3.1.60
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem definisjonsmengda til
Løysing
Den naturlege logaritmen er berre definert for positive tal. Då må
Vi løyser ulikskapen ved først å finne nullpunkta til uttrykket.
Så testar vi uttrykket i dei aktuelle intervalla.
Då kan vi teikne forteiknsskjema for uttrykket.
Funksjonen kan berre vere definert der uttrykket er større enn 0. Definisjonsmengda til funksjonen blir
Vi finn nullpunkta til funksjonen.
b) Analyser monotonieigenskapane til
Løysing
Vi deriverer funksjonen og undersøkjer forteiknet til den deriverte.
Her sette vi
Så set vi den deriverte lik null.
Kandidaten til nullpunkt for den deriverte ligg utanfor definisjonsmengda til funksjonen. Grafen kan derfor ikkje ha noko topp- eller botnpunkt.
Vi testar den deriverte i dei to aktuelle intervalla.
Forteiknsskjemaet for den deriverte ser derfor slik ut:
Av forteiknslinja kan vi lese at grafen til
c) Bestem utan hjelpemiddel krumningsforholda og eventuelle vendepunkt til
Løysing
Vi deriverer ein gong til og undersøkjer forteiknet til den dobbeltderiverte.
Vi set teljaren lik 0.
Teljaren har ingen nullpunkt. Vi set inn ein tilfeldig verdi av
Det betyr at teljaren alltid er negativ.
Nemnaren
Grafen har derfor ikkje noko vendepunkt, og han vender alltid den hole sida ned.
d) Lag ei skisse av grafen på papir.
Løysing
No kjenner vi noko til forløpet til grafen, og vi kan lage ei omtrentleg skisse av grafen utan hjelpemiddel. (Grafen i figuren er laga i GeoGebra.)
e) Løys oppgåvene a), b) og c) med CAS.
Løysing
I linje 2 og 3 finn vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finn vi eventuelle stasjonære punkt, men svaret gir ein