Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte
I desse oppgåvene skal du analysere funksjonar utan at du kjenner funksjonsuttrykket. Du får berre gitt opp ein graf eller eit forteiknsskjema.
3.1.1
a) Figuren nedanfor viser grafen til ein ukjend funksjon . Finn monotonieigenskapane til funksjonen og bestem eventuelle topp- og botnpunkt.
Løysing
Grafen ser ut som ein parabel med toppunkt i 2,1. Det betyr at f(x) veks når x<2 og søkk når x>2.
b) Teikn forteiknslinjene for f og f'.
Løysing
I tillegg til toppunktet 2,1 kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta x=1 og x=3. Funksjonen er derfor større enn null når 1<x<3. Elles er han mindre enn null utanom nullpunkta.
Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når x<2, null når x=2 og negativ når x>2.
Forteiknslinjene for f og f' blir derfor som nedanfor.
3.1.2
a) Figuren nedanfor viser grafen til ein ukjend funksjon f. Finn monotonieigenskapane til funksjonen og bestem eventuelle topp- og botnpunkt.
Løysing
Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i -0.5,-2.25. Det betyr at f(x) søkk når x<-0,5 og stig når x>-0,5.
b) Teikn forteiknslinjene for f og f'.
Løysing
I tillegg til botnpunktet -0.5,-2.25 kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta x=-2 og x=1. Funksjonen er derfor mindre enn null når -2<x<1. Elles er han større enn null utanom nullpunkta.
Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når x<-0,5, null når x=-0,5 og positiv når x>-0,5.
Forteiknslinjene for f og f' blir derfor som nedanfor.
3.1.3
a) Figuren nedanfor viser grafen til ein ukjend funksjon f. Finn monotonieigenskapane til funksjonen og bestem eventuelle topp- og botnpunkt.
Løysing
Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i 0.5,0.75. Det betyr at f(x) søkk når x<0,5 og stig når x>0,5.
b) Teikn forteiknslinjene for f og f'.
Løysing
Grafen ligg over x-aksen heile tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.
Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når x<0,5, null når x=0,5 og positiv når x>0,5.
Forteiknslinjene for f og f' blir derfor som nedanfor.
3.1.4
a) Figuren nedanfor viser grafen til ein ukjend funksjon f. Finn monotonieigenskapane til funksjonen og bestem eventuelle topp- og botnpunkt.
Løysing
Grafen har eit lokalt maksimalpunkt for x=-0,2 og eit lokalt minimalpunkt for x=3,5. Vi har derfor eit toppunkt i -0.2,f-0.2 og eit botnpunkt i 3.5,f3.5. Det betyr òg at f(x) veks når x<-0,2 og når x>3,5 og søkk når -0,2<x<3,5.
b) Teikn forteiknslinjene for f og f'.
Løysing
I tillegg til det lokale maksimalpunktet x=-0,2 og det lokale minimalpunktet x=3,5 kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunktet x=-2,1. Funksjonen er derfor mindre enn null når x<-2,1. Elles er han større enn null utanom nullpunktet.
Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når x<-0,2 og når x>3,5, null når x=-0,2 og når x=3,5 og negativ når -0,2<x<3,5.
Forteiknslinjene for f og f' blir derfor som nedanfor.
3.1.5
Lag ei skisse på papiret av korleis grafen til ein funksjon f kan sjå ut når forteiknslinjene til f og til f' er som i forteiknsskjemaet nedanfor.
Løysing
Funksjonen har nullpunkta x=0 og x=4. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit toppunkt når x=2. Det betyr at f(x) veks når x<2 og søkk når x>2. Grafen til funksjonen kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva y-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på y-aksen.
3.1.6
Lag ei skisse på papiret av korleis grafen til ein funksjon f kan sjå ut når forteiknslinjene til f og til f' er som i forteiknsskjemaet nedanfor.
Løysing
Funksjonen har nullpunkta x=-4 og x=1. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når x=-1,5. Det betyr at f(x) kan ha form som ein parabel og kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva y-koordinaten til botnpunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på y-aksen.
3.1.7
Lag ei skisse på papiret av korleis grafen til ein funksjon f kan sjå ut når forteiknslinjene til f og til f' er som i forteiknsskjemaet nedanfor.
Løysing
Funksjonen har nullpunkta x=-2,x=-1 og x=3. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når x=-1,5 og eit toppunkt når x=1,5. Det betyr at f(x) søkk når x<-1,5 og når x>1,5 og veks når -1,5<x<1,5. Grafen til funksjonen kan derfor sjå ut omtrent som på biletet nedanfor.
3.1.8
a) Kvifor får du problem med å teikne ei skisse av grafen til ein funksjon som har desse forteiknslinjene for f og f'?
Løysing
Ifølgje forteiknslinja til f skal funksjonen vere større enn null, krysse x-aksen for x=-4 og vere mindre enn null eit stykke. Det må bety at grafen søkk i eit intervall rundt x=-4. Men ifølgje forteiknslinja til f' skal funksjonen vere stigande i dette området sidan forteiknslinja er heiltrekt akkurat her. Det må derfor vere ein feil i dette forteiknsskjemaet.
b) Korleis kan du endre på forteiknslinja til f' slik at det blir mogleg å lage ei skisse av grafen?
Løysing
Viss vi lèt forteiknslinja til f' vere stipla når x<-1,5 og heiltrekt når x>-1,5, blir det samsvar med forteiknslinja til f.