Effektfaktor og verknadsgrad i ein elmotor

Vi kan lese følgande øvst på skiltet: "1 ~Mot.". Det betyr at saga har ein einfasemotor.

Vi har at effektfaktoren $$ \cos 𝜑=0,93$$. Dette er ei likning som vi kan løyse med ein kalkulator eller med CAS i GeoGebra.

Med kalkulatoren i OneNote skriv vi acos(0,93)=.

Fasevinkelen er 21,6°.

Her må vi rekne ut dei ulike effekttypane ut ifrå opplysningane om straum, spenning og effektfaktor. Vi kan starte med å rekne ut den tilsynelatande effekten $$ S$$.

$$ S=U·I=230 \mathrm{V}·14 \mathrm{A}=3 220 \mathrm{VA}=3,22 \mathrm{kVA}$$

Dette talet er litt for stort. Då prøver vi å rekne ut den tilførte effekten $$ P_t$$, som vi her kan rekne ut ved å multiplisere den tilsynelatande effekten $$ S$$ med effektfaktoren, sidan vi alt har rekna ut $$ S$$.

$$ P_t=U·I·\cos 𝜑=S·\cos 𝜑=3,22 \mathrm{kVA}·0,93=2,99 \mathrm{kW}\approx 3,0 \mathrm{kW}$$

Legg merke til at vi skiftar måleining frå kVA til kW sidan den tilsynelatande effekten $$ S$$ skal ha måleining VA (voltampere), mens den tilførte effekten $$ P_t$$ blir målt i W (watt).

Då kan vi konkludere med at den oppgitte effekten P1 på merkeskiltet er det same som tilført effekt $$ P_t$$.

Alternativ 1: Vi bruker pytagorassetninga på effekttrekanten.

$$ \begin{array}{rcl}Q & =& \sqrt{S^2-{P_t}^2}\\ & =& \sqrt{3,{22}^2-2,{99}^2} \mathrm{kvar}\\ & =& 1,2 \mathrm{kvar}\end{array}$$

Alternativ 2: Vi bruker at $$ \sin 𝜑=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{Q}{S}$$. Dette gir

$$ Q=S·\sin 𝜑=3,22 \mathrm{kVA}·\sin 21,57°=1,2 \mathrm{kvar}$$

Legg merke til at vi skiftar måleining frå kVA til kvar (kilovoltampere-reaktiv) sidan den tilsynelatande effekten $$ S$$ skal ha måleining VA (voltampere), mens den reaktive effekten $$ Q$$ blir målt i var (voltampere-reaktiv).

Vi taper energi på grunn av friksjon, luftmotstand og elektrisk resistans i motoren.

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t}=\frac{2,2 \mathrm{kW}}{3,0 \mathrm{kW}}=0,73=73\hspace{0.17em}\%$$

Opplysningane betyr at når motoren får tilført ei spenning på 230 V, kan han yte ein avgitt effekt $$ P_a=0,28 \mathrm{kW}$$ og vil då trekke ein straum på 1,2 A. Effektfaktoren er 0,7.

Vi har gått ut frå at det ikkje er oppgitt andre effektar på merkeskiltet til motoren. Då er det den avgitte effekten som er oppgitt.

Her må vi hugse på å ta med faktoren $$ \sqrt{3}$$ sidan det er ein trefasemotor.

$$ S=\sqrt{3}·U·I=\sqrt{3}·230 \mathrm{V}·1,2 \mathrm{A}=478 \mathrm{VA}=0,478 \mathrm{kVA}$$

$$ P_t=S·\cos 𝜑=0,478 \mathrm{kVA}·0,7=0,335 \mathrm{kW}$$

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t}=\frac{0,28 \mathrm{kW}}{0,335 \mathrm{kW}}=0,836=83,6 \%$$

Sidan det står "3~Mot." øvst på skiltet, er det ein trefasemotor.

Som i oppgåve 1 må vi gå ut ifrå at dette er den avgitte effekten, som vi vanlegvis kallar $$ P_a$$.

Sidan det står "14,7/8,5 A" og 230 V står før 400 V, er straumen i dette tilfellet 14,7 A.

$$ \begin{array}{rcl}{P}_t & =& \sqrt{3}·U·I·\cos 𝜑\\ & =& \sqrt{3}·230 \mathrm{V}·14,7 \mathrm{A}·0,73\\ & =& 4 275 \mathrm{W}\\ & =& 4,28 \mathrm{kW}\end{array}$$

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t}=\frac{3,6 \mathrm{kW}}{4,28 \mathrm{kW}}=0,841=84,1 \%$$

Her står det direkte "Three - phase induction motor", så det er ein trefasemotor.

Sidan det står "V 230/400" og "A 6,32/3,65", er straumen i dette tilfellet 6,32 A.

Dette er verknadsgraden til motoren. Sjå òg avsnittet "Elektriske motorer i et ressursperspektiv" i Wikipedias artikkel "Elektrisk motor".

Vi kan ikkje bruke den vanlege formelen for tilført effekt sidan vi ikkje kjenner effektfaktoren $$ \cos 𝜑$$. Men vi kan rekne ut den tilførte effekten ut ifrå verknadsgraden $$ \eta $$.

Vi har for verknadsgraden $$ \eta $$:

$$ \eta =\frac{P_a}{P_t} \iff \eta ·P_t=P_a \iff P_t=\frac{P_a}{\eta }$$

Vi får derfor at

$$ P_t=\frac{1,5 \mathrm{kW}}{0,828}=1,81 \mathrm{kW}$$

Bruk formelen $$ P_t=\sqrt{3}·U·I·\cos 𝜑$$ og snu på han.

Vi har at

$$ P_t=\sqrt{3}·U·I·\cos 𝜑 \iff \cos 𝜑=\frac{P_t}{\sqrt{3}·U·I}$$

Dette gir

$$ \cos 𝜑=\frac{1 810 W}{\sqrt{3}·230 V·6,32 A}=0,72$$