Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90° - Matematikk 1T-Y - EL - NDLA

Fagartikkel

Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90°

Her innfører vi ein ny definisjon av dei trigonometriske funksjonane sinus, cosinus og tangens som gjeld sjølv om vinklane blir større enn 90°.

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel

Vinkel v åleine og vinkel v med motståande katet slik at hypotenusen blir 1. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Vi startar med ein vinkel $v$ som er mindre enn 90°, slik som på figuren over. Vi opprettar så motståande katet, slik at vi får ein rettvinkla trekant med hypotenus lik 1. Vi kallar katetane for $a$ og $b$ .

Vi får

$\begin{array}{rcl} \sin v & = & \frac{Motståande katet}{Hypotenus} = \frac{b}{1} = b \\ \cos v & = & \frac{Hosliggjande katet}{Hypotenus} = \frac{a}{1} = a \end{array}$

Koordinatsystem med einingssirkel med punkt P i første kvadrant slik at P får koordinatane cosinus v og sinus v der v er vinkelen mellom positiv x-akse og linjestykket frå origo til P. Illustrasjon. — Einingssirkel med punkt 𝑃. Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Vi legg eit koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelen sitt høgre bein blir liggjande langs $x$ -aksen. Vi legg vidare ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kallar sirkelen for einingssirkelen.

Vi kallar skjeringspunktet mellom einingssirkelen og venstre vinkelbein til $v$ for $P$ .

Vi kallar vidare koordinatane til punktet $P$ for $(a, b)$ .

Vi får då at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til $P$ , $\cos v = a$ , og at sinus til $v$ blir lik andrekoordinaten til $P$ , $\sin v = b$ .

Det betyr at $P = (\cos v, \sin v)$ .

Vi ser også at $\tan v = \frac{b}{a} = \frac{\sin v}{\cos v} når \cos v \neq 0$

Ettersom avstanden frå origo til $P$ er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras si setning at kvadratet av $\sin v$ pluss kvadratet av $\cos v$ er lik 1.

${(\sin v)}^{2} + {(\cos v)}^{2} = 1$

Vi kan no definere sinus, cosinus og tangens til ein generell vinkel $v$ .

Einingssirkelen. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Plasser vinkel $v$ i eit koordinatsystem saman med einingssirkelen. Sjå figuren til høgre.

La $P$ vere skjeringspunktet mellom vinkelen sitt venstre vinkelbein og einingssirkelen.

Vi får

$\cos v =$ førstekoordinaten til $P$

$\sin v =$ andrekoordinaten til $P$

Vi får også at

$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} når \cos v \neq 0$

Vi har no ein definisjon som også gjeld for vinklar som er større enn 90°.

Prøv sjølv!

Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer kva som skjer.

Filer

Einingssirkel 180 grader(GGB)

Aktivitetar til den interaktive einingssirkelen

Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.

Oppgåve 1

Kan sin𝑣 og cos𝑣 ha negative verdiar?

Løysing

Dersom vi drar glidebrytaren over heile området, får vi at sin 𝑣 alltid er større enn eller lik null. Dette gjeld så lenge vinkelen 𝑣 er innanfor intervallet frå 0 grader til 180 grader.

Vi får vidare at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 180 grader.

Matematisk:

$\sin v \geq 0 når 0 ° \leq v \leq 180 °$

$\cos v \geq 0 når 0 ° \leq v \leq 90 °$

$\cos v \leq 0 når 90 ° \leq v \leq 180 °$

Oppgåve 2

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.

Løysing

$cos 120° = – 0,5$

Oppgåve 3

Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?

Løysing

Ved å dra i glidebrytaren får vi at

$\sin 30 ° = \sin 150 ° = 0, 5$

Vi observerer at når vinkelen aukar frå 0 grader til 90 grader, aukar verdien for sin 𝑣 frå 0 til 1. Når vinkelen aukar vidare frå 90 grader til 180 grader, minkar verdien for sin 𝑣 frå 1 til 0. Det må bety at det finst to vinklar som har same sinusverdi i dette området, éin vinkel mellom 0 grader og 90 grader og éin vinkel mellom 90 og 180 grader.

Dette kan du finne ut meir om i artikkelen To vinklar – same sinusverdi.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0