Analyse av rasjonale funksjonar
3.1.50
Funksjonen er gitt ved
a) Finn eventuelle nullpunkt og asymptotar til
Løysing
Funksjonen
Horisontal asymptote:
Det betyr at
Vertikal asymptote:
Nemnaren er null når
Det betyr at
b) Analyser monotonieigenskapane til
Løysing
Vi deriverer funksjonen og undersøkjer forteiknet til den deriverte.
Nemnaren
Det betyr grafen alltid søkk i definisjonsområdet sitt, og grafen har derfor ikkje topp- eller botnpunkt. Eit forteiknsskjema for den deriverte ser derfor slik ut:
c) Bestem utan hjelpemiddel krumningsforholda og eventuelle vendepunkt til
Løysing
Vi deriverer ein gong til og undersøkjer forteiknet til den dobbeltderiverte.
Nemnaren
Grafen vender den hole sida ned når
Grafen vender den hole sida opp når
Eit eventuelt vendepunkt måtte vore for
d) Lag ei skisse av grafen på papir.
Løysing
No kjenner vi så mykje til forløpet til grafen at det er relativt lett å lage ei skisse av grafen utan hjelpemiddel. Grafen i figuren er laga i GeoGebra, men det svært viktig at du òg kan lage ei skisse av grafen utan hjelpemiddel.
e) Løys oppgåvene a), b) og c) med CAS.
Løysing
I linje 2 finn vi asymptotane. I linje 3 finn vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finn vi eventuelle stasjonære punkt, men svaret viser at det er ingen. Vi sjekkar forteiknet til den deriverte i linje 5 og får inga løysing, som betyr at grafen søkk i heile definisjonsområdet til funksjonen. I linje 6 finn vi eventuelle moglege vendepunkt, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekkar vi forteiknet til den dobbeltderiverte. Vi får at grafen vender den hole sida ned når
3.1.51
Funksjonen
a) Finn eventuelle nullpunkt og asymptotar til
Løysing
Funksjonen
Vi observerer at teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Då har ikkje grafen til funksjonen horisontal asymptote, men ein asymptotefunksjon. Vi finn asymptotefunksjonen ved å gjere ein polynomdivisjon.
Restleddet er ein brøk som blir veldig liten når
Vertikal asymptote:
Nemnaren er null når
Det betyr at
b) Analyser monotonieigenskapane til
Løysing
Vi deriverer funksjonen og undersøkjer forteiknet til den deriverte.
Nemnaren
Det held med å sjekke forteiknet til teljaren for å finne ut om den deriverte er positiv eller negativ i dei aktuelle intervalla.
Eit forteiknskjema for den deriverte ser derfor slik ut:
Grafen til
Grafen har eit toppunkt i
c) Bestem utan hjelpemiddel krumningsforholda og eventuelle vendepunkt til
Løysing
Vi deriverer ein gong til og undersøkjer forteiknet til den dobbeltderiverte.
Nemnaren
Grafen vender den hole sida ned når
Grafen vender den hole sida opp når
Eit eventuelt vendepunkt måtte vore for
d) Lag ei skisse av grafen på papir.
Løysing
No kjenner vi noko til forløpet til grafen, og vi kan lage ei omtrentleg skisse av grafen utan hjelpemiddel. (Grafen i figuren er laga i GeoGebra.)
e) Løys oppgåvene a), b) og c) med CAS.
Løysing
I linje 2 finn vi asymptotane. I linje 3 finn vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finn vi dei to stasjonære punkta. Vi sjekkar forteiknet til den deriverte i linje 5. I linje 6 finn vi eventuelle moglege vendepunkt, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekkar vi forteiknet til den dobbeltderiverte. Vi får at grafen vender den hole sida ned når