Hopp til innhald
Oppgåve

Analyse av funksjonar med derivasjon og integrasjon

Her får du nokre oppgåver der du får øvd på generell funksjonsanalyse. Du finn fleire slike oppgåver ved å gå til kapittelet om funksjonsanalyse i R1.

Prøv å løyse så mange oppgåver som mogleg utan hjelpemiddel. Kontroller svara med CAS etterpå.

FM-1

Funksjonen f er gitt ved

fx=x3+3x2

I denne oppgåva skal vi gjere mest mogleg utan hjelpemiddel.

a) Finn nullpunkta til funksjonen.

Løysing

Nullpunkt:

fx = 0x3+3x2 = 0x2x+3 = 0x2 = 0        x+3=0x = 0        x=-3

b) Finn eventuelle stasjonære punkt til funksjonen og avgjer kva slags type stasjonære punkt det er.

Løysing

Vi finn dei stasjonære punkta der den deriverte er 0.

f'x=3x2+3·2x=3x2+6x

Stasjonære punkt:

f'x = 03x2+6x = 03xx+2 = 03x = 0        x+2=0x = 0        x=-2

Den deriverte er ein andregradsfunksjon med positivt tal framfor x2. Då veit vi at

  • f'x er positiv når x<-2

  • f'x er negativ når -2<x<0

  • f'x er positiv når x>0

Då har vi eit toppunkt når x=-2 og eit botnpunkt når x=0.

f-2 = -23+3·-22=-8+12=4f0 = 03+3·02=0

Vi får

  • eit toppunkt i -2,4

  • eit botnpunkt i 0,0

Alternativ løysing

Sidan f'x er eit polynom, er det berre i nullpunkta han kan skifte forteikn. Vi testar med verdiar mellom nullpunkta:

f'-3 = 3·-32+6·-3=27-18=9f'-1 = 3·-12+6·-1=3-6=-3f'1 = 3·12+6·1=3+6=9

Vi kan teikne forteiknslinje for f'x, men vi treng ikkje å gjere det. Den deriverte går frå å vere positiv når x<-2 til å vere negativ når -2<x<0, og positiv når x>2. Då har vi eit toppunkt når x=-2, og eit botnpunkt når x=0.

f-2 = -23+3·-22=-8+12=4f0 = 03+3·02=0

Vi får

  • eit toppunkt i -2,4

  • eit botnpunkt i 0,0

c) Finn krummingsforholda til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkt og likninga for eventuelle vendetangentar.

Løysing

Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.

f'x = 3x2+6xf''x = 3·2x+6= 6x+6

Vi må sjekke om f''x skiftar forteikn nokon stad. Dette kan vi gjere ved å setje opp ein ulikskap.

f''x > 06x+6 > 06x+1 > 0x > -1

Vi kan teikne forteiknsskjema, men det er ikkje nødvendig. Den andrederiverte skiftar forteikn for x=-1, så vi har eit vendepunkt der. Vi reknar ut

f-1=-13+3·-12=-1+3=2

Dette betyr at

  • grafen vender den hole sida ned når x<-1

  • grafen vender den hole sida opp når x>-1

  • vi har eit vendepunkt i -1,f-1=-1,2

For å finne vendetangenten må vi rekne ut

f'-1=3-12+6·-1=3-6=-3

Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten.

y-f-1 = f'-1x--1y-2 = -3x+1y = -3x-3+2= -3x-1

Vendetangenten er y=-3x-1.

d) Vi går no ut frå at funksjonen viser kor mange liter vatn som renn i ein bekk per sekund. Kor mykje vatn rann det til saman på dei tre sekunda i intervallet [-2,1]?

Løysing

Dette betyr at vi skal finne samla mengde for funksjonen i dette intervallet. Det er det same som integralet av funksjonen i intervallet. Samla mengde i intervallet [-2,1] blir

-21fxdx = -21x3+3x2dx= 14x4+x3-21= 14·14+13-14·-24+-23= 14+1-4+8= 214

Totalt rann det 214 L=5,25 L vatn i bekken i intervallet [-2,1].

e) Kva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet [-2,1]?

Løysing

Gjennomsnittsverdien f til funksjonen blir

f = 11--2-21fxdx= 13·214= 74

(Vi brukte resultatet frå den førre oppgåva i utrekninga.)

FM-2 (berre for R2)

Vi bruker den same funksjonen som i den førre oppgåva: fx=x3+3x2. Vi lar eininga på x- og y-aksen vere dm.

a) Kor lang er grafen i dette intervallet?

Løysing

Lengda s av grafen i intervallet er gitt ved

s = ab1+yx2dx= -211+f'x2dx= -211+3x2+6x2dx

Vi løyser dette integralet med CAS i GeoGebra.

Bogelengda er 8,81 dm.

b) Teikn omdreiingslekamen til funksjonen f i intervallet [-2,1] med GeoGebra når grafen roterer rundt x-aksen.

Løysing

Først avgrensar vi funksjonen med kommandoen g(x)=f(x),-2≤x≤1 i algebrafeltet. Deretter skriv vi Overflate(g,2π,xAkse).

c) Omdreiingslekamen i den førre oppgåva skal brukast til å lage eit fat med toppen mot venstre. Fatet skal lagast i glas. Kor mykje glas går med til foten dersom han skal vere av massivt glas?

Løysing

Foten utgjer den delen av funksjonen f som ligg i intervallet 0,1. Mengda glas blir derfor lik volumet av omdreiingslekamen i dette intervallet.

