Hopp til innhald
Oppgåve

Modellering og analyse av trigonometriske funksjonar

Mange periodiske fenomen i naturen kan modellerast med sinusfunksjonar. Når vi skal analysere funksjonane, er det lurt å bruke det vi veit om korleis slike funksjonar ser ut og oppfører seg.

FM-9

Finn største og minste verdi til desse funksjonane utan hjelpemiddel.

a) fx=12sinx

Løysing

Funksjonen vil ha den største verdien sin når sinx=1. Det betyr at den største verdien er 12·1=12.

Funksjonen vil ha den minste verdien sin når sinx=-1. Det betyr at den minste verdien er 12·-1=-12.

b) gx=3cos2x

Løysing

Funksjonen vil ha den største verdien sin når cos2x=1. Det betyr at den største verdien er 3·1=3.

Funksjonen vil ha den minste verdien sin når cos2x=-1. Det betyr at den største verdien er 3·-1=-3.

c) hx=2tan3x

Løysing

Vi veit at verdimengda til ein tangensfunksjon er alle reelle verdiar. Funksjonen vil derfor ikkje ha ein største eller minste verdi.

d) ix=3sin2x+2

Løysing

Funksjonen vil ha den største verdien sin når sin2x=1. Det betyr at den største verdien er 3·1+2=5.

Funksjonen vil ha den minste verdien sin når sin2x=-1. Det betyr at den minste verdien er 3·-1+2=-1.

e) jx=3sin3x-3cos3x

Løysing

Her kan vi bruke det vi veit om å slå saman to slike trigonometriske uttrykk til eit generelt sinusuttrykk. Vi set

3sin3x-3cos3x = asin3x+bcos3x= Asin3x+𝜑

der

A=a2+b2=32+-32=12=23

Sidan vi berre skal finne største og minste verdi til funksjonen, treng vi ikkje bry oss om kva 𝜑 er.

Amplituden til funksjonen er 23, og det er ingen konstantledd i funksjonen. Funksjonen vil derfor ha 23som største verdi og -23 som minste verdi.

FM-10

Vi skal analysere funksjonen

fx=2sinx2+π3+1

a) Finn nullpunkta til funksjonen.

Løysing

Det er ikkje gitt noka definisjonsmengde, så då må vi gå ut frå at Df=.

fx = 02sinx2+π3+1 = 0sinx2+π3 = -12x2+π3 = 7π6+n·2π        x2+π3= 11π6+n·2πx2 = 5π6+n·2π        x2=9π6+n·2πx = 5π3+n·4π         x=3π+n·4πn  

Nullpunkta er x=5π3+n·4π       x=3π+n·4π.

b) Bestem dei stasjonære punkta til f og avgjer kva slags stasjonære punkt det er snakk om.

Løysing

Funksjonen er ein variant av den generelle sinusfunksjonen. Vi bruker derfor at ein sinusfunksjon er periodisk slik at toppunkta kjem med mellomrom på éin periode. Det same gjeld botnpunkta.

Ein generell sinusfunksjon har den største verdien sin når argumentet er π2+n·2π der n. Dette gir oss

x2+π3 = π2+n·2πx2 = π6+n·2πx = π3+n·4π

Vi vil få nye toppunkt med eit mellomrom på 4π mellom kvart toppunkt. Det betyr at perioden p=4π. y-koordinatane blir

d+A=1+2=3

Toppunkta til f er derfor π3+n·4π, 3.

Botnpunkta ligg midt mellom toppunkta, det vil seie når

x=π3+4π2+n·4π=7π3+n·4π

y-koordinatane blir

d-A=1-2=-1

Botnpunkta til f er derfor 7π3+n·4π, -1.

Ein generell sinusfunksjon har ingen terrassepunkt.

c) Analyser krummingsforholda og finn vendepunkta til f.

Løysing

Vendepunkta til ein sinusfunksjon ligg der grafen kryssar likevektslinja. Derfor vil dei ligge med mellomrom på ein halv periode midt mellom eit topp- og eit botnpunkt. Til dømes er x-koordinaten til nokre av vendepunkta ein kvart periode større enn x-koordinaten til toppunkta. Dette gir oss at vi får vendepunkt når

x=π3+4π4+n·4π2=4π3+n·2π

y-koordinaten til vendepunktet er d=1. Koordinatane til vendepunkta blir

4π3+n·2π, 1

Sidan det første ekstremalpunktet etter vendepunktet i x=4π3 er botnpunktet i 7π3, vil grafen vende den hole sida opp i intervallet mellom 4π3 og det "neste" vendepunktet, det vil seie i intervallet 4π3,4π3+2π=4π3,10π3. I intervallet mellom 10π3 og det neste vendepunktet vil grafen vende den hole sida ned. Slik vil det halde fram.

d) Finn gjennomsnittsverdien til f.

Løysing

Gjennomsnittsverdien til f er d, som er 1.

FM-11

I denne oppgåva tek vi for oss den same funksjonen som i den førre oppgåva:

fx=2sinx2+π3+1

No skal du gjere funksjonsanalyse ved å bruke derivasjon, slik du ville gjort det med ein kva som helst annan type funksjon. Kontroller at du får det same svaret som i den førre oppgåva.

a) Finn dei stasjonære punkta til f.

Løysing

Vi må først finne f'x. Vi set u=x2+π3, som gir gu=2sinu+1 og u'=12 og bruker kjerneregelen når vi deriverer.

f'x = g'u·u'= 2cosu·12=  2cosx2+π3·12= cosx2+π3

Vi finn nullpunkta til den deriverte.

f'x = 0cosx2+π3 = 0x2+π3 = π2+n·πx2 = π6+n·πx = π3+n·2π ,   n

No må vi finne ut kva for nokre av desse x-verdiane som gir eit toppunkt, og kva som gir eit botnpunkt. Når n=0, får vi at x=π3. Argumentet til sinusfunksjonen blir då

π32+π3=π6+2π6=3π6=π2

Dette må vere eit toppunkt sidan sinπ2=1 er den største verdien sinus kan ha. Det neste nullpunktet til den deriverte, som vi får når n=1, må vere eit botnpunkt til funksjonen. n=2 må gi eit toppunkt igjen.

