jobbe med oppgåver om rekker.

1.1.20

På teorisida om rekker har vi laga eit program som reknar ut summen av dei 20 første ledda i rekka $a_{n} = 2^{n - 1}$ ved hjelp av den eksplisitte formelen for $a_{n}$ .

a) Lag eit program som reknar ut det same ved hjelp av ein rekursiv formel.

Løysing

Rekka vil vere gitt ved den rekursive formelen $a_{n} = 2 \cdot a_{n - 1}$ og $a_{1} = 1$ .

Vi lagar ein variabel for dagslønna og ein variabel for den samla lønna. Her må vi køyre lykkja 19 gonger, sidan vi startar med lønna på dag 1.

python

1dagslonn = 1     #lønn per dag
2samlalonn = 1    #variabel for samla lønn
3dagar = 20       #tal på dagar
4
5
6for n in range(dager-1):   
7    dagslonn = dagslonn*2   
8    samlalonn = samlalonn + dagslonn  
9    
10print(f"Samla lønn blir {samlalonn} kr.")

b) Finn $S_{20}$ i CAS i GeoGebra.

Løysing

Her må vi bruke den eksplisitte formelen.

Skjermutklipp frå CAS. Det står Sum parentes 2 opphøgd i parentes n minus 1 parentes slutt komma n komma 1 komma 20 parentes slutt. Svaret er gitt som 1048575.

1.1.21

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}}$ .

a) Finn dei tre første ledda for hand.

Løysing

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{(1 + n)^{2}} \\ a_{1} & = & \frac{1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \\ a_{2} & = & \frac{1}{(1 + 2)^{2}} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ a_{3} & = & \frac{1}{(1 + 3)^{2}} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} \end{array}$

b) Lag eit program som skriv ut dei 20 første ledda.

Løysing

python

1a_n = 0
2antal = 1
3Ledda = []
4
5for n in range(1,21):
6    a_n = 1/(1+n)**2
7    Ledda.append(a_n)
8    antal = antal+1
9    
10print(Ledda)

c) Utvid programmet slik at det òg skriv ut dei 20 første summane, det vil seie $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ og så vidare.

Løysing

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4Ledda = []
5Summane = []
6
7for n in range(1,21):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Ledda.append(a_n)
11    Summane.append(Sum)
12    antal = antal+1
13
14print(Ledda)
15print(Summane)

Legg merke til at desse programma berre er heilt grunnleggjande, og at utskriftene ikkje er lette å tyde.

Her kjem ein versjon med overskrifter og litt færre desimalar. Kanskje kan du nokre andre triks for å få det til å sjå betre ut?

Python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4Ledda = ["a_n"]
5Summane = ["S_n"]
6
7for n in range(1,21):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Ledda.append(a_n)
11    Summane.append(Sum)
12    antal = antal+1
13
14
15
16for i in range(0,21):
17    if i == 0:
18        print(f"{Ledda[i]:<6} {Summane[i]:<6}")
19    else:
20        print(f"{Ledda[i]:.4f} {Summane[i]:.4f}")
21

I linje 18 har vi lagt inn ei formatering for å få rada med overskrifter til å bli like brei som radene med ledd og summar.

d) Finn summen, både eksakt og avrunda til 10 desimalar, når $n \to \infty$ ved hjelp av CAS i GeoGebra.

Løysing

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. Linje 1 finn summen av rekka 1 delt på parentes 1 pluss n parentes slutt opphøgd i 2 frå n er lik 1 til uendeleg. Svaret er gitt ved 1 delt på 6 gongar med pi opphøgd i 2 minus 1. Linje 2 runder av svaret til 0,6449340668.

e) Utvid programmet ditt frå c) slik at du får skrive ut ledda frå $a_{290}$ til $a_{300}$ og tilsvarande summar og ledda frå $a_{990}$ til $a_{1000}$ og tilsvarande summar. Beskriv samanhengen mellom desse og svaret du fekk i d).

