Følger
Kva er ei følge?
Tal plasserte etter kvarandre i ei bestemd rekkefølge, kallar vi ei talfølge, eller berre ei følge. Det første møtet ditt med talfølger var kanskje då du lærte å telje.
Tala 1, 2, 3 og 4 er eit døme på ei følge.
Tala i ei følge kallar vi ledd, og ledda følger som oftast eit bestemt mønster.
Endelege følger
Dersom talet på ledd i følga er bestemt og vi har ei følge med ei endeleg mengde ledd, får vi det vi kallar for ei endeleg følge. To døme på slike endelege følger er
I det øvste dømet har vi skrive opp alle dei seks tala som finst i følga. I det nedste dømet betyr dei tre prikkane mellom 8 og 100 at vi skal fylle inn alle tala som følger det same mønsteret som ligg mellom desse to tala. I begge tilfella kjenner vi både det første og det siste leddet i følga.
Uendelege følger
Vi kan òg ha følger som held fram vidare utan stopp. Då har vi uendeleg mange ledd, og får det vi kallar uendelege følger. Eit døme er
Dei tre prikkane etter det siste leddet viser at følga held fram etter det same mønsteret. Kan du finne og beskrive med ord mønsteret i kvar av dei tre følgene ovanfor?
Forklaring
Talfølge | Mønster |
---|---|
Følga består av alle primtal mindre enn eller lik 13. | |
Følga består av alle positive partal mindre enn eller lik 100. | |
Følga består av alle kvadrattal. |
Formlar for ledda i følga
Det er vanleg å gi dei enkelte ledda i ei følge namn. Det første leddet kallar vi
For talfølga
Vi skal no lage ein formel for det
Rekursiv formel
Vi ser at kvart ledd i talfølga er lik leddet framfor pluss talet 2. Til dømes er
Denne typen formel kallar vi rekursiv. Når vi kjenner eitt ledd i følga, gir formelen det neste leddet. Det betyr at når vi kjenner det første leddet i talfølga, kan vi finne resten av ledda ved hjelp av den rekursive formelen. Vi kan òg ha meir kompliserte rekursive formlar som bygger på at ein må kjenne fleire enn eitt av dei førre ledda. Eit kjent døme på dette er følga under. Prøv om du sjølv kan finne samanhengen før du klikkar på boksen med forklaringa.
Forklaring
Her kan vi finne det neste leddet i følga ved å legge saman dei to tidlegare. Det betyr at vi kan finne den rekursive formelen for ledd nummer
Desse tala blir kalla Fibonacci-tala og er utgangspunktet for mange artige samanhengar i matematikken.
Eksplisitt formel
Vi ser igjen på følga
Vi kan setje opp ein tabell og sjå om vi kan finne ein samanheng mellom verdien på eit ledd og nummeret dette leddet har i følga:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
Du ser kanskje at kvart ledd i følga er lik talet 2 multiplisert med leddnummeret. Til dømes er
Denne typen formel blir kalla eksplisitt. Ved å bruke ein eksplisitt formel kan vi finne verdien til eit ledd i ei talfølge direkte når vi kjenner nummeret på leddnummeret.
Døme
Følga
Kan du finne ein eksplisitt formel for
Løysing
Kvart ledd er eit kvadrattal. Vi har at
og så vidare. Då har vi at
Følger i Python
Å rekne ut mange ledd i ei følge er arbeidsamt å gjere for hand. I Python kan vi bruke ei lykkje for å skrive ut alle ledda i ei endeleg følge, anten vi har ein eksplisitt eller ein rekursiv formel.
Nedanfor kan du sjå to program. Det første skriv ut dei 100 første ledda i følga av kvadrattal ved hjelp av ein eksplisitt formel for
python
1def a(n):
2 return n**2 #definerer eksplisitt formel for a_n
3b=100 #bestemmer talet på ledd i følga
4A = [] #oppretter ei tom liste for følga
5
6for i in range(1,b+1): #lagar ei lykkje som går frå og med 1 til og med b
7 A.append(a(i)) #legg ledda til i følga
8
9print(A) #skriv ut følga
python
1a_n = 2 #oppretter ein variabel for ledda i følga
2b=100 #bestemmer talet på ledd i følga
3A = [] #oppretter ei tom liste for følga
4
5for i in range(1,b+1): #lagar ei lykkje som går frå og med 1 til og med b
6 A.append(a_n) #legg ledda til i følga
7 a_n = a_n + 2
8
9print(A) #skriv ut følga