Hopp til innhald
Fagartikkel

Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte

Korleis vil du beskrive grafen til ein funksjon?

Monotonieigenskapar

Monotonieigenskapane til ein funksjon fortel kor grafen til funksjonen stig og kor han søkk.

Å analysere og tolke ein funksjon betyr gjerne at vi undersøkjer monotonieigenskapar og bestemmer topp- og botnpunkt på grafen. Vidare kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkt, krummingsforhold og vendepunkt (meir om dette på ei anna fagstoffside).

Døme 1

Finn monotonieigenskapane til funksjonen f ut ifrå grafen til funksjonen nedanfor.

Løysing

Vi observerer at grafen har toppunktet 2, 1. Grafen til funksjonen stig når  x<2  og søkk når  x>2. Monotonieigenskapane til funksjonen er derfor at

  • funksjonen veks for  x<2
  • funksjonen minkar for  x>2

Monotonieigenskapar og den deriverte

Utforsking

Teikn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3-52x+1

Teikn deretter tangentar til grafen for nokre x-verdiar mellom -2 og 3.

Undersøk om det er ein samanheng mellom stigingstalet til tangentane og om grafen stig, søkk eller har topp- og botnpunkt.

Nedanfor kan du dra i det raude punktet på grafen og sjå korleis stigingstalet a til tangenten endrar seg.

Du vil oppdage at

  • stigingstalet til tangenten er positivt når grafen stig
  • stigingstalet til tangenten er negativt når grafen søkk
  • stigingstalet til tangenten er 0 i topp- og botnpunkt

Oppsummering

Stigingstalet til tangenten er lik den deriverte til funksjonen.

Når grafen stig, er den deriverte positiv og funksjonen veks.

Når grafen søkk, er den deriverte negativ og funksjonen minkar.

Når grafen har topp- eller botnpunkt, er den deriverte lik 0.

Dette betyr at vi kan finne ut for kva verdiar av x grafen til ein funksjon stig, for kva verdiar av x han søkk, og når han har topp- eller botnpunkt, ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Forteiknslinjer kan hjelpe oss med dette.

Forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen

Vi kan beskrive eigenskapane til ein funksjon ved å teikne forteiknslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.

Døme 2

Teikn forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i døme 1 over.

Løysing

Forteiknslinja til funksjonen blir bestemd av om grafen ligg over eller under x-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkt for  x=1  og  x=3. Det betyr at

  • f(x)>0  når  1<x<3
  • f(x)<0  når  x<1  og når  x>3
  • f(x)=0  når  x=1  og når  x=3

Vi fann monotonieigenskapane til funksjonen i døme 1. Det betyr at

  • f'(x)>0  når  x<2
  • f'(x)<0  når  x>2
  • f'(x)=0  når  x=2

Denne informasjonen kan vi samanfatte i eit felles forteiknsskjema for f og f'.

Nedanfor har vi vist korleis vi kan teikne forteiknsskjemaet inn i koordinatsystemet saman med grafen.