V = 01π·fx2dx= π01x3+3x22dx= π01x6+2·x3·3x2+3x22dx= π01x6+6x5+9x4dx= π 17x7+x6+95x501= π17·1+1+95-0= π·5+35+6335= 10335π 9,25

Volumet av glasmengda som trengst, er 9,25 dm3 eller 9,25 L.

Denne oppgåva er mykje enklare med CAS ...

d) Omtrent kor mykje vil fatet romme?

Løysing

Dersom veggene i fatet er tynne, blir dette omtrent lik volumet av omdreiingslekamen i intervallet -2,0. Vi løyser dette med CAS.

Fatet vil romme omtrent 37 L.

e) Fatet skal dekkast utvendig med gull. Kor stort areal skal dekkast av gull?

Løysing

Dette blir det same som overflata av omdreiingslekamen i heile intervallet, det vil seie i -2,1.

Eit areal på 108,67 dm2 skal dekkast med gull.

f) Kvifor får vi problem med å lage dette fatet nøyaktig etter oppskrifta i praksis?

Løysing

Frå oppgåve a) og b) har vi at funksjonen f har eit nullpunkt i origo. Det betyr at fotdelen og skåldelen av fatet ikkje heng i hop. I praksis må fatet ha ein viss tjukkleik overalt. Funksjonen kan derfor eigentleg ikkje ha eit nullpunkt mellom integrasjonsgrensene i det intervallet vi ser på.

FM-3

Funksjonen f er gitt ved

fx=3x4-4x3

Svar på så mange spørsmål som mogleg utan hjelpemiddel.

a) Finn nullpunkta til funksjonen.

Løysing

Nullpunkt:

fx = 03x4-4x3 = 0x33x-4 = 0x3 = 0        3x-4=0x = 0        x=43

b) Finn eventuelle stasjonære punkt til funksjonen og avgjer kva slags type stasjonære punkt det er.

Løysing

Vi finn dei stasjonære punkta der den deriverte er 0.

f'x=3·4x3-4·3x2=12x3-12x2

Stasjonære punkt:

f'x = 012x3-12x2 = 012x2·x-1 = 012x2 = 0        x-1=0x = 0        x=1

Sidan f'x er eit polynom, er det berre i nullpunkta han kan skifte forteikn. Her vel vi å teste med verdiar mellom nullpunkta:

f'-1 = 12·-13-12·-12=-12-12<0f'12 = 12·123-12·122=128-124<0f'2 = 12·23-12·22=12·8-12·4>0

Den deriverte er negativ på begge sider av nullpunktet x=0. Det betyr at det må vere eit terrassepunkt der. Den deriverte går frå å vere negativ når 0<x<1, til å vere positiv når x>1. Då har vi eit botnpunkt når x=1, og vi har ingen fleire stasjonære punkt.

f0 = 0f1 = 3·14-4·23=3-4=-1

Vi får

  • eit terrassepunkt i 0,0

  • eit botnpunkt i 1,-1

c) Finn krummingsforholda til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkt og likninga for eventuelle vendetangentar.

Løysing

Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.

f'x = 12x3-12x2f''x = 12·3x2-12·2x= 36x2-24x

Vi finn nullpunkta til f''x.

f''x = 036x2-24x = 012x3x-2 = 012x = 0        3x-2=0x = 0        x=23

Vi testar med x-verdiar på alle sider av nullpunkta.

f''-1 = 36·-12-24·-1=36+24>0f''12 = 36·122-24·12=364-242=9-12<0f''1 = 36·12-24·1=36-24>0 

Vi kan teikne forteiknsskjema dersom vi vil, men det er ikkje nødvendig. Den andrederiverte skiftar forteikn for begge nullpunkta, så vi har to vendepunkt, eitt for x=0 og eitt for x=23. Vi reknar ut

f23 = 3·234-4·233= 3·1681-4·827= 1627-3227= -1627

Dette betyr at

  • grafen vender den hole sida opp når x<0, og når x>23

  • grafen vender den hole sida ned når 0<x<23

  • vi har vendepunkt i 0,0 og i 23,-1627

Sidan vendepunktet i origo er eit terrassepunkt, vil likninga for tangenten der vere y=0.

For å finne vendetangenten i det andre vendepunktet må vi rekne ut

f'23 = 12·233-12·232= 12·827-12·49= 329-489= -169

Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten, som blir

y-f23 = f'23x-23y+1627 = -169x-23y = -169x+3227-1627= -169x+1627

d) Kva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet 0,43?

Løysing

Vi har at

f=143-0043fxdx

Vi reknar dette med CAS sidan vi skal integrere f, som vil bety at vi må rekne ut brøkar som skal opphøgast i femte potens.

Gjennomsnittsverdien f=-64135.

e) Berre for R2: Kva er bogelengda til grafen til funksjonen i intervallet 0,43?

Løysing

Lengda s av grafen i intervallet er gitt ved

s = ab1+yx2dx= 0431+f'x2dx

Vi løyser dette integralet med CAS i GeoGebra.

f) Berre for R2: Finn volumet og overflatearealet av den omdreiingslekamen du får når grafen til f i intervallet 0,43 blir dreidd rundt x-aksen.

Løysing

Vi har frå a) og b) at funksjonen f har nullpunkt i x=0 og x=43, og at funksjonen har eit botnpunkt for x=1. Det betyr at grafen ligg under x-aksen i intervallet vi skal integrere over, med unntak av endepunkta der funksjonen har nullpunkt. Då må vi bruke |fx| i formelen for overflata av omdreiingslekamen for å få positivt svar.

Volumet til omdreiingslekamen er 1,49, mens overflata er 7,77.