Fagartikkel

Aritmetiske og geometriske følger

Nokre typar følger er så vanlege at dei har fått eigne namn. To av desse er aritmetiske og geometriske følger. Her skal vi sjå på eigenskapane til desse to.

Aritmetiske følger

Sjå på følgene nedanfor:

$\begin{array}{rcl} 2, 4, 6, 8, . . . \\ 15, 11, 7, 3, . . . \\ - 7, - 4, - 1, 2, . . . \end{array}$

Kan du sjå kva som er felles for mønsteret i alle desse følgene?

Forklaring

I kvar av følgene er avstanden eller differansen mellom to naboledd heilt lik. I den øvste følga er differansen $d = 2$ , i den andre følga er $d = - 4$ , og i den tredje følga er $d = 3$ .

Ei følge med eit slikt mønster kallar vi ei aritmetisk følge. I ei aritmetisk følge kjem vi derfor frå eitt ledd til det neste ved å legge til differansen.

Ein rekursiv formel for det $n$ -te leddet i ei aritmetisk talfølge blir

$a_{n} = a_{n - 1} + d$

Vi kan òg finne ein eksplisitt formel for den $n$ -te leddet i ei aritmetisk følge. Vi systematiserer og finn mønsteret under:

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & a_{1} \\ a_{2} & = & a_{1} + d \\ a_{3} & = & a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d \\ a_{4} & = & a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d \\ ⋮ \\ a_{n} & = & a_{1} + (n - 1) d \end{array}$

I ei aritmetisk talfølge er tal nummer $n$ gitt ved formelen

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Reknedøme

Om ei aritmetisk følge får du oppgitt at $a_{3} = 13$ og $a_{5} = 25$ . Vi skal finne ein rekursiv og ein eksplisitt formel for ledda i følga.

Tenk gjennom: Kva treng du å vite for å lage ein rekursiv formel for eit ledd i ei aritmetisk følge?

Svar

Du treng å vite kva som er differansen mellom dei ulike ledda, sidan ein rekursiv formel for ei aritmetisk følge er gitt ved $a_{n} = a_{n - 1} + d$ .

Vi finn $d$ . Vi kjenner her $a_{3}$ og $a_{5}$ . Vi har at

$\begin{array}{rcl} a_{5} & = & a_{4} + d \\ = & a_{3} + d + d \\ = & a_{3} + 2 d \end{array}$

No kan vi løyse ei likning for å finne $d$ :

$\begin{array}{rcl} 25 & = & 13 + 2 d \\ 12 & = & 2 d \\ d & = & 6 \end{array}$

Ein rekursiv formel for følga vår blir då

$a_{n} = a_{n - 1} + 6$

Kva manglar du no for å finne ein eksplisitt formel for $a_{n}$ ?

Svar

Du treng å vite kva det første leddet i følga er, sidan ein eksplisitt formel for eit ledd i ei aritmetisk følge er gitt ved $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

For å finne $a_{1}$ bruker vi at vi kjenner $a_{3}$ og $d$ :

$\begin{array}{rcl} a_{3} & = & a_{2} + d \\ = & a_{1} + d + d \\ = & a_{1} + 2 d \\ 13 & = & a_{1} + 2 \cdot 6 \\ a_{1} & = & 1 \end{array}$

No kan vi finne den eksplisitte formelen:

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & a_{1} + d (n - 1) \\ = & 1 + 6 (n - 1) \\ = & 1 + 6 n - 6 \\ = & 6 n - 5 \end{array}$

Geometriske følger

Sjå på følgene nedanfor:

$\begin{array}{rcl} 1, 2, 4, 8, . . . \\ 3, 9, 27, 81, . . . \\ 4, 2, 1, \frac{1}{2}, . . . \end{array}$

Kan du, på same måte som med dei aritmetiske følga, finne likskapen mellom dei tre følgene?

Forklaring

I kvar av desse følgene kan du finne det neste leddet ved å multiplisere med eit fast tal. I den øvste multipliserer vi med 2, i den midtarste med 3 og i den nedste med $\frac{1}{2}$ .

Ei følge der ein finn det neste talet ved å multiplisere med eit fast tal $k$ , kallar vi ei geometrisk følge. I ei geometrisk talfølge kan vi alltid finne det neste leddet i talfølga ved å multiplisere med kvotienten, $k$ .

Den rekursive formelen for ei geometrisk talfølge blir

$a_{n} = a_{n - 1} \cdot k$

Som for dei aritmetiske følgene kan vi finne ein eksplisitt formel for $a_{n}$ . Vi systematiserer og finn mønsteret under:

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & a_{1} \\ a_{2} & = & a_{1} \cdot k \\ a_{3} & = & a_{2} \cdot k = (a_{1} \cdot k) \cdot k = a_{1} \cdot k^{2} \\ a_{4} & = & a_{3} \cdot k = (a_{1} \cdot k^{2}) \cdot k = a_{1} \cdot k^{3} \\ ⋮ \\ a_{n} & = & a_{1} \cdot k^{n - 1} \end{array}$

I ei geometrisk følge er ledd nummer $n$ gitt ved formelen

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$

Reknedøme

Om ei geometrisk følge får du vite at $a_{5} = 1$ og $a_{7} = \frac{1}{4}$ . Vi skal finne ein eksplisitt formel for ledd nummer $n$ i følga.

Vi treng $k$ og $a_{1}$ for å finne denne formelen. Vi startar med å finne $k$ :

$\begin{array}{rcl} a_{7} & = & a_{6} \cdot k \\ = & a_{5} \cdot k^{2} \\ \frac{1}{4} & = & 1 \cdot k^{2} \\ k & = & \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ k & = & \pm \frac{1}{2} \end{array}$

Her ser vi at vi kan ha to ulike verdiar for $k$ ut frå opplysningane. Vi bruker den negative moglegheita for å finne $a_{1}$ :

$\begin{array}{rcl} a_{5} & = & a_{1} \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \\ a_{5} & = & a_{1} \cdot k^{4} \\ 1 & = & a_{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{4} \\ a_{1} & = & \frac{1}{\frac{1}{2^{4}}} \\ a_{1} & = & 2^{4} = 16 \end{array}$

Vi ser at $a_{1} = 16$ uansett kva for ein av verdiane vi vel for $k$ (tenk gjennom kvifor!). Vi får derfor ein av dei følgande formlane for $a_{n}$ :

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \\ a_{n} & = & 16 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \end{array}$

Film om aritmetiske og geometriske talfølger

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0