Analyse av rasjonale funksjonar

Som døme skal vi drøfte den rasjonale funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{3x}{x-1}$.

Når $x=1$, blir nemnaren null. Funksjonen er ikkje definert for $x=1$. Da kan vi skrive

$D_f=ℝ\backslash \left\{1\right\}$

Vertikal asymptote

Linja $x=a$ er ein vertikal asymptote dersom nemnaren blir null og teljaren blir eit tal ulikt null for  $x=a$.

For $x=1$ blir teljaren lik $3·x=3·1=3$, og nemnaren blir  $x-1=1-1=0$.

Det tyder at $x=1$ er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja $y=a$ er ein horisontal asymptote for ein funksjon $$ f$$ dersom

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=a$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & = & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x}{x-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}\\ & & \\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3\cancel{x}}{\cancel{x}}}{\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}}-\frac{1}{x}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{1-\frac{1}{x}}=\frac{3}{1-0}=3\end{array}$

Det tyder at $y=3$ er horisontal asymptote.

$$ f$$ kan ha alle funksjonsverdiar unnateke 3. Verdimengda er difor

$V_f=ℝ\backslash \left\{3\right\}$

Vi undersøker forteiknet til $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$.

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(3x\right)}^{\text{'}}·\left(x-1\right)-3x·{\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{3·\left(x-1\right)-3x·1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$$

Nemnaren ${\left(x-1\right)}^2$ er alltid positiv, og teljaren er alltid negativ.

Det tyder at grafen alltid søkk i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikkje topp- eller botnpunkt.

Vi undersøker forteiknet til $$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$.

$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(-3\right)}^{\text{'}}·{\left(x-1\right)}^2-\left(-3\right){\left({\left(x-1\right)}^2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^4}=\frac{3·2\left(x-1\right)}{{\left(x-1\right)}^4}=\frac{6}{{\left(x-1\right)}^3}$$

Nemnaren ${\left(x-1\right)}^3$ er negativ for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og positiv for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Teljaren er alltid positiv. Det gir den følgande forteiknslinja for $$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$:

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Av forteiknslinja kan vi lese at grafen vender si hole side ned for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og si hole side opp for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Eit eventuelt vendepunkt måtte vore for $x=1$, men for denne verdi er ikkje funksjonen definert. Det vil seie at grafen ikkje har noko vendepunkt.

Det kan også vere nyttig å ta med eventuelle skjeringspunkt med koordinataksane i drøftinga.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Skjering med y-aksen

$f\left(0\right)=\frac{3·0}{0-1}=0$

Skjering med x-aksen (nullpunkt)

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ \frac{3x}{x-1}& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

No kjenner vi så mye til forløpet av grafen at det er relativt enkelt å teikne ei skisse av grafen for hand. (Grafen er teikna i GeoGebra.)