Vi får derfor at x-koordinaten til toppunkta er

π3+2n·2π=π3+n·4π

og botnpunkta

π3+2n+1·2π=π3+2π+n·4π=7π3+n·4π

Alternativt kan vi ta dobbeltderiverttesten for å sjekke kva slags type stasjonære punkt vi får.

f''x=-sinx2+π3·12=-12sinx2+π3

Vi set inn nullpunkta til den deriverte.

f''π3+n·2π = -12sinπ3+n·2π2+π3= -12sinπ6+n·π+π3= -12sin3π6+n·π= -12sinπ2+n·π= ±12

Svaret skiftar mellom å vere positivt og negativt. Svaret er negativt når n er 0 eller eit partal, og positivt når n er eit oddetal. Dette gir same resultat som over.

Vi bruker at y-koordinaten til toppunkta får vi når sinus til uttrykket i parentes er 1. Då treng vi ikkje setje inn x-koordinaten til toppunkta for å rekne ut y-verdien. Dette gir

fπ3+n·4π = 2·1+1=3

y-koordinaten til botnpunkta får vi tilsvarande når sinus til uttrykket i parentes er lik -1. Dette gir

f7π3+n·4π=2·-1+1=-1

Oppsummert får vi dette:

Toppunkt: π3+n·4π, 3

Botnpunkt: 7π3+n·4π, -1

n

Stemmer dette med resultatet i den førre oppgåva?

b) Finn vendepunkta til f.

Løysing

Vi finn vendepunkta ved å setje den dobbeltderiverte lik 0.

f''x = 0-12sinx2+π3 = 0x2+π3 = n·πx2 = -π3+n·πx = -2π3+n·2π= -2π3+2π+n·2π= 4π3+n·2πn  

Nedst har vi skrive om uttrykket for å skrive det første leddet som ein vinkel i første omløp, men vi må ikkje gjere det.

Vi prøver å setje denne løysinga inn i f.

f4π3+n·2π = 2sin4π3+n·2π2+π3+1= 2sin2π3+n·π+π3+1= 2sinπ+n·π+1= 2sinn·π+1= 2·0+1= 1

Vendepunkta til f er 4π3+n·2π, 1.

FM-12

Gitt funksjonen

f(x)=2sin2x+2x,x0, 2π

a) Kan vi bruke ein forenkla metode for funksjonsanalysen utan å derivere i dette dømet slik vi kunne med funksjonen i den første oppgåva?

Løysing

Svaret er nei. Her har vi ein kombinasjon av ein sinusfunksjon og ein polynomfunksjon som er avhengig av x. Då må vi derivere.

b) Finn eventuelle stasjonære punkt på grafen til funksjonen.

Løysing

Vi deriver fx. Vi bruker kjerneregelen igjen, her i kortform:

fx = 2sin2x+2xf'x=2cos2x·2+2=4cos2x+2

Vi finn eventuelle ekstremalpunkt ved å setje f'x=0.

4cos2x+2=0cos2x=-122x=2π3+k·2π2x=4π3+k·2π,k heltallx=π3+k·πx=2π3+k·π,x0, 2π

For begge løysingane kan vi berre bruke k-verdiar på 0 og 1 for at løysingane skal vere innanfor definisjonsmengda. Vi får desse moglege ekstremalpunkta:

x=π3    x=π3+π=4π3

      

x=2π3    x=2π3+π=5π3

Så tek vi ein stikkprøve for å avgjere monotonieigenskapane i staden for dobbeltderiverttesten:

f'π6 = 4cos2·π6+2=4·12+2=4

Sidan den deriverte er ein rein cosinusfunksjon, veit vi at han skifter forteikn i nullpunkta. Vi treng derfor ikkje å ta fleire stikkprøvar.

Vi kan no setje opp forteiknslinja for f'x.

Forteiknslinja viser at grafen til f stig i intervalla 0, π3, 2π3, 4π3 og 5π3, 2π og søkk i intervalla π3, 2π3 og 4π3, 5π3.

x-koordinatane til toppunkta blir x=π3 og x=4π3, og botnpunkta har x-koordinatane x=2π3 og x=5π3.

y-verdien til toppunkta blir

fπ3 =2sin2π3+2π3=232+2π3=3+2π3f4π3 =2sin8π3+2·4π3=232+4π3=3+8π3

y-verdien til botnpunkta blir

f2π3=2sin4π3+2·2π3=2-32+4π3=-3+4π3f5π3=2sin10π3+2·5π3=2-32+10π3=-3+10π3

Toppunkt: π3, 3+4π3 og 4π3, 3+8π3

Botnpunkt: 2π3, -3+4π3 og 5π3, -3+10π3

c) Er funksjonen f periodisk?

Løysing

Ekstremalpunkta kjem med periodiske mellomrom, men sidan ekstremalverdiene varierer, vil ikkje funksjonen vere periodisk.

d) Finn eventuelle vendepunkt på grafen til funksjonen.

Løysing

Vi finn infleksjonspunkt ved å setje f''x=0. Først finn vi f''(x).

f'(x)=4cos2x+2f''(x)=4-sin2x·2=-8sin2x

Så set vi den andrederiverte lik null.

f''(x)=0-8sin2x=0sin2x=02x=0+k·πx=k·π2 ,   k

Vi får løysing når k1,2,3. I stigande rekkefølge får vi desse infleksjonspunkta:

x=π2         x=π          x=3π2fπ2=2sin2·π2+2·π2=πfπ=2sin2π+2π=2πf3π2=2sin2·3π2+2·3π2=3π

Vendepunkt:

π2, π, π, 2π og 3π2, 3π

e) Kvar stig funksjonen raskast, og kor raskt stig han då?

