Modellering og analyse av trigonometriske funksjonar
Døme på naturfenomen som har eller kan ha harmoniske svingingar, og som derfor kan modellerast med trigonometriske funksjonar:
tidvatn – vasstand i sjøen som varierer på grunn av gravitasjonspåverknaden frå månen og sola og gir det vi kallar flo og fjære (høgvatn og lågvatn)
bølger på vatn
kor høgt sola står på himmelen
temperaturen gjennom eit døgn
gjennomsnittleg døgntemperatur gjennom eit år
kor stor del av månen som lyser
Modellering betyr å komme fram til ein matematisk modell som beskriv naturfenomenet. Når det gjeld modellering av harmoniske svingingar, kan vi nokre gonger gjere det med regresjon dersom vi har måledata som viser korleis utslaget varierer med tid eller stad. Andre gonger har vi ikkje måledata, men andre opplysningar om svingingane som gjer at vi kan komme fram til den matematiske modellen utan regresjon.
Kort repetisjon av den generelle sinusfunksjonen
Vi har frå sida "Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving" at ein generell sinusfunksjon kan skrivast på forma
der vi har desse storleikane (sjå i tillegg figuren nedanfor):
Perioden
er den kortaste avstanden mellom to punkt i same svingetilstand, til dømes to skjeringspunkt med likevektslinja der grafen er stigande, slik som markert på figuren. Vi kan òg til dømes lese av avstanden mellom to nabobølgetoppar.p = 2 π k Likevektslinja
er den linja som grafen til funksjonen svingar rundt.y = d Amplituden
er maksimalt utslag frå likevektslinja.A Faseforskyvinga
erx f = - φ k -koordinaten til det skjeringspunktet mellom stigande graf og likevektslinja som ligg nærastx -aksen.y
Dersom vi kan bestemme dei fire storleikane periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyving til eit periodisk fenomen, kan vi alltid finne ein sinusfunksjon som passar.
Finn funksjonsuttrykket
Døme: tidvatn
Tidsrommet mellom to høgvatn eller to lågvatn i Noreg er omtrent 12 timar og 25 minutt, eller 12,4 timar (Store norske leksikon, 2022). I dømet her betyr derfor
Opplysninga om avstanden mellom to høgvatn eller to lågvatn gir oss ein av dei fire storleikane periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyving. Kva for ein av desse storleikane får vi gitt?
Bestem konstanten
Forklar kvifor vi kan setje
På den same nettsida om tidvatn står det at tidvassforskjellen i Mandal er 35 cm i november. Kva for ein av konstantane kan vi bestemme ut frå denne opplysninga? Bestem denne konstanten.
Kva betydning har faseforskyvinga
Bestem konstanten
Funksjonen, eller den matematiske modellen, for vasstanden blir derfor
Dersom vi hadde hatt målingar for kvar time av vasstanden i Mandal på den aktuelle dagen i november, kunne desse sett slik ut (fiktive tal):
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
17,8 | 15,2 | 8,9 | 1,1 | -7,9 | -14,7 | -16,9 | -16,4 | -10,2 | -2,8 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
6,8 | 13,1 | 17,1 | 16,3 | 11,7 | 4 | -5,1 | -13,2 | -17 | -17,1 |
For å komme fram til ein matematisk modell for variasjonen i vasstand kan vi gjere ein sinusregresjon med desse tala.
Sinusregresjon med GeoGebra
Vi legg tala inn i reknearkdelen i GeoGebra på vanleg måte, markerer tala og vel regresjonsanalyseverktøyet. Nedanfor kan du laste ned eit GeoGebra-ark der tala er lagde inn.
Filer
- Målingar av tidvatn(GGB)
Regresjonsmodellen "Sin" gir regresjon med sinusfunksjon.
Resultatet av regresjonen blir
Kvifor fekk vi
Sinusregresjon med Python
Regresjon med Python kan gjerast på fleire måtar. Her har vi valt å bruke metoden curve_fit
frå scipy.optimize
sjølv om han gir oss meir data enn vi skal bruke her.
