Hopp til innhald
Fagartikkel

Analyse av polynomfunksjonar

Vi kan bruke den deriverte til å finne monotonieigenskapane og topp- og botnpunkt på grafen til ein funksjon. Dette kan vi gjere ved rekning, utan å teikne grafen.

Vi kan finne monotonieigenskapane til ein funksjon berre ut ifrå funksjonsuttrykket til funksjonen.

Frå sida "Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte" har vi at vi kan finne monotonieigenskapane til funksjonen ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Vi samanfattar resultatet frå denne sida:

  • Når grafen stig, er den deriverte positiv og funksjonen veks.
  • Når grafen søkk, er den deriverte negativ og funksjonen minkar.
  • Når grafen har topp- eller botnpunkt, er den deriverte lik 0.

Det betyr at vi kan finne monotonieigenskapane til funksjonen – utan å teikne grafen – ved å derivere funksjonsuttrykket og teikne forteiknslinje for den deriverte. Vi bruker dette til å analysere polynomfunksjonar i døma nedanfor.

Døme 1

Finn ved rekning når grafen til funksjonen f gitt ved  fx=-x2+4x-3  stig, og når han søkk. Finn òg eventuelle topp- og botnpunkt på grafen.

Løysing

Å finne ved rekning kan bety både å rekne for hand og å bruke CAS. Vi viser begge delar. Først løyser vi oppgåva for hand.

Vi deriverer fx.

fx = -x2+4x-3f'x=-2x+4

Vi set så  f'x=0.

   f'x = 0-2x+4=0    -2x=-4        x=2

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige x-verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla , 2 og 2,  for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0 = -2·0+4=4>0f'3=-2·3+4=-2<0

Vi kan då setje opp forteiknslinja til f'x. Vi gjer det for lettare å sjå kva slags type punkt nullpunktet til den deriverte er.

Vi ser av forteiknslinja at fx veks for  x, 2 og at fx minkar når  x2, .

Grafen til fx har derfor eit toppunkt når  x=2. Toppunktet er 2, f2=2, 1 fordi

f2=-22+4·2-3=1

I dette dømet visste vi eigentleg frå før at grafen har eit toppunkt, sidan det er grafen til ein andregradsfunksjon med negativt tal føre andregradsleddet.

Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi  f(2)=1.

Vi kan teikne grafen i GeoGebra, finne toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.

Løysing med CAS

Vi kan òg bruke CAS til å drøfte monotonieigenskapar og finne topp- og botnpunkt. Sidan GeoGebra ikkje kan teikne forteiknsskjema for oss, løyser vi ulikskapen  f'(x)>0  for å finne ut kvar grafen er stigande. Det er når  x<2. Då veit vi samtidig at han er søkkande alle andre stader sett bort frå der han er null, det vil seie at grafen er søkkande når  x>2. Vi får derfor at grafen har eit toppunkt for x=2.

Døme 2

Funksjonen f er gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Drøft monotonieigenskapane til f og finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f.

Løysing

Først løyser vi oppgåva for hand.

Vi deriverer fx.

fx = 13x3-12x2-2x+1f'x=13·3·x2-12·2·x1-2=x2-x-2

Vi set så  f'x=0.

    f'x = 0x2-x-2=0         x=--1±-12-4·1·-22·1         =1±92         x1=-1         x2=2

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla , -1, -1, 2 og 2,  for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-2 = -22--2-2=4>0f'0=02-0-2=-2<0f'3=32-3-2=4>0

Vi kan då setje opp forteiknslinja til f'x.

Vi ser av forteiknslinja at

  • grafen stig for  x, -12, 
  • grafen søkk for  x-1, 2

Grafen til fx har altså eit toppunkt når  x=-1  og eit botnpunkt når  x=2.

f-1 = 13-13-12-12-2-1+1=-13-12+2+1     =-26-36+126+66=136f2=1323-1222-22+1=83-42-4+1     =166-126-246+66=-146=-73

Toppunktet er -1, f-1=-1, 136.

Botnpunktet er 2, f2=2, -73.

Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum f-1 =136.

Vi seier òg at funksjonen har minimalverdi eller minimum f2=-73.

Vi kan teikne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.

Løysing med CAS

Linje 3 i CAS-løysinga gir at grafen er stigande når  x<-1  og når  x>2. Det betyr at grafen er søkkande når  -1<x<2. Då må grafen ha eit toppunkt forx=-1 og eit botnpunkt for x=2.

Nedanfor kan du sjå ein gjennomgang av døme 2 i tillegg til eit par andre døme.

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0