Aritmetiske og geometriske rekker

Som vi har sett, får vi ei rekke ved å legge saman ledda i ei følge. Dersom vi legg saman ledda i ei aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke.

Eit døme på ei slik rekke er

$2+5+8+11+ ...$

Vi ser at differansen $d$ mellom eit ledd og det førre leddet er 3.

Vi har tidlegare vist at vi kan finne ledd nummer $n, a_n,$ i ei aritmetisk talfølge ved formelen

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

Denne formelen gjeld på same måte for ledd nummer $n$ i ei aritmetisk rekke.

Vi har sett korleis vi kan rekne ut summar av rekker ved hjelp av digitale hjelpemiddel dersom vi kjenner den eksplisitte formelen for $$ a_n$$. For nokre typar av rekker finst det kjende formlar òg for summen av dei $$ n$$ første ledda. Det gjeld mellom anna dei aritmetiske rekkene.

Vi ønsker å finne ein formel for summen av dei $n$ første ledda i ei aritmetisk rekke. Vi finn først ein formel for summen av dei 5 første ledda.

Vi skriv summen av dei 5 første ledda på to måtar: først ledda i stigande rekkefølge, så ledda i minkande rekkefølge.

$\begin{array}{l}{S}_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ \\ S_5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1\end{array}$

Vi summerer venstresidene og høgresidene og får

$S_5+S_5=(a_1+a_5)+(a_2+a_4)+(a_3+a_3)+(a_4+a_2)+(a_5+a_1)$

I parentesane på høgresida vil dei blå ledda til venstre i kvar parentes auke med $d$ for kvar parentes frå venstre mot høgre, mens dei raude ledda til høgre i parentesane vil minke med $d$. Det betyr at summane i kvar av parentesane er like.

$(a_1+a_5)=(a_2+a_4)=(a_3+a_3)=(a_4+a_2)=(a_5+a_1)$

Høgresida blir då lik  $5·\left(a_1+a_5\right)$, og sidan venstresida kan skrivast som  $2·S_5$, får vi at

$2·S_5=5·\left(a_1+a_5\right)$

Ved å dividere med 2 på begge sider av likskapsteiknet får vi

$$ S_5=5·\frac{a_1+a_5}{2}$$

Resonnementet over gjeld òg om vi byter ut talet på ledd i rekka med kva som helst anna naturleg tal enn 5. Den generelle utleiinga skal du gjere i ei oppgåve.

Tilsvarande som for ei aritmetisk rekke får vi ei geometrisk rekke ved å summere ledda i ei geometrisk følge. Vi har tidlegare vist at vi kan finne ledd nummer $$ n$$ i ei geometrisk følge ved hjelp av formelen

$a_n=a_1·k^{n-1}$

Denne formelen gjeld òg for ledd nummer $n$ i ei geometrisk rekke. Eit døme på ei uendeleg geometrisk rekke kan vere

$3+9+27+81+243+729+2187+6561+...$

Vi ser at  $$ a_1=3$$, og vi kan finne $$ k$$ ved å dele kva ledd som helst med det førre. Vi vel å dele $$ a_2$$ på $$ a_1$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{3}=3$$

For geometriske rekker kan vi òg finne ein formel for summen av dei $$ n$$ første ledda. Vi finn først summen av dei 5 første ledda.

Vi har at

$\begin{array}{rcl}{S}_5& = & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ & & \\ & =& a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4\end{array}$

Vi multipliserer begge sidene i likninga med $k$:

$\begin{array}{rcl}k·S_5& = & k·(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & & \\ & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\end{array}$

Vi finn så differansen mellom $k·S_5 \mathrm{og} S_5$:

$$ \begin{array}{rcl}k·S_5-S_5 & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\\ & & -(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & =& \cancel{ a_1·k}+\cancel{a_1·k^2}+\cancel{a_1·k^3}+\cancel{a_1·k^4}+a_1·k^5\\ & & -a_1-\cancel{a_1·k}-\cancel{a_1·k^2}-\cancel{a_1·k^3}-\cancel{a_1·k^4}\end{array}$$

Her opptrer dei fleste ledda i par der vi har ledd med same verdi, men motsett forteikn. Det gjer at dei fell bort. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}k·S_5-S_5& = & a_1·k^5-a_1\\ & & \\ S_5(k-1)& =& a_1(k^5-1)\\ & & \\ S_5& =& a_1·\frac{k^5-1}{k-1}\end{array}$$

Vi kan ikkje ha ein brøk med null i nemnaren. Derfor gjeld formelen berre når  $k\ne 1$. Dersom  $k=1$, blir alle ledda i rekka like. Summen av rekka blir då  $S_5=5·a_1$.

Resonnementet over gjeld på same måte om vi byter ut talet på ledd i rekka med kva som helst anna naturleg tal enn 5. Vi får derfor formelen under.

Denne generelle formelen skal du utleie i ei oppgåve.

Vi skal sjå på eit døme der vi får vite at vi har ei aritmetisk rekke der  $$ a_1=5$$  og  $$ d =7$$. Først skal vi rekne ut $$ S_8$$ ved hjelp av formelen vi viste over. Etterpå skal vi finne ut om 495 er eit ledd i rekka, og om det finst ein $$ n$$ slik at  $$ S_n=495$$.

For å finne $$ S_8$$ treng vi å finne $$ a_8$$. Den enklaste måten å gjere det på er å først finne $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 5+7\left(n-1\right)\\ & =& 5+7n-7\\ & =& 7n-2\\ a_8 & =& 7·8-2\\ & =& 56-2=54\end{array}$$

Så set vi inn i formelen for $$ S_8$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_8 & =& 8·\frac{a_1+a_8}{2}\\ & =& \frac{8·(5+54)}{2}\\ & =& 4·59\\ & =& 236\end{array}$$

For å kunne finne ut om eit tal er eit ledd i ei rekke (eller ei følge), kan vi setje den eksplisitte formelen for $$ a_n$$ lik talet, her 495, og vi løyser likninga. Dersom vi får ein heiltalig $$ n$$, betyr det at 495 er eit ledd i rekka.

På same måte må vi finne ein heiltalig $$ n$$ som løysing på likninga  $$ S_n=495$$  for at vi kan ha ein slik sum.

Tenk gjennom kvifor vi må ha heile $$ n$$ før du les vidare!

Vi set $$ a_n$$ lik 495 og løyser likninga:

$$ \begin{array}{rcl}7n-2 & =& 495\\ 7n & =& 497\\ n & =& \frac{497}{7}\\ n & =& 71\end{array}$$

Vi ser at vi får ein heiltalig $$ n$$ og dermed har vi at 495 er eit ledd i rekka. Vi ser òg at det er ledd nummer 71.

Vi sjekkar om det finst ein $$ n$$ slik at vi har  $$ S_n=495$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& \frac{n·\left(a_1+a_n\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(5+7n-2\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(7n+3\right)}{2}\\ 495 & =& \frac{7n^2+3n}{2}\\ 990 & =& 7n^2+3n\\ & & \\ & & \end{array}$$

Vi løyser likninga i GeoGebra:

Vi ser at vi ikkje får heile tal som løysingar, og dermed kan vi slå fast at vi ikkje har ein slik $$ n$$. Det vil seie det same som at summen av rekka vår aldri kan bli 495.