Analyse av logaritmefunksjonar

Den naturlege logaritmen er berre definert for positive tal. Då må

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & >& 0\end{array}$$

Vi løyser ulikskapen ved først å finne nullpunkta til uttrykket.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x-2=0\\ x & =& 0 \vee x=2\end{array}$$

Så testar vi uttrykket i dei aktuelle intervalla.

Då kan vi teikne forteiknsskjema for uttrykket.

Funksjonen kan berre vere definert der uttrykket er større enn 0. Definisjonsmengda til funksjonen blir

$$ \begin{array}{rcl}{D}_f & =& ⟨\leftarrow , 0⟩\cup ⟨2, \to ⟩\end{array}$$

Vi finn nullpunkta til funksjonen.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 0\\ \ln \left(x^2-2x\right) & =& 0\\ x^2-2x & =& 1\\ x^2-2x-1& =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-1\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\ & =& 1\pm \sqrt{2}\\ x & =& 1-\sqrt{2}\approx -0,4 \vee x=1+\sqrt{2}\approx 2,4\end{array}$$

Vi deriverer funksjonen og undersøkjer forteiknet til den deriverte.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \ln \left(x^2-2x\right)=\ln u\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{u}·u^{\text{'}}=\frac{1}{x^2-2x}·\left(2x-2\right)\\ & =& \frac{2x-2}{x^2-2x}\end{array}$$

Her sette vi  $$ u=x^2-2x$$  og brukte kjerneregelen då vi deriverte.

Så set vi den deriverte lik null.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ \frac{2x-2}{x\left(x-2\right)} & =& 0 , x\ne 0 \wedge x\ne 2\\ 2x-2 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$$

Kandidaten til nullpunkt for den deriverte ligg utanfor definisjonsmengda til funksjonen. Grafen kan derfor ikkje ha noko topp- eller botnpunkt.

Vi testar den deriverte i dei to aktuelle intervalla.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-1\right) & =& \frac{2·\left(-1\right)-2}{{\left(-1\right)}^2-2·\left(-1\right)}=\frac{-2-2}{1+2}=-\frac{4}{3}<0\\ f^{\text{'}}\left(3\right) & =& \frac{2·3-2}{3^2-2·3}=\frac{6-2}{9-6}=\frac{4}{3}>0\\ & & \end{array}$$

Forteiknsskjemaet for den deriverte ser derfor slik ut:

Av forteiknslinja kan vi lese at grafen til $$ f$$ søkk når  $$ x<0$$  og stig når  $$ x>2$$.

Vi deriverer ein gong til og undersøkjer forteiknet til den dobbeltderiverte.

$$ \begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x-2}{x^2-2x}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(2x-2\right)}^{{\text{'}}^{}}·\left(x^2-2x\right)-\left(2x-2\right)·{\left(x^2-2x\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{2·\left(x^2-2x\right)-\left(2x-2\right)·\left(2x-2\right)}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x^2-4x-4x^2+8x-4}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{-2x^2+4x-4}{{\left(x^2-2x\right)}^2}=\frac{-2\left(x^2-2x+2\right)}{{\left(x^2-2x\right)}^2}\end{array}$$

Vi set teljaren lik 0.

$$ x^2-2x+2=0\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}$$

Teljaren har ingen nullpunkt. Vi set inn ein tilfeldig verdi av $$ x$$ i teljaren.

$$ -2\left(0^2-2·0+2\right)=-4<0$$

Det betyr at teljaren alltid er negativ.

Nemnaren $$ {\left(x^2-2x\right)}^2$$ er alltid positiv på grunn av avgrensingane i definisjonsmengda til $$ f$$. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ.

Grafen har derfor ikkje noko vendepunkt, og han vender alltid den hole sida ned.

No kjenner vi noko til forløpet til grafen, og vi kan lage ei omtrentleg skisse av grafen utan hjelpemiddel. (Grafen i figuren er laga i GeoGebra.)

I linje 2 og 3 finn vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finn vi eventuelle stasjonære punkt, men svaret gir ein $$ x$$-verdi som er utanfor definisjonsområdet til $$ f$$. Vi sjekkar forteiknet til den deriverte i linje 5. Her er det berre løysinga  $$ x>2$$  som gjeld for definisjonsområdet. I linje 6 finn vi eventuelle moglege vendepunkt, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekkar vi forteiknet til den dobbeltderiverte. Vi får inga løysing, og det betyr at grafen alltid vender den hole sida ned, som vi fann i oppgåve c).