Analyse av polynomfunksjonar

Vi kan finne monotonieigenskapane til ein funksjon berre ut ifrå funksjonsuttrykket til funksjonen.

Frå sida "Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte" har vi at vi kan finne monotonieigenskapane til funksjonen ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Vi samanfattar resultatet frå denne sida:

• Når grafen stig, er den deriverte positiv og funksjonen veks.
• Når grafen søkk, er den deriverte negativ og funksjonen minkar.
• Når grafen har topp- eller botnpunkt, er den deriverte lik 0.

Det betyr at vi kan finne monotonieigenskapane til funksjonen – utan å teikne grafen – ved å derivere funksjonsuttrykket og teikne forteiknslinje for den deriverte. Vi bruker dette til å analysere polynomfunksjonar i døma nedanfor.

Finn ved rekning når grafen til funksjonen $f$ gitt ved $$ f\left(x\right)=-x^2+4x-3 $$ stig, og når han søkk. Finn òg eventuelle topp- og botnpunkt på grafen.

Løysing

Å finne ved rekning kan bety både å rekne for hand og å bruke CAS. Vi viser begge delar. Først løyser vi oppgåva for hand.

Vi deriverer $$ f\left(x\right).$$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & -x^2+4x-3\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& -2x+4\end{array}$

Vi set så $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$\begin{array}{rcl} f^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ -2x+4& =& 0\\ & & \\ -2x& =& -4\\ & & \\ x& =& 2\end{array}$

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige $x$-verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla $\langle \leftarrow , 2\rangle$ og $⟨2, \to ⟩$ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(0\right)& = & -2·0+4=4>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(3\right)& =& -2·3+4=-2<0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$. Vi gjer det for lettare å sjå kva slags type punkt nullpunktet til den deriverte er.

Vi ser av forteiknslinja at $f\left(x\right)$ veks for $$ x\in ⟨\leftarrow , 2⟩$$ og at $f\left(x\right)$ minkar når $$ x\in ⟨2, \to ⟩$$.

Grafen til $f\left(x\right)$ har derfor eit toppunkt når $$ x=2$$. Toppunktet er $\left(2, f\left(2\right)\right)=\left(2, 1\right)$ fordi

$f\left(2\right)=-2^2+4·2-3=1$

I dette dømet visste vi eigentleg frå før at grafen har eit toppunkt, sidan det er grafen til ein andregradsfunksjon med negativt tal føre andregradsleddet.

Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi $$ f\left(2\right)=1$$.

Vi kan teikne grafen i GeoGebra, finne toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.

Løysing med CAS

Vi kan òg bruke CAS til å drøfte monotonieigenskapar og finne topp- og botnpunkt. Sidan GeoGebra ikkje kan teikne forteiknsskjema for oss, løyser vi ulikskapen  $$ f^{\text{'}}\left(x\right)>0$$  for å finne ut kvar grafen er stigande. Det er når  $$ x<2$$. Då veit vi samtidig at han er søkkande alle andre stader sett bort frå der han er null, det vil seie at grafen er søkkande når  $$ x>2$$. Vi får derfor at grafen har eit toppunkt for $$ x=2$$.

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Drøft monotonieigenskapane til $f$ og finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til $f$.

Løysing

Først løyser vi oppgåva for hand.

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{3}·3·x^2-\frac{1}{2}·2·x^1-2\\ & & \\ & =& x^2-x-2\end{array}$

Vi set så $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$\begin{array}{rcl} f^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ x^2-x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ & =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x_1& =& -1\\ & & \\ x_2& =& 2\end{array}$

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 2⟩$ og $⟨2, \to ⟩$ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-2\right)& = & {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2=4>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(0\right)& =& {\left(0\right)}^2-\left(0\right)-2=-2<0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(3\right)& =& {\left(3\right)}^2-\left(3\right)-2=4>0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av forteiknslinja at

• grafen stig for $$ x\in ⟨\leftarrow , -1⟩\cup ⟨2, \to ⟩$$
• grafen søkk for $$ x\in ⟨-1, 2⟩$$

Grafen til $f\left(x\right)$ har altså eit toppunkt når $$ x=-1 $$ og eit botnpunkt når $$ x=2$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(-1\right)& = & \frac{1}{3}{\left(-1\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+1=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2+1\\ & & \\ & =& -\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{12}{6}+\frac{6}{6}=\frac{13}{6}\\ & & \\ f\left(2\right)& =& \frac{1}{3}{\left(2\right)}^3-\frac{1}{2}{\left(2\right)}^2-2\left(2\right)+1=\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4+1\\ & & \\ & =& \frac{16}{6}-\frac{12}{6}-\frac{24}{6}+\frac{6}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}\end{array}$$

Toppunktet er $$ \left(-1, f\left(-1\right)\right)=\left(-1, \frac{13}{6}\right).$$

Botnpunktet er $$ \left(2, f\left(2\right)\right)=\left(2, -\frac{7}{3}\right).$$

Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum $$ f\left(-1\right) =\frac{13}{6}.$$

Vi seier òg at funksjonen har minimalverdi eller minimum $$ f\left(2\right)=-\frac{7}{3}.$$

Vi kan teikne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.

Løysing med CAS

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Linje 3 i CAS-løysinga gir at grafen er stigande når  $$ x<-1$$  og når  $$ x>2$$. Det betyr at grafen er søkkande når  $$ -1<x<2$$. Då må grafen ha eit toppunkt for$$ x=-1$$ og eit botnpunkt for $$ x=2$$.

Nedanfor kan du sjå ein gjennomgang av døme 2 i tillegg til eit par andre døme.