Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte
Monotonieigenskapane til ein funksjon fortel kor grafen til funksjonen stig og kor han søkk.
Å analysere og tolke ein funksjon betyr gjerne at vi undersøkjer monotonieigenskapar og bestemmer topp- og botnpunkt på grafen. Vidare kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkt, krummingsforhold og vendepunkt (meir om dette på ei anna fagstoffside).
Døme 1
Finn monotonieigenskapane til funksjonen ut ifrå grafen til funksjonen nedanfor.
Løysing
Vi observerer at grafen har toppunktet
- funksjonen veks for
x < 2 - funksjonen minkar for
x > 2
Utforsking
Teikn grafen til tredjegradsfunksjonen
Teikn deretter tangentar til grafen for nokre
Undersøk om det er ein samanheng mellom stigingstalet til tangentane og om grafen stig, søkk eller har topp- og botnpunkt.
Nedanfor kan du dra i det raude punktet på grafen og sjå korleis stigingstalet
Du vil oppdage at
- stigingstalet til tangenten er positivt når grafen stig
- stigingstalet til tangenten er negativt når grafen søkk
- stigingstalet til tangenten er 0 i topp- og botnpunkt
Oppsummering
Stigingstalet til tangenten er lik den deriverte til funksjonen.
Når grafen stig, er den deriverte positiv og funksjonen veks.
Når grafen søkk, er den deriverte negativ og funksjonen minkar.
Når grafen har topp- eller botnpunkt, er den deriverte lik 0.
Dette betyr at vi kan finne ut for kva verdiar av
Vi kan beskrive eigenskapane til ein funksjon ved å teikne forteiknslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.
Døme 2
Teikn forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i døme 1 over.
Løysing
Forteiknslinja til funksjonen blir bestemd av om grafen ligg over eller under
nårf ( x ) > 0 1 < x < 3 nårf ( x ) < 0 og nårx < 1 x > 3 nårf ( x ) = 0 og nårx = 1 x = 3
Vi fann monotonieigenskapane til funksjonen i døme 1. Det betyr at
nårf ' ( x ) > 0 x < 2 nårf ' ( x ) < 0 x > 2 nårf ' ( x ) = 0 x = 2
Denne informasjonen kan vi samanfatte i eit felles forteiknsskjema for
Nedanfor har vi vist korleis vi kan teikne forteiknsskjemaet inn i koordinatsystemet saman med grafen.