Fagstoff

Brøkrekning

Kva er ein brøk?

Sirkel delt i åtte like sektorar. Ein av sektorane har merkelappen éin åttedel. Illustrasjon.

Vi deler ein pizza i åtte like store delar. Kvart pizzastykke er då lik éin åttedel av heile pizzaen. Éin åttedel kan skrivast som $1 : 8$ .

Vi vel ein annan skrivemåte som vi kallar brøk.

$1 : 8$ skriv vi som $\frac{1}{8}$ . Divisjonsteiknet (deleteiknet) har blitt til brøkstrek, men det betyr framleis divisjonsteikn.

Talet på topp, talet over brøkstreken, kallar vi teljar fordi det «tel opp» talet på pizzastykke.

Talet under brøkstreken fortel storleiken, verdien, på pizzastykka, og det blir kalla for nemnar, på tilsvarande måte som kroner eller euro er nemningar på pengebeløp.

Ein sirkel delt i fem like sektorar. Fire av sektorane er grøne, den siste sektoren er kvit. Illustrasjon.

Dersom vi har $\frac{4}{5}$ av ein pizza, betyr det at vi har delt ein pizza i fem like store stykke og telt opp fire av desse.

Kva med $\frac{7}{3}$ , då? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykke og tatt sju av desse. Er det mogleg?

Ja, det er mogleg, men då må vi ha meir enn éin pizza! Nedanfor ser du at vi må ha to heile pizzaer og eit stykke utanom:

$\frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$

Tre sirklar som alle tre er delt i tre like store sektorar. I to av sirklane er alle sektorane grønfarga, i den tredje er berre éin av sektorane grønfarga, dei andre er kvite. Illustrasjon.

Addisjon og subtraksjon med brøkar

Sirkel delt i åtte like sektorar. Tre sektorar er gule, ein sektor er lyseblå og dei fire siste sektorane er grøne. Illustrasjon.

Dei tre gule pizzastykka på figuren, som utgjer $\frac{3}{8}$ av pizzaen, og det lyseblå stykket, som utgjer $\frac{1}{8}$ av pizzaen, må til saman utgjere fire åttedelar av heile pizzaen.

Det må bety at $\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$ .

Motsett, når vi frå fire åttedelar trekkjer frå éin åttedel, så må vi sitje igjen med tre åttedelar. Det tyder at $\frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$ .

Dette betyr at regelen nedanfor må vere rett.

Når vi legg saman eller trekkjer frå brøkar med same nemnar, legg vi saman eller trekkjer frå teljarane og beheld nemnarane.

Av figuren ser vi vidare at det lyseblå og dei gule pizzastykka utgjer halve pizzaen.

Det må bety at $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Det blir altså rett om vi i brøken $\frac{4}{8}$ delar på 4 i teljar og nemnar. Vi får

$\frac{4 : 4}{8 : 4} = \frac{1}{2}$

Motsett blir det også rett når vi i brøken $\frac{1}{2}$ multipliserer (gongar) med 4 i teljar og nemnar. Dette gir

$\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$

Det er lov i ein brøk å multiplisere med same tal i teljar og nemnar utan at brøken endrar verdi. Vi kallar det å utvide ein brøk.

Det er lov i ein brøk å dividere/dele med same tal i teljar og nemnar utan at brøken endrar verdi. Vi kallar det å forkorte ein brøk.

Vi kan no leggje saman (addere) og trekkje frå (subtrahere) alle slags brøkar.

Vi skal trekkje saman brøkane

$\frac{1}{2} + 3 - \frac{2}{3}$

Først skriv vi talet 3 som ein brøk. Talet 3 endrar ikkje verdi om vi deler på 1.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{1} - \frac{2}{3}$

Så utvidar vi alle brøkane slik at dei får like nemnarar.

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{1 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Vi multipliserer så ut i teljar og nemnar i alle brøkane og får

$\frac{3}{6} + \frac{18}{6} - \frac{4}{6}$

No har brøkane same nemnar, og vi kan trekkje saman teljarane og behalde nemnaren.