Løysing

Funksjonen må stige raskast i eit av vendepunkta. Vi må sjå etter eit vendepunkt som kjem etter eit botnpunkt. Det første botnpunktet er 2π3, -3+4π3. Det næraste vendepunktet etter dette er π, 2π. Det andre botnpunktet har ikkje noko vendepunkt etter seg. Vi reknar ut

f'π=4·cos2π+2=4·1+2=6

Funksjonen stig raskast når x=π, og då er den momentane vekstfarten 6.

f) Finn vendetangenten i det vendepunktet som har minst x-verdi.

Løysing

Vendepunktet med minst x-verdi er punktet π2, π. Stigingstalet til tangenten er

f'π2=4cos2·π2+2=4·-1+2=-2

Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten:

y-y1=a(x-x1)y-π = -2x-π2y=-2x+2π

g) Teikn grafen til f inkludert vendetangenten og kontroller at resultata over stemmer.

h) Kontroller resultata med CAS.

Løysing

Vi bruker funksjonen f som alt er skriven inn i algebrafeltet i GeoGebra.

I linje 1 finn vi ekstremalpunkta.

I linje 2 bruker vi dobbeltderiverttesten for å finne ut om ekstremalpunkta er minimal- eller maksimalpunkt.

I linje 3 reknar vi ut ekstremalverdiane.

I linje 4 finn vi nullpunkta til den dobbeltderiverte. Ut frå verdiane vi fekk rekna ut i linje 2, ser vi at den dobbeltderiverte skiftar forteikn i desse nullpunkta, som då er infleksjonspunkt.

I linje 5 finn vi y-koordinatane til vendepunkta.

I linje 6 reknar vi ut den deriverte i vendepunkta sidan det må vere i eit av desse funksjonen stig raskast.

I linje 7 finn vi tangenten for x=π2.

FM-13

Vi skal finne ekstremalpunkta til funksjonen

fx=2sin2x2-1

ved å skrive om funksjonen til ein enkel trigonometrisk funksjon.

a) Forklar først kvifor cosx=1-2sin2x2 ved å ta utgangspunkt i identiteten

cos2v=cos2v-sin2v

Løysing

Vi kan erstatte 2v med x i formelen. Det betyr at v=x2. Dette gir

cosx= cos2x2-sin2x2

Så bruker vi einingsformelen med vinkelen x2:

cos2x2+sin2x2=1        cos2x2=1-sin2x2

Resultatet blir

cosx = cos2x2-sin2x2= 1-sin2x2-sin2x2= 1-2sin2x2

b) Bruk resultatet i a) til å skrive funksjonen f på ein enklare måte.

Løysing

Ved å snu på resultatet i oppgåve a) får vi at

2sin2x2=1-cosx

Dette gir vidare

fx = 2sin2x2-1= 1-cosx-1= -cosx

c) Finn ekstremalpunkta til funksjonen f.

Løysing

Grafen vil ha toppunkt der cosx har botnpunkt og motsett. Det betyr at

  • botnpunkta til f er n·2π,-1, n

  • toppunkta til f er π+n·2π,1

d) Vi kan finne ekstremalpunkta direkte utan å skrive om på funksjonen. Forklar korleis.

Løysing

Vi veit at sin2x vil ha toppunkt både når sinx=1 og sinx=-1. Botnpunkta vil vere der sinx=0.

Toppunkta kjem derfor når

sinx2 = ±1x2 = π2+n·π ,    nx = π+n·2π

Botnpunkta kjem tilsvarande når

sinx2 = 0x2 = n·πx = n·2π

Dette stemmer med det vi fann i oppgåve d) over.

FM-14

Finn ekstremalpunkta til funksjonane nedanfor på ein så enkel måte som mogleg.

a) fx=2sin2x+1

Løysing

Vi veit at sin2x vil ha toppunkt både når sinx=1 og sinx=-1. Botnpunkta vil vere der sinx=0.

Toppunkta kjem derfor når

sinx = ±1x = π2+n·π

der n.

y-koordinaten til toppunkta blir 2·1+1=3.

Botnpunkta kjem tilsvarande når

sinx = 0x = n·π

y-koordinaten til botnpunkta blir 2·0+1=1.

Vi får

  • toppunkt: π2+n·π,3

  • botnpunkt: n·π,1

der n.

b) fx=3cos23x-4

Løysing

Vi veit at cos23x vil ha toppunkt både når cos3x=1 og cos3x=-1. Botnpunkta vil vere der cos3x=0.

Toppunkta kjem derfor når

cos3x = ±13x = n·πx = n·π3

der n.

y-koordinaten til toppunkta blir 3·1-4=-1.

Botnpunkta kjem tilsvarande når

cos3x = 03x = π2+n·πx = π6+n·π3

y-koordinaten til botnpunkta blir 3·0-4=-4.

Vi får

  • toppunkt: n·π3,-1

  • botnpunkt: π6+n·π3,-4

der n.

c) fx=5sin22x-π3+cos22x-π3-1

Løysing

Her lønner det seg å fjerne ein av dei trigonometriske funksjonane ved hjelp av einingsformelen. Vi vel å fjerne cos22x.

cos22x-π3+sin22x-π3 = 1cos22x-π3 = 1-sin22x-π3

Dette gir

fx = 5sin22x-π3+cos22x-π3-1= 5sin22x-π3+1-sin22x-π3-1= 4sin22x-π3

Vi veit at sin2x vil ha toppunkt både når sinx=1 og sinx=-1. Botnpunkta vil vere der sinx=0.

