Analyse av polynomfunksjonar
Vi kan finne monotonieigenskapane til ein funksjon berre ut ifrå funksjonsuttrykket til funksjonen.
Frå sida "Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte" har vi at vi kan finne monotonieigenskapane til funksjonen ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Vi samanfattar resultatet frå denne sida:
- Når grafen stig, er den deriverte positiv og funksjonen veks.
- Når grafen søkk, er den deriverte negativ og funksjonen minkar.
- Når grafen har topp- eller botnpunkt, er den deriverte lik 0.
Det betyr at vi kan finne monotonieigenskapane til funksjonen – utan å teikne grafen – ved å derivere funksjonsuttrykket og teikne forteiknslinje for den deriverte. Vi bruker dette til å analysere polynomfunksjonar i døma nedanfor.
Finn ved rekning når grafen til funksjonen gitt ved stig, og når han søkk. Finn òg eventuelle topp- og botnpunkt på grafen.
Løysing
Å finne ved rekning kan bety både å rekne for hand og å bruke CAS. Vi viser begge delar. Først løyser vi oppgåva for hand.
Vi deriverer
Vi set så
Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige
Vi kan då setje opp forteiknslinja til
Vi ser av forteiknslinja at
Grafen til
I dette dømet visste vi eigentleg frå før at grafen har eit toppunkt, sidan det er grafen til ein andregradsfunksjon med negativt tal føre andregradsleddet.
Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi
Vi kan teikne grafen i GeoGebra, finne toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.
Løysing med CAS
Vi kan òg bruke CAS til å drøfte monotonieigenskapar og finne topp- og botnpunkt. Sidan GeoGebra ikkje kan teikne forteiknsskjema for oss, løyser vi ulikskapen
Funksjonen
Drøft monotonieigenskapane til
Løysing
Først løyser vi oppgåva for hand.
Vi deriverer
Vi set så
Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla
Vi kan då setje opp forteiknslinja til
Vi ser av forteiknslinja at
- grafen stig for
x ∈ ⟨ ← , - 1 ⟩ ∪ ⟨ 2 , → ⟩ - grafen søkk for
x ∈ ⟨ - 1 , 2 ⟩
Grafen til
Toppunktet er
Botnpunktet er
Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum
Vi seier òg at funksjonen har minimalverdi eller minimum
Vi kan teikne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.
Løysing med CAS
Linje 3 i CAS-løysinga gir at grafen er stigande når
Nedanfor kan du sjå ein gjennomgang av døme 2 i tillegg til eit par andre døme.