Aritmetiske og geometriske følger

Sjå på følgene nedanfor:

$$ \begin{array}{rcl}& & 2, 4, 6, 8, ...\\ & & \\ & & 15, 11, 7, 3, ...\\ & & \\ & & -7, -4, -1, 2, ...\end{array}$$

Kan du sjå kva som er felles for mønsteret i alle desse følgene?

Ei følge med eit slikt mønster kallar vi ei aritmetisk følge. I ei aritmetisk følge kjem vi derfor frå eitt ledd til det neste ved å legge til differansen.

Vi kan òg finne ein eksplisitt formel for den $$ n$$-te leddet i ei aritmetisk følge. Vi systematiserer og finn mønsteret under:

$\begin{array}{rcl}{a}_1& = & a_1\\ & & \\ a_2& =& a_1+d\\ & & \\ a_3& =& a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d\\ & & \\ a_4& =& a_3+d=(a_1+2d)+d=a_1+3d\\ & ⋮& \\ a_n& =& a_1+(n-1)d\end{array}$

Reknedøme

Om ei aritmetisk følge får du oppgitt at  $$ a_3=13$$  og  $$ a_5=25$$. Vi skal finne ein rekursiv og ein eksplisitt formel for ledda i følga.

Tenk gjennom: Kva treng du å vite for å lage ein rekursiv formel for eit ledd i ei aritmetisk følge?

Vi finn $$ d$$. Vi kjenner her $$ a_3$$ og $$ a_5$$. Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_4+d\\ & =& a_3+d+d\\ & =& a_3+2d\end{array}$$

No kan vi løyse ei likning for å finne $$ d$$:

$$ \begin{array}{rcl}25 & =& 13+2d\\ 12 & =& 2d\\ d & =& 6\end{array}$$

Ein rekursiv formel for følga vår blir då

$$ a_n=a_{n-1}+6$$

Kva manglar du no for å finne ein eksplisitt formel for $$ a_n$$?

For å finne $$ a_1$$ bruker vi at vi kjenner $$ a_3$$ og $$ d$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_3 & =& a_2+d\\ & =& a_1+d+d\\ & =& a_1+2d\\ & & \\ 13 & =& a_1+2·6\\ a_1 & =& 1\\ & & \end{array}$$

No kan vi finne den eksplisitte formelen:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 1+6\left(n-1\right)\\ & =& 1+6n-6\\ & =& 6n-5\end{array}$$

Sjå på følgene nedanfor:

$$ \begin{array}{rcl}& & 1, 2, 4, 8, ...\\ & & \\ & & 3, 9, 27, 81, ...\\ & & \\ & & 4, 2, 1, \frac{1}{2}, ...\end{array}$$

Kan du, på same måte som med dei aritmetiske følga, finne likskapen mellom dei tre følgene?

Ei følge der ein finn det neste talet ved å multiplisere med eit fast tal $$ k$$, kallar vi ei geometrisk følge. I ei geometrisk talfølge kan vi alltid finne det neste leddet i talfølga ved å multiplisere med kvotienten, $k$.

Som for dei aritmetiske følgene kan vi finne ein eksplisitt formel for $$ a_n$$. Vi systematiserer og finn mønsteret under:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_1& = & a_1\\ & & \\ a_2& =& a_1·k\\ & & \\ a_3& =& a_2·k=(a_1·k)·k=a_1·k^2\\ & & \\ a_4& =& a_3·k=(a_1·k^2)·k=a_1·k^3\\ & ⋮& \\ a_n& =& a_1·k^{n-1}\end{array}$$

Reknedøme

Om ei geometrisk følge får du vite at  $$ a_5=1$$  og  $$ a_7=\frac{1}{4}$$. Vi skal finne ein eksplisitt formel for ledd nummer $$ n$$ i følga.

Vi treng $$ k$$ og $$ a_1$$ for å finne denne formelen. Vi startar med å finne $$ k$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_7 & =& a_6·k\\ & =& a_5·k^2\\ \frac{1}{4} & =& 1·k^2\\ k & =& \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\\ k & =& \pm \frac{1}{2}\\ & & \end{array}$$

Her ser vi at vi kan ha to ulike verdiar for $$ k$$ ut frå opplysningane. Vi bruker den negative moglegheita for å finne $$ a_1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_5 & =& a_1·k·k·k·k\\ a_5 & =& a_1·k^4\\ 1 & =& a_1·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^4\\ a_1 & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2^4}}}\\ a_1 & =& 2^4 = 16\\ & & \end{array}$$

Vi ser at  $$ a_1=16$$  uansett kva for ein av verdiane vi vel for $$ k$$ (tenk gjennom kvifor!). Vi får derfor ein av dei følgande formlane for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 16·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\\ a_n & =& 16·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\end{array}$$