Toppunkta kjem derfor når

sin2x-π3 = ±12x-π3 = π2+n·π2x = π2+π3+n·π= 5π6+n·πx = 5π12+n·π2

der n.

y-koordinaten til toppunkta blir 4·1=4.

Botnpunkta kjem tilsvarande når

sin2x-π3 = 02x-π3 = n·π2x = π3+n·πx = π6+n·π2

y-koordinaten til botnpunkta blir 4·0=0.

Vi får

  • toppunkt: 5π12+n·π2,4

  • botnpunkt: π6+n·π2,0

der n.

FM-15

Til kvar av oppgåvene skal du lage ein modell for svingingane ved å bruke informasjonen i oppgåva.

a) Ein friksjonsfri pendel svingar frå side til side. Avstanden mellom ytterpunkta av svinginga held seg på 80 cm. Pendelen bruker 4 sekund mellom kvart ytterpunkt.

Løysing

Den generelle sinusfunksjonen skriv vi som

fx=Asinkx+𝜑+d

Sidan det er tida som er den frie variabelen, kan vi byte ut x med t dersom vi vil.

Den første opplysninga betyr at

2A=80        A=40

Når pendelen bruker 4 s frå ytterpunkt til ytterpunkt, betyr det at perioden p=2·4=8. Det betyr at

k=2πp=2π8=π4

Sidan vi ikkje har fleire opplysningar om svinginga, kan vi ikkje rekne oss fram til kva 𝜑 og d er. Vi kan derfor setje 𝜑=d=0. Funksjonen blir

fx=40sinπ4t

b) Besøka på ein nettstad følger eit mønster som gjentek seg veke for veke. Besøkstoppen plar vere torsdagar med cirka 30 000 unike brukarar. Så avtek det jamt til søndag, då det er på det lågaste med cirka 15 000 unike brukarar, før det igjen aukar fram mot neste torsdag.

Løysing

Likevektslinja må ligge midt mellom lågaste og høgaste verdi. Vi får derfor at

d=30 000+15 0002=22 500

A=30 000-d=30 000-22 500=7 500

Dersom vi lar x stå for dagar, betyr det at perioden til funksjonen er ei veke, eller p=7. Då får vi at

k=2πp=2π7

Dersom vi lar x=1 bety ein måndag, betyr det at funksjonen skal ha toppunkt når x=4. Dette gir

sink·4+𝜑 = 1k·4+𝜑 = π2+n·2π2π7·4+𝜑 = 7π14+ n·2π𝜑 = 7π14-16π14+ n·2π= -9π14+n·2π= 19π14+n·2π

der n. Det enklaste er då å velje n=0. Funksjonen f som passar best til å beskrive besøksmønsteret blir

fx=2 500sin2π7x+19π14+22 500

c) Det plar vere 4 år mellom kvar gong det er lemenår. Ei kartlegging viser at når det er lemenår, bruker talet på lemen i eit fjellområde å ligge på 50 000. Midt mellom to lemenår kan talet vere nede i 4 000.

Løysing

Vi kan finne d og A på tilsvarande måte som i den førre oppgåva.

d=50 000+4 0002=27 000

A=50 000-d=50 000-27 000=23 000

Dersom vi lar x stå for talet på år, betyr det at perioden p=4. Det betyr at

k=2πp=2π4=π2

Vi kan seie at det skal vere lemenår når x=0. Det betyr at det skal vere eit toppunkt der. Dette gir

k·0+𝜑=π2        𝜑=π2

Vi treng ikkje ta med "+n·2π" sidan vi er fornøgde med ein enkelt verdi for 𝜑. Funksjonen for talet på lemen blir

fx=23 000sinπ2x+π2+27 000

d) Vi lagar eit tverrsnitt av Sør-Noreg som går omtrent på tvers av dalane Østerdalen, Gudbrandsdalen, Valdres og Hallingdal. Desse fire dalane er tilnærma parallelle. Bruk til dømes karttenesta Norgeskart og finn ein sinusfunksjon som passar nokolunde med høgdeprofilen på dette tverrsnittet. Prøv å vurdere kor godt sinusfunksjonen du kjem fram til, passar.

Tips til oppgåva

Du kan bruke verktøyet "Tegne og måle", som ligg under hovudmenyen på Norgeskart, til å måle avstandar. Du kan finne høgder over havet ved å klikke direkte i kartet (gå ut av "Tegne og måle" først) og sjå øvst til venstre.

Løysing

Vi vel å lage eit tverrsnitt frå Gol i Hallingdal til Koppang i Østerdalen. Dette måler vi til cirka 148 km. Denne avstanden skal svare til 3 periodar i sinusfunksjonen sidan Østerdalen er den tredje dalen etter Hallingdal (vi reknar ikkje med nokre mindre dalføre som òg blir passerte, slik som Gausdal og Imsdalen).

Dalbotnane i dei 4 dalane ligg mellom cirka 200 og 300 meter over havet. Då seier vi at den lågaste verdien til sinusfunksjonen skal vere 250. Tilsvarande måler vi at dei høgaste toppane langs linja ligg rundt 1 250 meter over havet.

Vi får derfor at

d=1 250+2502=750

A=1 250-d=1 250-750=500

Vi lar x stå for avstand frå Gol målt i km. Sidan det skal vere 3 periodar mellom Gol og Koppang, betyr det at

3p=147        p=49

Dette gir vidare at

k=2πp=2π49=0,128

Til slutt må vi bestemme 𝜑. Vi skal ha eit botnpunkt i Gol, det vil seie for x=0. Dette gir

0,128·0+𝜑=3π2        𝜑=3π2

Funksjonen blir derfor

fx=500sin0,128x+3π2+750

Ein sinusfunksjon passar eigenleg ikkje så veldig godt. Til dømes er det nesten dobbelt så langt mellom Valdres og Gudbrandsdalen som mellom Valdres og Hallingdal.

