Vi kan teikne forteiknslinje for f'x, men vi treng ikkje å gjere det. Den deriverte går frå å vere positiv når x<-2 til å vere negativ når -2<x<0, og positiv når x>2. Då har vi eit toppunkt når x=-2, og eit botnpunkt når x=0.
f-2=-23+3·-22=-8+12=4f0=03+3·02=0
Vi får
eit toppunkt i -2,4
eit botnpunkt i 0,0
c) Finn krummingsforholda til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkt og likninga for eventuelle vendetangentar.
Løysing
Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.
f'x=3x2+6xf''x=3·2x+6=6x+6
Vi må sjekke om f''x skiftar forteikn nokon stad. Dette kan vi gjere ved å setje opp ein ulikskap.
f''x>06x+6>06x+1>0x>-1
Vi kan teikne forteiknsskjema, men det er ikkje nødvendig. Den andrederiverte skiftar forteikn for x=-1, så vi har eit vendepunkt der. Vi reknar ut
f-1=-13+3·-12=-1+3=2
Dette betyr at
grafen vender den hole sida ned når x<-1
grafen vender den hole sida opp når x>-1
vi har eit vendepunkt i -1,f-1=-1,2
For å finne vendetangenten må vi rekne ut
f'-1=3-12+6·-1=3-6=-3
Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten.
y-f-1=f'-1x--1y-2=-3x+1y=-3x-3+2=-3x-1
Vendetangenten er y=-3x-1.
d) Vi går no ut frå at funksjonen viser kor mange liter vatn som renn i ein bekk per sekund. Kor mykje vatn rann det til saman på dei tre sekunda i intervallet [-2,1]?
Løysing
Dette betyr at vi skal finne samla mengde for funksjonen i dette intervallet. Det er det same som integralet av funksjonen i intervallet. Samla mengde i intervallet [-2,1] blir
Totalt rann det 214L=5,25L vatn i bekken i intervallet [-2,1].
e) Kva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet [-2,1]?
Løysing
Gjennomsnittsverdien f til funksjonen blir
f=11--2∫-21fxdx=13·214=74
(Vi brukte resultatet frå den førre oppgåva i utrekninga.)
FM-2 (berre for R2)
Vi bruker den same funksjonen som i den førre oppgåva: fx=x3+3x2. Vi lar eininga på x- og y-aksen vere dm.
a) Kor lang er grafen i dette intervallet?
Løysing
Lengda s av grafen i intervallet er gitt ved
s=∫ab1+∆y∆x2dx=∫-211+f'x2dx=∫-211+3x2+6x2dx
Vi løyser dette integralet med CAS i GeoGebra.
Bogelengda er 8,81 dm.
b) Teikn omdreiingslekamen til funksjonen f i intervallet [-2,1] med GeoGebra når grafen roterer rundt x-aksen.
Løysing
Først avgrensar vi funksjonen med kommandoen g(x)=f(x),-2≤x≤1 i algebrafeltet. Deretter skriv vi Overflate(g,2π,xAkse).
c) Omdreiingslekamen i den førre oppgåva skal brukast til å lage eit fat med toppen mot venstre. Fatet skal lagast i glas. Kor mykje glas går med til foten dersom han skal vere av massivt glas?
Løysing
Foten utgjer den delen av funksjonen f som ligg i intervallet 0,1. Mengda glas blir derfor lik volumet av omdreiingslekamen i dette intervallet.
Volumet av glasmengda som trengst, er 9,25 dm3 eller 9,25 L.
Denne oppgåva er mykje enklare med CAS ...
d) Omtrent kor mykje vil fatet romme?
Løysing
Dersom veggene i fatet er tynne, blir dette omtrent lik volumet av omdreiingslekamen i intervallet -2,0. Vi løyser dette med CAS.
Fatet vil romme omtrent 37 L.
e) Fatet skal dekkast utvendig med gull. Kor stort areal skal dekkast av gull?
Løysing
Dette blir det same som overflata av omdreiingslekamen i heile intervallet, det vil seie i -2,1.
Eit areal på 108,67 dm2 skal dekkast med gull.
f) Kvifor får vi problem med å lage dette fatet nøyaktig etter oppskrifta i praksis?
