Potensar og rotuttrykk

Vi har til no rekna med potensar der eksponentane er heile tal.

Vi kan også rekne med potensar der eksponentane er brøkar, potensar med rasjonale eksponentar.

Vi vil at dei reknereglane som gjeld for potensar med heiltallege eksponentar, også skal gjelde for potensar med rasjonale eksponentar.

Potensregelen ${\left(a^n\right)}^m=a^{m·n}$ medfører då til dømes at

${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^2=4^{\frac{1}{2}·2}=4^1=4$

Dette tyder at talet $4^{\frac{1}{2}}$ må vere lik $-2$ eller $2$, sidan begge desse tala opphøgd i andre gir svaret $4$.

Dersom vi bestemmer at $4^{\frac{1}{2}}$ ikkje skal vere negativt, blir $4^{\frac{1}{2}}=2 \mathrm{og} 4^{\frac{1}{2}}$ blir det same som kvadratrota av $4$.

Legg merke til at vi har definert $\sqrt[n]{a}$ også for negative tal når n er eit oddetal. Men vi ønskjer å halde av notasjonen $a^{\frac{1}{n}}$ for positive verdiar av $a$.

Kva dersom eksponenten i ein potens er ein brøk med teljar ulik 1?

Dersom vi bruker dei reknereglane vi har for potensar på ulike måtar på uttrykket ${27}^{\frac{2}{3}}$, får vi

$\begin{array}{rcl}1. {27}^{\frac{2}{3}}& = & {27}^{\frac{1}{3}·2}={\left({27}^{\frac{1}{3}}\right)}^2=3^2=9\\ & & \\ 2. {27}^{\frac{2}{3}}& =& {27}^{2·\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{{27}^2}=\sqrt[3]{729}=9\\ & & \\ 3. {27}^{\frac{2}{3}}& =& {\left(3^3\right)}^{\frac{2}{3}}=3^{3·\frac{2}{3}}=3^2=9\end{array}$

Desse sammenhengane gjeld generelt.

Når du skal forenkle uttrykk som inneheld rotuttrykk, er det ofte lurt å skrive rotuttrykka på potensform og bruke reknereglane for potensar.

Døme

$\sqrt{a}·\sqrt[3]{a^2}·\sqrt[6]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}·a^{\frac{2}{3}}·a^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}}=a^{\frac{12}{6}}=a^2$