FM-16

Tabellen nedanfor viser den månadlege gjennomsnittstemperaturen i Trondheim frå desember 2021 til desember 2022.

Temperatur i Trondheim
MånadGjennomsnittstemperatur, °C
Desember 2021-2,9
Januar 2022-0,7
Februar 2022-1,3
Mars 20222,3
April 20222,6
Mai 20228,1
Juni 202212,8
Juli 202212,5
August 202213,1
September 20229,4
Oktober 20226,0
November 20222,7
Desember 2022-5,3

Dataa er henta frå Meteorologisk institutt.

a) Forklar kvifor ein sinusfunksjon kan passe godt som modell for desse tala.

Løysing

Sidan temperaturen går opp og ned mellom sommar og vinter, kan vi gå ut frå at ein periodisk funksjon som ein sinusfunksjon passar godt.

b) Finn ein modell for temperaturen ved å finne den sinusfunksjonen fx som passar best mogleg med tala. Teikn modellen saman med tala i eit koordinatsystem.

Tips til oppgåva

La x=1 bety januar 2022.

Løysing

Vi utvidar tabellen med ein kolonne for x.

Temperatur i Trondheim
MånadxGjennomsnittstemperatur, °C
Desember 20210-2,9
Januar 20221-0,7
Februar 20222-1,3
Mars 202232,3
April 202242,6
Mai 202258,1
Juni 2022612,8
Juli 2022712,5
August 2022813,1
September 202299,4
Oktober 2022106,0
November 2022112,7
Desember 202212-5,3

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel regresjonsanalyseverktøyet. Vi vel vidare regresjonsmodellen "sin".

Resultatet blir

fx=8,113sin0,52x-2,129+5,061

Funksjonen passar sånn nokolunde. Det kan sjå ut som at desember 2021 var veldig kald i Trondheim.

c) Kva er perioden til funksjonen? Kommenter resultatet.

Løysing

Perioden er

p=2πk=2π0,521=12,1

Perioden er 12,1 månader, altså omtrent eit år, som vi kunne forvente. Grunnen til at vi ikkje får nøyaktig 12 månader, kan komme av at temperaturane varierer ganske mykje innanfor ein månad. Dersom vi hadde hatt tal for ein tiårsperiode, ville nok perioden på den funksjonen vi hadde komme fram til, vore endå nærare 12.

d) Kva blir høgaste og lågaste gjennomsnittstemperatur i Trondheim etter modellen?

Løysing

Amplituden A til sinusfunksjonen er 8,1 og sinusfunksjonen svingar rundt d=5,1.

Høgaste temperatur blir

d+A=5,1°+8,1°=13,2°

Lågaste temperatur blir

d-A=5,1°-8,1°=-3,0°

e) Kva er gjennomsnittstemperaturen i Trondheim igjennom eit år etter modellen? Korleis stemmer det med målingane?

Løysing

Sidan sinusfunksjonen svingar rundt likevektslinja, blir gjennomsnittstemperaturen igjennom året 5,1° etter modellen.

For å finne den årlege gjennomsnittstemperaturen direkte frå målingane lagar vi ei liste av målingane frå og med januar 2022 til og med desember 2022. Så bruker vi kommandoen gsnitt for å få gjennomsnittet av tala i lista.

Målingane gir årleg gjennomsnittstemperatur i Trondheim lik 5,2°, altså svært liten forskjell i forhold til kva modellen gir.

f) Når var temperaturen høgast, og når var han lågast etter modellen? Stemmer resultatet med målingane?

Løysing

Vi bruker verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" og får eit botnpunkt med koordinatane 1.1,-3.1 og eit toppunkt med koordinatane 7.1,13.2, sjå figuren.

x=1,1 betyr januar, mens x=7,1 betyr juli. Temperaturen er etter modellen lågast i januar og høgast i juli.

Vi ser at målingane tyder på at det er kaldast i desember og varmast i august, så det stemmer ikkje heilt med modellen. Det vil variere frå år til år kva månad som er kaldast, og kva som er varmast.

FM-17

Tabellen viser temperaturar målt igjennom eit sommardøgn ved Lindesnes fyr. Temperaturen, T, er målt i gradar celsius, og x er talet på timar etter midnatt.

x

0

1

4

7

9

10

12

13

15

17

20

22

24

T (°C)

19

17

15

17

19

21

25

26

27

26

24

22

18

a) Bruk GeoGebra og finn den modellen i form av ein sinusfunksjon som passar best med tala.

Løysing

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala, vel regresjonsanalyseverktøyet og regresjonsmodellen "Sin".

Modellen passar godt med målingane. Sinusfunksjonen som passar best med tala, er

Tx=21,3+6,0sin0.265x-2,67

b) Gjer det same, men bruk Python (ta utgangspunkt i programmet på teorisida "Modellering og analyse av trigonometriske funksjonar"). Lag plot av målingane og sinusfunksjonen i same koordinatsystem. Får du same resultat som med regresjon med GeoGebra?

Løysing
python
1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5        # lagar funksjonen som beskriv modellen
6def modell(x,A,k,fi,d):
7  return A*np.sin(k*x + fi) + d
8        # legg inn måledataa i lister
9x_verdiar = [0,1,4,7,9,10,12,13,15,17,20,22,24]
10y_verdiar = [19,17,15,17,19,21,25,26,27,26,24,22,18]
11        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
12konstantar,kovarians = curve_fit(modell,x_verdiar,y_verdiar)
13        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
14A, k, fi, d = konstantar
15
16        # lagar utskrift av funksjonen
17print(f"Funksjonen blir T(x) = {A:.2f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
18        # plottar data og modell som ein kontroll
19        # plottar data
20plt.plot(x_verdiar,y_verdiar,'.', label="Målingar") 
21        # plottar modell
22x_array = np.linspace(min(x_verdiar),max(x_verdiar),300)
23y_array = modell(x_array,A, k, fi, d)
24plt.plot(x_array,y_array,"brown", label="Modell")
25plt.grid(True)
26plt.xlabel("Tid (timar)")
27plt.ylabel("Temperatur (°C)")
28plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
29        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
30plt.xticks(np.arange(min(x_verdiar), max(x_verdiar)+1, 3.0))
31plt.show()

Programmet gir funksjonen Tx=21,40+1,61sin0,815x+3,57. Dette er ikkje den same funksjonen som vi fekk med regresjon i GeoGebra. Biletet nedanfor viser den grafiske framstillinga som programmet lagar.