Metoden er basert på at vi skriv i koden kva slags type funksjon som skal brukast i den matematiske modellen. Dette gjer vi ved å definere modellen som ein pythonfunksjon i koden. I dette tilfellet ønsker vi å tilpasse målingane til ein sinusfunksjon. Starten på programmet kan sjå slik ut:
Parameterane til pythonfunksjonen modell
er først den frie variabelen x
, deretter dei vanlege konstantane som blir brukte i den generelle sinusfunksjonen. Funksjonen modell
blir brukt av metoden curve_fit
saman med ei liste med curve_fit
gir tilbake to lister. Den eine inneheld dei fire konstantane A
, k
, fi
og d
(i dette tilfellet) som gjer at den matematiske funksjonen vi definerte i pythonfunksjonen modell
, passar mest mogleg med måledataa. Den andre lista inneheld dei såkalla kovariansane, som vi ikkje skal bruke her.
Koden vidare kan sjå slik ut:
Køyr koden og sjå om du får det same resultatet som regresjonsverktøyet i GeoGebra.
Vi går no ut frå at vi berre har hatt måledataa av vasstanden og har brukt regresjon til å komme fram til funksjonen
for vasstanden der vi har sett
Når blir det høgvatn, og når blir det lågvatn?
Kor lang tid er det mellom høgvatn og lågvatn?
Kor stor er nivåforskjellen på høgvatn og lågvatn?
Når stig vasstanden raskast, og kor raskt stig han då?
Kva er gjennomsnittsvasstanden?
Kva må vi finne ut om funksjonen
Tenk over: Må vi bruke derivasjon for å gjennomføre analysen?
Vi startar med å finne forskjellen mellom høgaste høgvatn og lågaste lågvatn (det fjerde spørsmålet). Det er avstanden mellom største og minste verdi for sinusfunksjonen, som er det dobbelte av amplituden
Toppunkta finn vi ved å finne ut når argumentet til sinusfunksjonen er
Vi får at vi har toppunkt når
Resultatet gir oss òg at perioden
Korleis kan du kontrollere på ein annan måte at
Vi kan bruke resultatet til å lage ein liten tabell med tidspunkta for når det er høgvatn det næraste døgnet.
I linje 5 har vi gjort om desimalane av timane til minutt.
Vi får at det er høgvatn klokka 00.00 og klokka 12.19. Neste høgvatn er klokka 00.40 neste natt.
Lågvatn kjem midt imellom to høgvatn. Sidan vi har høgvatn klokka 00.00, kjem det første lågvatnet ein halv periode etter dette. Deretter blir det lågvatn for kvar 12,32 h. Vi kan derfor lage oss ein tilsvarande funksjon
Vi får at det er lågvatn klokka 06.10 og klokka 18.29.
Vendepunkta til ein sinusfunksjon er der funksjonen er brattast og der grafen kryssar likevektslinja. Vendepunkta ligg derfor midt mellom to naboekstremalpunkt og kjem med mellomrom på ein halv periode. Desse punkta vil vere der vasstanden stig eller søkk raskast.
Vi kan lage oss ein funksjon
Vi bruker igjen CAS til å finne tidspunkta når vasstanden stig mest.
Svaret på det fjerde spørsmålet blir derfor at vasstanden stig mest klokka 09.14 og klokka 21.34 det næraste døgnet.
Svaret på det siste spørsmålet om kva gjennomsnittsvasstanden er, er konstanten
Normalt ville vi måtte brukt formelen
Kvifor har vi ikkje brydd oss om nullpunkta til
Nedanfor kan du sjå verkelege målingar av vasstanden ved Mandal frå 3. og 4. november 2022 saman med modellen vår der
Vi ser at dei ekte målingane berre til ein viss grad passar med modellen vår. Høgvatnet som vi berekna til klokka 12.19, vart nesten ikkje noko av. Her kan det ha vore eit vêromslag som har påverka resultata. Perioden mellom to høgvatn stemmer elles ganske bra, ser det ut til.
Det mest naturlege ville ha vore å bruke tala frå Kartverket i regresjonen. Det skal du få gjere i ei av oppgåvene.
Sælen, O. H. & Weber, J. E. (2022, 9. juni). Tidevann. I Store norske leksikon. https://snl.no/tidevann