$\frac{3 + 18 - 4}{6} = \frac{17}{6}$

Til slutt må vi undersøkje om svaret kan skrivast på ein enklare måte ved å forkorte bøken $\frac{17}{6}$ . Det er her ikkje mogleg sidan ingen tal kan dele både 6 og 17. 17 er eit primtal.

Multiplikasjon med brøkar

Sirkel delt i åtte like sektorar. Fire av dei åtte sektorane har kvar sin merkelapp med brøken éin åttedel. Illustrasjon.

Fire pizzastykke som kvar utgjer $\frac{1}{8}$ av heile pizzaen, utgjer til saman $\frac{4}{8}$ av heile pizzaen fordi

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{8} = \frac{4}{8}$

Det må bety at $4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$ . Når vi gongar eit heilt tal med ein brøk, så må vi altså gonge det heile talet med teljaren for at det skal bli rett.

$4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 1}{8} = \frac{4}{8}$

Sidan det heile talet også kan skrivast som ein brøk, får vi at

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 8} = \frac{4}{8}$

Vi får rett svar når vi multipliserer teljar med teljar og nemnar med nemnar.

Sirkel delt i tre like sektorar der den eine sektoren er flytta litt i forhold til dei to andre. Denne sektoren er vidare delt i to like delar, kvar med merkelappen éin sjettedel. Dei to andre sektorane har kvar sin merkelapp med éin tredel. Illustrasjon.

Vi ser også at dersom vi tar halvparten av eit pizzastykke som utgjer éin tredel av ein heil pizza, så må vi få éin seksdel av heile pizzaen. Det må bety at reknestykket nedanfor må vere rett.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Det betyr at det også her blir rett når vi gongar teljar med teljar og nemnar med nemnar.

Regelen blir som følgjer:

Vi multipliserer to brøkar ved å multiplisere teljar med teljar og nemnar med nemnar.

Heile tal deler vi med 1 slik at dei kan oppfattast som brøkar.

Eksempel 1

$\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{6 \cdot 5}{8 \cdot 7} = \frac{30}{56} = \frac{30 : 2}{56 : 2} = \frac{15}{28}$ Hugs å forkorte svaret!

Eksempel 2

$7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{14}{3}$ Her kan vi ikkje forkorte svaret.

Divisjon med brøkar

Kari hadde bursdagsselskap og ville servere pizza og brus. Ho kjøpte ein svær behaldar som inneheldt ti liter brus.

Kari ville helle brusen over i mindre flasker slik at gjestene kunne få éi flaske kvar. Ho tenkte først å bruke flasker som tok to liter. Ho sette opp eit reknestykke og fann ut at då vart det nok til fem flasker med brus fordi

$10 : 2 = 5$

Det vart ikkje nok til alle gjestene, så Kari tenkte derfor å bruke flasker som kvar tok $\frac{1}{2}$ liter. Ho sette opp tilsvarande reknestykke for å finne ut kor mange flasker det no vart:

$10 : \frac{1}{2}$

Her fekk Kari eit problem. Korleis dele på ein brøk? No måtte Kari bruke sunn fornuft. Det er klart at 20 flasker som kvar inneheld $\frac{1}{2}$ liter til saman må bli lik ti liter. Svaret på reknestykket er altså 20.

Men Kari gav seg ikkje. "Det må då vere mogleg å rekne seg fram til rett svar!" tenkte ho. Kari fann ut at dersom ho snudde brøken ho skulle dele med på hovudet og samtidig gjorde divisjon om til multiplikasjon, så fekk ho rett svar.

$10 : \frac{1}{2} = \frac{10}{1} {\overset{⏞}{\underset{⏟}{: \frac{1}{2} = \frac{10}{1} \cdot \frac{2}{1}}}}_{\begin{matrix} Deleteikn blir \\ til teikn for \\ multiplikasjon \end{matrix}}^{\begin{matrix} Vi snur brøken \\ opp ned \end{matrix}} = \frac{10 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{20}{1} = 20$

Regelen blir:

Å dividere med ein brøk er det same som å multiplisere med den omvende brøken.

Eksempel

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{5}} = \frac{7}{2} : \frac{3}{5} = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{35}{6}$

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 24.02.2021