Analyse av eksponentialfunksjonar

Eksponentialfunksjonar er definerte for alle $$ x$$-verdiar fordi eksponenten i ein potens kan ha alle moglege verdiar. Vi får at definisjonsmengda blir

$$ \begin{array}{rcl}{D}_f & =& \mathrm{ℝ}\end{array}$$

For å finne ut litt om funksjonen startar vi med å analysere den deriverte.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 5,0·1,8^{-1,4x}·\ln 1,8·\left(-1,4\right)\\ & =& -7\ln 1,8·1,8^{-1,4x}\end{array}$$

Først kan vi slå fast at potensen, som har positivt grunntal, aldri kan bli negativ. Det same gjeld $$ \ln 1,8$$. Det betyr at den deriverte alltid er negativ, og at grafen til funksjonen er søkkande i heile definisjonsområdet. Verdimengda kan vi derfor finne ved å la $$ x$$ gå mot uendeleg og minus uendeleg og sjå kva funksjonen går mot.

Lèt vi $$ x$$ gå mot uendeleg, vil eksponenten gå mot minus uendeleg og potensen gå mot null. Det betyr at

$$ \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0-2=-2$$

Lèt vi så $$ x$$ gå mot minus uendeleg, vil eksponenten, og dermed potensen, gå mot uendeleg. Det betyr at $$ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$$ ikkje eksisterer. Sidan grafen til funksjonen er søkkande i heile definisjonsområdet, vil funksjonen krype ned mot, men aldri bli lik, $$ -2$$ når  $$ x\to \infty $$. Verdimengda blir derfor

$$ \begin{array}{rcl}{V}_f & =& \langle -2, \to \rangle \end{array}$$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Funksjonen $$ f$$ har nullpunkt for  $$ x=1.11$$ (linje 2 og 3). Linje 7 gir at grafen til $$ f$$ søkk i heile definisjonsområdet, som er alle reelle tal etter diskusjonen i oppgåve a). Linje 4 gir at verdimengda ikkje er avgrensa oppover, og linje 5 gir at verdimengda er avgrensa nedover til -2. Verdimengda blir altså  $$ \begin{array}{rcl}{V}_f & =& ⟨-2, \to ⟩\end{array}$$, som vi fann i a).

Linje 7 gir òg at grafen til $$ f$$ ikkje har nokon stasjonære punkt. Linje 9 gir at grafen heller ikkje har nokon vendepunkt, og at grafen vender den hole sida opp heile tida.

Desse opplysingane, saman med skjeringspunktet med $$ y$$-aksen (linje 10), gjer at ei skisse av grafen til funksjonen $$ f$$ kan sjå ut som nedanfor.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal