Ekstremalpunkt og terrassepunkt. Stasjonære punkt

Vi kallar andrekoordinaten til eit toppunkt eit maksimum eller ein maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til eit botnpunkt eit minimum eller ein minimalverdi. Begge desse er ekstremalverdiar.

Nokre funksjonar kan ha fleire topp- eller botnpunkt. Derfor er maksimal- og minimalverdiane ofte berre lokale maksimal- og minimalverdiar. Det vil seie at dei er maksimal- og minimalverdiar i eit intervall omkring ekstremalpunktet.

Vi skal ved rekning finne når funksjonen $f$ gitt ved$$ f\left(x\right)=x^3 $$veks og når han minkar. Vidare skal vi finne eventuelle ekstremalpunkt.

Løysing

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2$

Vi set så$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ 3x^2& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

Vi får berre éi løysing.

Vi tek stikkprøver i kvart av dei to intervalla $\langle \leftarrow , 0\rangle$ og $⟨0, \to ⟩$.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}(-1)& = & 3·{\left(-1\right)}^2=3>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(1\right)& =& 3·{\left(1\right)}^2=3>0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Olav Kristensen

Denne forteiknslinja er spesiell sidan den deriverte ikkje skiftar forteikn i nullpunktet.

Grafen har verken topp- eller botnpunkt for $x=0$, men sidan den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for $x=0$. Eit slikt punkt på grafen kallar vi for eit terrassepunkt.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Olav Kristensen

Eit stasjonært punkt på ein graf blir karakterisert ved at den deriverte er null i punktet. Dersom den deriverte skiftar forteikn, er det stasjonære punktet eit topp- eller botnpunkt. Dersom den deriverte ikkje skiftar forteikn, er det stasjonære punktet eit terrassepunkt.