Analyse av eksponentialfunksjonar

Du har lært frå 1T at ein funksjon $$ f$$ på forma  $$ f\left(x\right)=k·a^x$$ blir kalla ein eksponentialfunksjon. Talet $$ a$$ blir kalla vekstfaktoren.

Eksponentialfunksjonar er berre definerte for positive verdiar av $$ a$$, og vi føreset at også $$ k$$ er positiv.

Utforsking

Før du les vidare, kan du sjølv ved hjelp av den deriverte og den dobbeltderiverte av eksponentialfunksjonen sjå om du kan finne ut noko om monotonieigenskapar, nullpunkt, vendepunkt, krumningsforhold og andre ting som gjeld for eksponentialfunksjonar.

Eksponentialfunksjonen

$$ \begin{array}{c}f\left(x\right)=k·a^x\\ \Downarrow \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=k·a^x·\ln a\\ \Downarrow \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=k·a^x·{\left(\ln a\right)}^2\end{array}$$

Sidan $$ a^x$$ alltid er positiv, og vi har føresett at $$ k$$ er positiv, viser den deriverte at

• viss $$ \ln a$$ er positiv, er $$ f$$ strengt veksande, det vil seie at han veks i heile definisjonsområdet sitt
• viss $$ \ln a$$ er negativ, er $$ f$$ strengt avtakande, det vil seie at han avtek i heile definisjonsområdet sitt

• viss $$ \ln a$$ er null, er  $$ f\left(x\right)=k$$

  
  

Sidan $$ \ln a<0 $$ når $$ a<1, \ln a=0 $$ når $$ a=1$$, og $$ \ln a>0$$  når $$ a>1$$, betyr dette at

• $$ f$$ er strengt veksande når  $$ a>1$$
• $$ f$$ er strengt avtakande når  $$ a<1$$
• $$ f\left(x\right)=k$$  når  $$ a=1$$

Det betyr vidare at

• eksponentialfunksjonen ikkje har nullpunkt
• eksponentialfunksjonen ikkje har topp- eller botnpunkt

Den dobbeltderiverte er positiv for alle  $$ a\ne 1$$. Det betyr at

• eksponentialfunksjonen vender den hole sida opp når $$ a\ne 1$$
• eksponentialfunksjonen ikkje har vendepunkt når $$ a\ne 1$$

Når  $$ a=1$$, er  $$ f\left(x\right)=k$$, og grafen er ei rett linje parallell med $$ x$$-aksen.

Vi kan òg merke oss at  $$ f\left(0\right)=k·a^0=k$$, som betyr at eksponentialfunksjonen alltid skjer $$ y$$-aksen i punktet $$ \left(0, k\right)$$.

Prøv sjølv!

Du kan sjekke ut konklusjonane i GeoGebra ved å lage glidarar for $$ a\text{ og} k$$ og skrive inn funksjonsuttrykket  $$ f\left(x\right)=k·a^x$$. Nedanfor har vi laga ferdig eit slikt geogebraark der du kan dra i glidarane for $$ k$$ og $$ a$$.