Modellen passar ikkje med målingane. Regresjonen feilar, rett og slett. Heldigvis finst eit triks eller hjelpemiddel vi kan bruke. Det ser vi på i neste oppgåve.

c) Årsaka til at modellen funnen med scipy.optimize passar svært dårleg med måledataa, kan vere at startverdien 1 som regresjonsverktøyet bruker som utgangspunkt for dei fire konstantane, ligg eit stykke frå dei riktige verdiane. Prøv i tilfelle å legge til følgande kodeord til kommandoen "curve_fit":

p0 = [A0,k0,fi0,d0]

der dei fire konstantane i lista har nokolunde riktige verdiar. Til dømes kan vi prøve med verdiane vi fann for modellen på teorisida. Dette gir regresjonsmotoren eit betre utgangspunkt for jobben han skal gjere.

Finn gode verdiar for dei fire konstantane, legg inn kodelinja over med desse verdiane, og køyr programmet på nytt. Blir resultatet betre no?

Løysing

Temperaturen varierer mellom cirka 15 og 25 gradar. Det betyr at amplituden A5. Perioden p er omtrent 24 timar. Då veit vi at k2π24624=0,25. Vi prøver om det går bra å behalde startverdien 𝜑=1. Likevektslinja må ligge i nærleiken av 20, så vi får d20.

Vi legg inn følgande kode i parameterslista til "curve_fit":

p0 = [5,0.25,1,20]

Då blir resultatet

Tx=21,3-6,0sin0,265x+0,47

Plottet programmet gir oss, viser at funksjonen passar godt.

Er dette den same funksjonen som vi fekk med GeoGebra? Med GeoGebra fekk vi

Tx=21,3+6,0sin0.265x-2,67

Vis at dei to funksjonane er like ved å bruke at

A·sinax+𝜑=-A·sinax+𝜑-π

d) Kva var høgaste og lågaste temperatur ifølge modellen?

Løysing

Høgaste temperatur var

d+A=21,3°+6,0°=27,3°

Lågaste temperatur var

d-A=21,3°-6,0°=15,3°

e) Kor langt er tidsrommet mellom høgaste temperatur denne dagen og høgaste temperatur dagen etter?

Løysing

Oppgåva spør etter perioden p. Tidsrommet i timar mellom høgaste temperatur denne dagen og dagen etter er

p=2πk=2π0,265=23,7

f) Vil modellen vere gyldig utom det aktuelle døgnet?

Løysing

Vi veit ikkje noko om vêret dagen før eller dagen etter. Dersom vêret blir annleis med til dømes regn, vil modellen mest sannsynleg ikkje passe særleg godt lenger.

Ein annan ting er at perioden ikkje vart nøyaktig 24 timar. Det betyr at tidspunkta for den høgaste temperaturen kjem tidlegare og tidlegare for kvar dag som går. Slik kan det ikkje halde fram særleg lenge.

g) Kva var gjennomsnittstemperaturen dette døgnet?

Løysing

Gjennomsnittstemperaturen blir det same som verdien for d, altså 21,3°, sidan tidsrommet er éin periode.

h) Kva var gjennomsnittstemperaturen mellom klokka 06.00 og klokka 18.00?

Løysing

Her må vi rekne ut eit integral. Vi vel å bruke CAS i GeoGebra.

Gjennomsnittstemperaturen i dette tidsrommet var 23,1°.

FM-18

På teorisida ser vi på svingingar i vasstanden på grunn av tidvatn. Vi fekk dette resultatet:

I denne oppgåva skal du laste ned måledataa frå Kartverket, som er vist på figuren over, og lage ein modell for svingingane i vasstanden. Dataa kan lastast ned nedanfor. Hugs å forandre filnamnet etter nedlastinga.

Filer

Frivillig: Last ned dataa frå sida til Kartverket

Du kan også prøve å finne dataa sjølv på Kartverkets side for tidvatn ved Mandal. Vel datoar frå 3. november 2022 til 4. november 2022, vel "Tabell" og "Hvert 10. minutt". Du må laste ned som ei tekstfil, importere tekstfila i Excel, passe på at tala kjem i kvar sin kolonne og eksportere reknearket som ei semikolonseparert csv-fil.

a) Opne datafila med til dømes eit rekneark. Finn i kva kolonnar tidspunkta og måledataa står.

Løysing

De øvste 15 linjene er informasjon om målingane. Tidspunkta står i første kolonne inkludert dato. I andre kolonne er måledataa vi er på jakt etter. Tredje kolonne inneheld det som var forventa nivå (desse tala skal vi ikkje bruke).

b) Du kan lese fila inn i Python og sjå på resultatet av innlesinga med koden nedanfor.

python
1import pandas as pd
2
3data = pd.read_csv("tidvatn.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
4    sep =";", encoding = "latin-1")
5data.columns = ["Tid","Vasstand","Ikkje i bruk"]
6print(data)

Forklar kva som skjer i denne programkoden. Sjå òg verktøysida "Behandling av store datamengder i Python".

Løysing

Først blir biblioteket "pandas" importert. Det blir brukt til innlesinga av datafila.