Løysing

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4Ledda = ["a_n"]
5Summane = ["S_n"]
6
7for n in range(1,1001):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Ledda.append(a_n)
11    Summane.append(Sum)
12    antal = antal+1
13
14print("a_290 - a_300")
15
16for i in range(291,301):
17    print(f"{Ledda[i]:.5f} {Summane[i]:.5f}")
18
19print("a_990 - a_1000")
20
21for i in range(991,1001):
22    print(f"{Ledda[i]:.6f} {Summane[i]:.5f}")

Resultatet av utskrifta blir slik (med 5 og 6 desimalar):

$\begin{matrix} a_{290} - a_{300} \\ 0.00001 & 0.64152 \\ 0.00001 & 0.64153 \\ 0.00001 & 0.64154 \\ 0.00001 & 0.64155 \\ 0.00001 & 0.64156 \\ 0.00001 & 0.64157 \\ 0.00001 & 0.64158 \\ 0.00001 & 0.64160 \\ 0.00001 & 0.64161 \\ 0.00001 & 0.64162 \end{matrix}$

$\begin{matrix} a_{990} - a_{1000} \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64394 \end{matrix}$

Vi ser at ledda blir mindre og mindre, og at summen nærmar seg sakte, men sikkert den summen vi fann i oppgåve d).

f) Utfordring: Kan du lage eit program som finn ut kor mange ledd du må ha for at summen skal vere lik den summen du fekk i oppgåve d) med ei nøyaktigheit på 7 desimalar?

Løysing

Dersom vi skal ha ei nøyaktigheit på 7 desimalar, altså ein sum på 0,6449340, må vi finne ut når summen passerer 0,64493405 (fordi vi då måtte ha runda opp til 0,6449341).

Programmet kan sjå slik ut:

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4
5
6while Sum < 0.64493405:
7    a_n = 1/(1+antal)**2
8    Sum = Sum + a_n
9    antal = antal+1
10
11print(f"Vi treng {antal-1} ledd for å få summen med ei nøyaktigheit på 7 desimalar.")

Tok programmet langt tid å køyre? Ikkje så rart, kanskje, sidan vi treng heile 59 128 516 ledd i rekka for å komme til denne summen.

Kanskje du klarer å finne eit meir effektivt program?

1.1.22

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda i rekka.

Løysing

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{n^{2}} \\ a_{1} & = & \frac{1}{1^{2}} = 1 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \\ a_{3} & = & \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ a_{4} & = & \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} \\ a_{5} & = & \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} \end{array}$

b) Finn $S_{5}$ og $S_{50}$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra og rundar av:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. Linje 1 finn summen av rekka 1 delt på n opphøgd i 2 frå 1 til 5, svaret er 1,4636111111. Linje 2 finn summen av den same rekka frå 1 til 50. Svaret er 1,6251327336.

c) Finn den eksakte summen av rekka når $n \to \infty$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra, ei linje. Linje 3 finn summen av rekka 1 delt på n opphøgd i 2 frå 1 til uendeleg. Svaret er gitt som ein seksdel pi opphøgd i 2.

1.1.23

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{n}$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda i rekka.

Løysing

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{n} \\ a_{1} & = & \frac{1}{1} = 1 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2} \\ a_{3} & = & \frac{1}{3} \\ a_{4} & = & \frac{1}{4} \\ a_{5} & = & \frac{1}{5} \end{array}$

b) Finn $S_{50}$ og $S_{100}$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. Linje 1 finn summen av rekka 1 delt på n frå 1 til 50, svaret er 4,4992053383. Linje 2 finn summen av den same rekka frå 1 til 100, svaret er 5,1873775176.

c) Finn summen av rekka når $n \to \infty$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra, ei linje. Linje 3 finn summen av rekka 1 delt på n frå 1 til uendeleg. Svaret er uendeleg.

d) Samanlikn resultatet i c) med resultatet i 1.1.22 c). Beskriv kva som er forskjellen mellom desse to.

Løysing

I 1.1.22 c) var svaret eit tal, mens i denne oppgåva er svaret uendeleg. Det betyr at summen av rekka som er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n}$ , vil halde fram med å vekse, mens summen av rekka som er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ , vil gå mot ein bestemd sum.

Dette betyr at rekka i 1.1.22 konvergerer, mens rekka i 1.1.23 ikkje gjer det. Dette vil du lære meir om når du kjem til artikkelen "Konvergens og divergens i uendelege geometriske rekker".

CC BY-SASkrive av Tove Annette Holter, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 19.11.2021

Rekker

1.1.20

python

1.1.21

python

python

Python

python

python

1.1.22

1.1.23

Sitere eller gjenbruke?