Hopp til innhald
Oppgåve

Analyse av eksponentialfunksjonar

Øv på å analysere eksponentialfunksjonar her.

3.1.70

Funksjonen f er gitt ved

fx=5,0·1,8-1,4x-2

a) Finn utan hjelpemiddel definisjonsmengda og verdimengda til f.

Løysing

Eksponentialfunksjonar er definerte for alle x-verdiar fordi eksponenten i ein potens kan ha alle moglege verdiar. Vi får at definisjonsmengda blir

Df = 

For å finne ut litt om funksjonen startar vi med å analysere den deriverte.

f'x = 5,0·1,8-1,4x·ln1,8·-1,4= -7ln1,8·1,8-1,4x

Først kan vi slå fast at potensen, som har positivt grunntal, aldri kan bli negativ. Det same gjeld ln1,8. Det betyr at den deriverte alltid er negativ, og at grafen til funksjonen er søkkande i heile definisjonsområdet. Verdimengda kan vi derfor finne ved å la x gå mot uendeleg og minus uendeleg og sjå kva funksjonen går mot.

Lèt vi x gå mot uendeleg, vil eksponenten gå mot minus uendeleg og potensen gå mot null. Det betyr at

limxfx=0-2=-2

Lèt vi så x gå mot minus uendeleg, vil eksponenten, og dermed potensen, gå mot uendeleg. Det betyr at limx-fx ikkje eksisterer. Sidan grafen til funksjonen er søkkande i heile definisjonsområdet, vil funksjonen krype ned mot, men aldri bli lik, -2 når  x. Verdimengda blir derfor

Vf = -2, 

b) Bruk CAS på oppgåvene nedanfor.

  • Bestem verdimengda til f.

  • Finn eventuelle nullpunkt.

  • Finn eventuelle stasjonære punkt, og analyser monotonieigenskapane til grafen til f.

  • Finn eventuelle vendepunkt, og analyser krumningsforholda til grafen til f.

  • Rekn ut f0, og bruk dette saman med informasjonen ovanfor til å lage ei skisse av grafen til f.

Løysing

Funksjonen f har nullpunkt for  x=1.11 (linje 2 og 3). Linje 7 gir at grafen til f søkk i heile definisjonsområdet, som er alle reelle tal etter diskusjonen i oppgåve a). Linje 4 gir at verdimengda ikkje er avgrensa oppover, og linje 5 gir at verdimengda er avgrensa nedover til -2. Verdimengda blir altså  Vf = -2, , som vi fann i a).

Linje 7 gir òg at grafen til f ikkje har nokon stasjonære punkt. Linje 9 gir at grafen heller ikkje har nokon vendepunkt, og at grafen vender den hole sida opp heile tida.

Desse opplysingane, saman med skjeringspunktet med y-aksen (linje 10), gjer at ei skisse av grafen til funksjonen f kan sjå ut som nedanfor.