I linje 3 blir datafila lesen inn og lagra i dataramma data. Vi såg i oppgåve a) at det ikkje var overskrifter i csv-fila. Derfor skriv vi header = None. Vi ønsker ikkje å importere dei 15 første radene, så vi spesifiserer det med kodeordet skiprows og funksjonen range. Med kodeordet sep skriv vi at csv-fila er semikolonseparert. Kommandoen encoding = latin-1 gjer at vi kan ha til dømes skandinaviske bokstavar i datafila.

I linje 5 blir det laga nye kolonneoverskrifter til dataramma data.

I linje 6 blir dataramma skriven ut til skjermen.

Resultatet blir omtrent som nedanfor, der dei tre første målingane blir viste:

TidVasstandIkkje i bruk
02022-11-03T00:00:00+01:00105.567.3
12022-11-03T00:10:00+01:00105.767.3
22022-11-03T00:20:00+01:00105.567.2
...

c) Ta utgangspunkt i programmet i førre oppgåve, gjer nødvendige endringar, og finn ein sinusfunksjon som passar godt med måledataa. Plott både måledataa og modellen i same koordinatsystem.

Tips 1

Det er vanskeleg å bruke måledataa for tid direkte slik dei er presenterte i datafila. Vi kan lage x-verdiane vi treng, ved å generere ein array med funksjonen "arange" eller "linspace". Sjå utskrifta av dataa for å finne ut kva x-verdiane er.

Tips 2

Det kan hende modellen passar svært dårleg med måledataa, at regresjonen rett og slett feilar. Årsaka til det kan vere at startverdiane regresjonsverktøyet bruker som utgangspunkt for dei fire konstantane, ligg eit stykke frå dei riktige verdiane. Dette er tilfelle i førre oppgåve om temperaturen på Lindesnes. Løys i tilfelle problemet på same måte ved å gi startverdiar for konstantane i funksjonen ved hjelp av kodeordet p0.

Løysing

Regresjonen feilar her òg utan å spesifisere startverdiar for regresjonskonstantane med kodeordet p0. Det held å setje nye startverdiar for A og for k. Nedanfor finn du fullstendig kode.

python
1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,A,k,fi,d):
8    return A*np.sin(k*x + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("tidvatn.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
11    sep =";", encoding = "latin-1")
12        # lagar overskrifter til kolonnane
13data.columns = ["Tid","Vasstand","Ikkje i bruk"]
14        # lagar liste med måleverdiane, som står i kolonnen med overskrift "Vasstand"
15vasstand = list(data.Vasstand)
16        # lagar array med x-verdiane (tidspunkta for målingane)
17tid = np.arange(0,48+1/6,1/6)
18
19        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
20konstantar,kovarians = curve_fit(modell, tid, vasstand, p0 = [15,2*np.pi/12,1,1])
21        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
22A, k, fi, d = konstantar
23
24        # lagar utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
25print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.2f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
26        # lagar y-verdiar for modellen til plottinga av han
27modellverdiar = modell(tid,A,k,fi,d)    
28plt.plot(tid,vasstand,'.', label = "Målingar")       # plottar måledataa
29plt.plot(tid,modellverdiar, "brown", label = "Modell")       # plottar modellen
30plt.grid(True)
31plt.xlabel("Tid (timar)")
32plt.ylabel("Vasstand (cm)")
33plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
34        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
35plt.xticks(np.arange(min(tid), max(tid)+1, 3.0))
36plt.show()

Programmet gir oss funksjonen

fx=11,33sin0,546x+0,89+76,5

og plottet nedanfor.

d) Vurder resultatet i førre deloppgåve.

Løysing

Det finst ikkje ein sinusfunksjon som passar godt til målingane av tidvatnet sidan vasstanden berre delvis følger ei sinuskurve. Vi reknar ut perioden til modellen.

p=2πk=2π0,546=11,5

På teorisida har vi at tidsrommet mellom to høgvatn, altså perioden, er 12,4 h. Vi får derfor litt for liten periode. Elles kan vi seie at amplituden og faseforskyvinga passar nokolunde med tala for den 4. november, det vil seie det andre døgnet. Likevektslinja er det vanskeleg å seie noko om, men det ser ut som ho ligg på ein slags gjennomsnittsverdi.

Ein amplitude på 11,3 cm gir ein forskjell mellom høgvatn og lågvatn på 22,6 cm. Det er lite, sidan vi har frå teorisida at forskjellen for Mandal skal vere 35 cm.

e) Sidan vi veit at modellen bør ha periode på 12,4 h, kan vi forandre modellen slik at programmet ikkje bestemmer kva k skal vere, men lagar ein sinusfunksjon som har periode 12,4. Endre programmet slik at det berre er A, 𝜑 og d som skal bestemmast. Køyr programmet og vurder om den nye modellen blir betre enn den førre.

Løysing

Vi reknar ut k først.

k=2πp=2π12,4=0,507

Koden kan sjå slik ut:

python
1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,A,fi,d):
8    return A*np.sin(0.507*x + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("tidvatn.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
11    sep =";", encoding = "latin-1")
12        # lagar overskrifter til kolonnane
13data.columns = ["Tid","Vasstand","Ikkje i bruk"]
14        # lagar liste med måleverdiane, som står i kolonnen med overskrift "Vasstand"
15vasstand = list(data.Vasstand)
16        # lagar array med x-verdiane (tidspunkta for målingane)
17tid = np.arange(0,48+1/6,1/6)
18
19        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
20konstantar,kovarians = curve_fit(modell, tid, vasstand, p0 = [15,1,1])
21        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
22A, fi, d = konstantar
23
24        # lagar utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
25print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.2f}sin(0.507x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
26        # lagar y-verdiar for modellen til plottinga av han
27modellverdiar = modell(tid,A,fi,d)    
28plt.plot(tid,vasstand,'.', label = "Målingar")       # plottar måledataa
29plt.plot(tid,modellverdiar, "brown", label = "Modell 2")       # plottar modellen
30plt.grid(True)
31plt.xlabel("Tid (timar)")
32plt.ylabel("Vasstand (cm)")
33plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
34        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
35plt.xticks(np.arange(min(tid), max(tid)+1, 3.0))
36plt.show()

Vi får funksjonen

fx=9,82sin0,507x+1,88+77,3

Grafen til funksjonen har vi kalla "Modell 2" på figuren nedanfor.

