Hopp til innhald
Fagartikkel

Analyse av rasjonale funksjonar

I analyse av rasjonale funksjonar er asymptotane viktige.

Som døme skal vi drøfte den rasjonale funksjonen f gitt ved

fx=3xx-1.

Definisjonsmengde

Når x=1, blir nemnaren null. Funksjonen er ikkje definert for x=1. Da kan vi skrive

Df=\1

Asymptotar

Vertikal asymptote

Linja x=a er ein vertikal asymptote dersom nemnaren blir null og teljaren blir eit tal ulikt null for  x=a.

For x=1 blir teljaren lik 3·x=3·1=3, og nemnaren blir  x-1=1-1=0.

Det tyder at x=1 er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja y=a er ein horisontal asymptote for ein funksjon f dersom

limx±fx=a

limx±fx = limx±3xx-1=limx±3xxxx-1x=limx±3xxxx-1x=limx±31-1x=31-0=3

Det tyder at y=3 er horisontal asymptote.

Verdimengde

f kan ha alle funksjonsverdiar unnateke 3. Verdimengda er difor

Vf=\3

Monotonieigenskapar og topp- og botnpunkt

Vi undersøker forteiknet til f'x.

f'x=3x'·x-1-3x·x-1'x-12=3·x-1-3x·1x-12=-3x-12

Nemnaren x-12 er alltid positiv, og teljaren er alltid negativ.

Det tyder at grafen alltid søkk i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikkje topp- eller botnpunkt.

Krumningsforhold og vendepunkt

Vi undersøker forteiknet til f''x.

f''x=-3'·x-12--3x-12'x-14=3·2x-1x-14=6x-13

Nemnaren x-13 er negativ for x, 1 og positiv for x1, . Teljaren er alltid positiv. Det gir den følgande forteiknslinja for f''x:

Av forteiknslinja kan vi lese at grafen vender si hole side ned for x, 1 og si hole side opp for x1, . Eit eventuelt vendepunkt måtte vore for x=1, men for denne verdi er ikkje funksjonen definert. Det vil seie at grafen ikkje har noko vendepunkt.

Skjeringspunkt mellom grafen og koordinataksane

Det kan også vere nyttig å ta med eventuelle skjeringspunkt med koordinataksane i drøftinga.

Skjering med y-aksen

f0=3·00-1=0

Skjering med x-aksen (nullpunkt)

  fx = 03xx-1=0    3x=0      x=0

No kjenner vi så mye til forløpet av grafen at det er relativt enkelt å teikne ei skisse av grafen for hand. (Grafen er teikna i GeoGebra.)

Analyse av ein rasjonal funksjon. Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0