Løysing
Frå oppgåve a) og b) har vi at funksjonen f har eit nullpunkt i origo. Det betyr at fotdelen og skåldelen av fatet ikkje heng i hop. I praksis må fatet ha ein viss tjukkleik overalt. Funksjonen kan derfor eigentleg ikkje ha eit nullpunkt mellom integrasjonsgrensene i det intervallet vi ser på.
FM-3
Funksjonen f er gitt ved
fx=3x4-4x3
Svar på så mange spørsmål som mogleg utan hjelpemiddel.
a) Finn nullpunkta til funksjonen.
Løysing
Nullpunkt:
fx=03x4-4x3=0x33x-4=0x3=0∨3x-4=0x=0∨x=43
b) Finn eventuelle stasjonære punkt til funksjonen og avgjer kva slags type stasjonære punkt det er.
Løysing
Vi finn dei stasjonære punkta der den deriverte er 0.
f'x=3·4x3-4·3x2=12x3-12x2
Stasjonære punkt:
f'x=012x3-12x2=012x2·x-1=012x2=0∨x-1=0x=0∨x=1
Sidan f'x er eit polynom, er det berre i nullpunkta han kan skifte forteikn. Her vel vi å teste med verdiar mellom nullpunkta:
Den deriverte er negativ på begge sider av nullpunktet x=0. Det betyr at det må vere eit terrassepunkt der. Den deriverte går frå å vere negativ når 0<x<1, til å vere positiv når x>1. Då har vi eit botnpunkt når x=1, og vi har ingen fleire stasjonære punkt.
f0=0f1=3·14-4·23=3-4=-1
Vi får
eit terrassepunkt i 0,0
eit botnpunkt i 1,-1
c) Finn krummingsforholda til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkt og likninga for eventuelle vendetangentar.
Løysing
Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.
f'x=12x3-12x2f''x=12·3x2-12·2x=36x2-24x
Vi finn nullpunkta til f''x.
f''x=036x2-24x=012x3x-2=012x=0∨3x-2=0x=0∨x=23
Vi testar med x-verdiar på alle sider av nullpunkta.
Vi kan teikne forteiknsskjema dersom vi vil, men det er ikkje nødvendig. Den andrederiverte skiftar forteikn for begge nullpunkta, så vi har to vendepunkt, eitt for x=0 og eitt for x=23. Vi reknar ut
f23=3·234-4·233=3·1681-4·827=1627-3227=-1627
Dette betyr at
grafen vender den hole sida opp når x<0, og når x>23
grafen vender den hole sida ned når 0<x<23
vi har vendepunkt i 0,0 og i 23,-1627
Sidan vendepunktet i origo er eit terrassepunkt, vil likninga for tangenten der vere y=0.
For å finne vendetangenten i det andre vendepunktet må vi rekne ut
f'23=12·233-12·232=12·827-12·49=329-489=-169
Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten, som blir
d) Kva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet 0,43?
Løysing
Vi har at
f=143-0∫043fxdx
Vi reknar dette med CAS sidan vi skal integrere f, som vil bety at vi må rekne ut brøkar som skal opphøgast i femte potens.
Gjennomsnittsverdien f=-64135.
e) Berre for R2: Kva er bogelengda til grafen til funksjonen i intervallet 0,43?
Løysing
Lengda s av grafen i intervallet er gitt ved
s=∫ab1+∆y∆x2dx=∫0431+f'x2dx
Vi løyser dette integralet med CAS i GeoGebra.
f) Berre for R2: Finn volumet og overflatearealet av den omdreiingslekamen du får når grafen til f i intervallet 0,43 blir dreidd rundt x-aksen.
Løysing
Vi har frå a) og b) at funksjonen f har nullpunkt i x=0 og x=43, og at funksjonen har eit botnpunkt for x=1. Det betyr at grafen ligg under x-aksen i intervallet vi skal integrere over, med unntak av endepunkta der funksjonen har nullpunkt. Då må vi bruke |fx| i formelen for overflata av omdreiingslekamen for å få positivt svar.
Volumet til omdreiingslekamen er 1,49, mens overflata er 7,77.