Det vart ikkje veldig stor endring. Det kan sjå ut som ein periode på 12,4 timar er litt større enn tida mellom to høgvatn, iallfall for den andre dagen. Perioden til den første modellen passar litt betre enn denne. Den nye modellen fekk elles litt mindre amplitude enn den førre, noko som passar endå dårlegare med opplysningane om nivåforskjellen på tidvatn for Mandal.

FM-19

Eit lodd heng i ei spiralfjør. Vi dreg loddet litt ned, slepper det og observerer at det svingar opp og ned.

Vi observerer òg at svingeutslaget blir mindre og mindre etter kvart. Vi seier at svinginga er dempa. Ein generell sinusfunksjon passar ikkje så godt til å modellere korleis utslaget til loddet varierer med tida sidan ein slik funksjon svingar like mykje heile tida. Men vi kan multiplisere sinusfunksjonen med faktoren e-bt der b er ein positiv konstant. Denne faktoren blir mindre og mindre jo større t blir.

Nedanfor kan du dra i glidaren og observere korleis grafen til ft=e-btsint forandrar seg når verdien for b blir forandra.

a) Konstanten b seier noko om kor stor dempinga er.

Kva skjer dersom du set b=0?

b = 0

Då får vi e0·t=e0=1, og funksjonen blir ein rein sinusfunksjon utan demping.

b) Med ein posisjonsloggar kan vi logge utslaget til loddet. Vi har gjort det, og viss du ikkje kan gjere forsøket sjølv, kan du laste ned loggfila nedanfor.

Filer

Bestem dempingskonstanten b for denne svinginga.

Tips

Vi må gjere ein regresjon med dataa for å bestemme konstanten b. Funksjonen for svingerørsla blir

ft=A·e-bt·sinkt+𝜑+d

Det er derfor 5 konstantar som må finnast:

A, b, k, 𝜑 og d

Vi vel å bruke Python og metoden curve_fit. For å rekne ut ex kan vi bruke numpyfunksjonen exp(x).

Løysing

Forslag til programkode:

python
1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(t,A,b,k,fi,d):
8    return A*np.exp(b*t)*np.sin(k*t + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("sving.csv", skiprows = (0,1), sep =";", encoding = "latin-1")
11
12        # lagar liste med måleverdiane, som står i kolonnen med overskrift "Utslag"
13utslag = list(data.Utslag)
14        # lagar liste med t-verdiane, som står i kolonnen med overskrift "Tid"
15tid = np.array(list(data.Tid))
16
17        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
18konstantar,kovarians = curve_fit(modell, tid, utslag)
19        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
20A, b, k, fi, d = konstantar
21        # lagar y-verdiar for modellen til plottinga av han
22modellverdiar = modell(tid,A,b,k,fi,d) 
23
24        # lagar plott av modell og målingar
25plt.plot(tid,utslag,'.', label = "Målingar")       # plottar måledataa
26plt.plot(tid,modellverdiar, "brown", label = "Modell")       # plottar modellen
27plt.grid(True)
28plt.xlabel("Tid (s)")
29plt.ylabel("Utslag (cm)")
30        # skriv ut funksjonen med matematisk teiknsetting
31plt.suptitle(f"Modell: $f(x)={A:.2f}e^{{{b:.3f}t}}\sin({{{k:.3f}t{fi:+.2f}}}){d:+.2f}$") 
32plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
33
34plt.show()

Koden gir utskrifta nedanfor.

Vi får at dempingskonstanten b=-0,044.

Kommentarar til koden:

  • I dette tilfellet var det ikkje behov for å setje nye startverdiar for regresjonskonstantane med kodeordet p0.

  • For å få finare utskrift av funksjonsuttrykket har vi lagt det inn som ein undertittel i plottet. Der kan vi få matematisk formatering med LaTeX ved å setje funksjonsuttrykket mellom dollarteikn ($). Sidan sløyfeparentesar blir brukte både av LaTeX for å gruppere ting og av Python til å markere at noko i ein tekststreng er ein variabel, må vi bruke doble sløyfeparentesar der LaTeX vil ha sløyfeparentes. Vi bruker som før enkel sløyfeparentes rundt variablar. Nokre stader blir det derfor tre sløyfeparentesar etter kvarandre.

  • Koden \sin er Latex-kommandoen som gir "sin" som ikkje står i kursiv.

c) Kor lang tid tek det før utslaget til svinginga er halvert i forhold til det opphavlege utslaget?

Løysing

Vi prøvde å løyse likninga f'x=0 med CAS, men det gjekk ikkje bra.

Vi studerer funksjonen. Det er faktoren e-0.044t i funksjonen som gir dempinga av utslaget. Vi kan bruke at utslaget blir halvert når denne faktoren er 0,5. Dette gir oss likninga

e-0.044t=0,5

Vi får at svingingane er halverte etter cirka 16 sekund.

d) Kor mange heile svingingar har loddet gjort då?

Løysing

Vi kan sjå på sinusdelen av funksjonen for å svare på dette. Talet på heile svingingar blir kor mange heile periodar sinusdelen har i løpet av dei 16 sekunda.

Vi fekk at k=1. Det betyr at

p=2πk=2π1=2π

I løpet av 16 s blir talet på periodar 2,55, så det går berre 2–3 heile svingingar før utslaget er halvert.