Blanda oppgåver om grenseverdi, vekstfart, kontinuitet og derivasjon
På denne oppgåvesida finn du alle løysingane nedst nede, ikkje under kvar enkelt oppgåve. Prøv å unngå å sjå på løysinga før du har gjort ditt beste for å løyse oppgåva sjølv!
2.1
Finn grenseverdien dersom han eksisterer. Bruk gjerne CAS til å kontrollere om du har riktig svar.
a)
b) limx→2x-2x2-3x+2
c) limx→016-x-4x
d) limx→∞x2-4x+12-3x2
e) limx→−2x−1x+2x2−2
f) limx→±∞2x2−5x2−x+3
2.2
Under ser du grafen til fx, teikna med blå farge, og grafen til f'x, teikna med raud farge. Ta utgangspunkt i det du ser, og prøv å seie så mykje som mogleg om samanhengen mellom funksjonen og den deriverte.
Tips til oppgåva
Her er det mykje å ta av! Vi kan sjå på samanhengen mellom topp- og botnpunktet til f og nullpunkta til f'. Vi kan sjå på samanhengen mellom forteiknet til f' og retninga til f. Kanskje kan du finne andre samanhengar òg?
2.3
Deriver funksjonsuttrykka.
a) fx=x2+5
b) fx=5x3-x+4
c) fx=(2-x2)(x+1)
d) gx=x2+3x3
2.4
Deriver funksjonsuttrykka.
a) y(x)=3x2+2x-1
b) g(x)=(3x+2)(4x2-2x)
c) hx=(x2+1)(x+4+1x)
d) ix=2+x2x2-x-2
2.5
Deriver funksjonane.
a) fx=ex3+4x
b) gt=ln2t+5x
c) hx=34x3+lnx3
2.6
Deriver funksjonsuttrykka.
a) fx=5ex3ex+1
b) gx=ln(2x+4)
c) fx=xlnx
2.7
a) Undersøk om kx er diskontinuerleg nokon stader.
kx=x2-3x<12x-4x>1
b) Undersøk om funksjonen fx er kontinuerleg for x=0.
fx=xx>02xx≤0
c) Undersøk om funksjonen gx er kontinuerleg for x=0.
gx=x2+2x+1x≤02x+1x>0
d) Undersøk om hx er kontinuerleg for x=1.
hx=2x+3x≥1x2x<1
2.8
a) Vi har gitt funksjonen fx=x2·ex. Finn likninga for tangenten i punktet 1,f1.
b) Vi har gitt funksjonen fx=x2·x+3. Finn likninga for tangenten i punktet 1,f1.
c) Vi har gitt funksjonen gx=3x+2x. Finn likninga for tangenten i punktet 2,g(2).
2.9
For deloppgåvene under skal du teikne ei skisse av ein graf som oppfyller kriteria. (Du skal teikne éin graf per deloppgåve.)
a) Ein funksjon f er diskontinuerleg i punktet -2,f-2.
b) Ein funksjon h er kontinuerleg i heile ℝ. Den deriverte skiftar aldri forteikn. Han har ein tangent med stigingstal 0 der x=2.
c) For ein funksjon j er limx→2-jx=1 og limx→2+jx=2.
2.10 – miniprosjekt
Kan du lage eit program som kan ta imot og derivere ulike typar funksjonar?
Tips til oppgåva
Her kan du bruke numeriske metodar for å finne den deriverte. Hugs at du må få programmet til å kjenne igjen funksjonen brukaren tastar inn. Kanskje må du leggje inn nokre avgrensingar på kva slags funksjonar programmet kan derivere, eller du kan få brukaren til å fortelje deg kva slags funksjon som blir tasta inn.
Løysingar
2.1
a)
limx→22x3-3x+1=2·23-3·2+1=16-6+1=11
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
b)
limx→2x-2x2-3x+2
Vi prøver å setje inn 2 for x:
limx→2x-2x2-3x+2=2-222-3·2+2=00
Sidan vi får 0 i både teljaren og nemnaren, prøver vi å forkorte uttrykket:
limx→2x-2x2-3x+2=limx→2x-2·1(x-1)·x-2=limx→2x-2·1(x-1)·x-2=limx→21(x-1)=12-1=1 Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
c)
limx→016-x-4x
Vi set inn 0 for x og observerer at vi får 0 i både teljaren og nemnaren:
16-0-40=00
Vi bruker konjugatsetninga til å utvide brøken, slik at vi kan forkorte uttrykket:
Vi ser at både teljaren og nemnaren går mot uendeleg. Vi dividerer teljaren og nemnaren med høgaste potens av x: limx→∞x2-4x+12-3x2=limx→∞x2x2-4xx2+1x22x2-3x2x2=limx→∞1-4x+1x22x2-3=1-0+00-3=-13
Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra:
e)
Vi observerer at teljaren og nemnaren begge blir 0, og vi bruker konjugatsetninga for å forkorte uttrykket:
Vi observerer at kx ikkje er definert for x=1. For alle andre verdiar av x er funksjonen kontinuerleg, sidan alle polynomfunksjonar er kontinuerlege i heile ℝ. Funksjonen er altså kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt og er ikkje diskontinuerleg i nokon punkt.
b)
Vi undersøkjer om funksjonen er kontinuerleg i punktet, det vil seie om limx→0-fx=fx=limx→0+fx: