Krummingsforhold og vendepunkt. Dobbeltderiverttesten
Funksjonen er gitt ved
Denne funksjonen er òg drøfta i døme 2 på sida Analyse av polynomfunksjonar.
Vi deriverer funksjonen to gonger. Då får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte . Legg merke til skrivemåten, no med to apostrofar.
Vi teiknar forteiknslinja til
Det viser seg at
- ein graf vender den hole sida si opp når
. Han krummar oppover.f ' ' x > 0 - ein graf vender den hole sida si ned når
. Han krummar nedover.f ' ' x < 0 - ein graf kan ha eit vendepunkt når
f ' ' x = 0
At grafen vender den hole sida si opp,
At grafen vender den hole sida si ned,
Eit punkt på grafen der grafen skifter mellom å vende den hole sida si ned og å vende den hole sida si opp, eller motsett, kallar vi eit vendepunkt. Vi kan òg seie at grafen endrar krumming.
Den deriverte (dersom han eksisterer!) har anten den største verdien sin eller den minste verdien sin i vendepunktet. Det vil seie at funksjonen veks raskest eller minkar raskast i vendepunktet.
Har vi alltid eit vendepunkt dersom den dobbelderiverte er lik 0?
Kan vi ha eit vendepunkt utan at den dobbeltderiverte er lik 0?
Definisjon av vendepunkt
Vi ønskjer oss ein formell definisjon på kva som er eit vendepunkt. Vi har til no vist at vi må ha eit punkt på grafen der den dobbeltderiverte skiftar forteikn. Legg merke til at det ikkje er eit krav at den deriverte eller den dobbeltderiverte må eksistere i dette punktet, men det er eit krav at sjølve funksjonen må vere definert her. I tillegg til dette er det eit krav om at funksjonen må vere kontinuerleg i dette punktet. Nokre matematikarar krev i tillegg at det skal vere mogleg å teikne ein tangent i eit punkt for at det skal kunne definerast som eit vendepunkt, men vi vel her definisjonen som berre krev kontinuitet.
Då kan vi få den følgjande definisjonen:
Eit punkt
I oppgåver blir vi ofte bedde om å finne likninga for ein vendetangent. Ein vendetangent er tangenten til funksjonen i eit vendepunkt.
Døme
Vi vil finne likninga for vendetangenten til funksjonen
Dette er den same funksjonen som vi brukte i dømet øvst på sida. Vi deriverer først funksjonen to gonger.
Vi set så den dobbeltderiverte lik null.
Vi har òg at
Det betyr at koordinatane til vendepunktet er
Vi reknar så ut stigingstalet til tangenten i vendepunktet:
No veit vi at vendetangenten går gjennom punktet
Vi har til slutt teke med ei oversikt over forteiknslinja til sjølve funksjonsuttrykket saman med forteiknslinjene til den første- og andrederiverte. Desse er teikna inn i koordinatsystemet saman med
På grunnlag av forteiknslinjene er det mogleg å teikne ei skisse av grafen. Motsett kan vi ut frå grafen teikne dei tre forteiknslinjene. Ved hjelp av grafen kan vi altså tolke grunnleggjande eigenskapar ved funksjonen.
Vi har brukt forteiknslinje til den deriverte for å avgjere om eit ekstremalpunkt er eit toppunkt eller eit botnpunkt.
Den dobbeltderiverte gir oss ein ny metode for å avgjere dette.
Gitt funksjonen
Sidan
Sidan
Grafen har toppunkt
Grafen har botnpunkt