Fakultet, Pascals taltrekant og binomialformelen

Sjå nøye på det følgjande uttrykket:

$$ 230-220·\frac{1}{2}$$

Verdien av dette er faktisk 5!

Dette blir vel ikkje 5, men 120 tenkjer du, kanskje? Du har i så fall heilt rett, men det som står over, er òg riktig. Vi skal sjå på korleis det er mogleg.

Tenk deg at du har fem teljebrikker med ulike fargar. Vi skal rekne ut på kor mange måtar vi kan sortere desse. Det betyr at vi ikkje kan bruke nokon brikker om igjen, og at det har noko å seie kva rekkjefølgje vi legg brikkene i. Vi har 5 moglegheiter på plass nummer 1, 4 moglegheiter på plass nummer 2 og så vidare. Dette kan vi skrive som$$ 5·4·3·2·1=120$$. Vi kan altså leggje brikkene etter kvarandre på 120 måtar. Med 15 ulike fargar kunne vi ha funne talet på moglege måtar å sortere brikkene på ved å rekne slik:

$$ 15·14·13·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=1307674368000$$

Når vi får så lange uttrykk, er det praktisk å kunne forenkle det. Derfor har vi i matematikken funne eit namn og eit symbol til denne reknemåten som vi bruker så ofte. Produktet av alle naturlege tal frå 1 til n kallar vi for n-fakultet. Som symbol bruker vi utropsteikn. Utropsteiknet set vi etter talet. Til dømes skriv vi 5-fakultet som 5!, og vi har at $$ 5!=1·2·3·4·5=120$$. Det lange uttrykket over blir 15!.

No ser du at svaret vårt øvst på sida er heilt rett:

$$ 230-220·\frac{1}{2}=230-110=120=5!$$

Definisjonen av n-fakultet som produktet av alle naturlege tal frå 1 til n, har inga meining for n = 0. Som så ofte elles (tenk til dømes på at $$ {\mathrm{n}}^0=1$$), har matematikarar likevel laga ein definisjon som gjer at reknereglar som verkar for alle andre tal, òg verkar for 0. 0! er definert som 1.

Blaise Pascal (1623–1662) var ein kjend fransk matematikar. Ein spesiell taltrekant har fått namn etter Pascal, sjølv om trekanten var kjend i mange hundre år før han levde. Vi skal bruke denne trekanten til å løyse problem innan kombinatorikk og sannsyn, men han har andre nyttige bruksområde òg.

For å bli kjend med trekanten skal vi gjere ei lita øving. Sjå nøye på trekanten til høgre. Vi har byrja å fylle inn tal i nokre av rutene.

Prøv å finne ut korleis vi har funne desse tala. Hald fram etter det same mønsteret, og fyll inn tal i alle rutene.

Pascals trekant

Vi kallar den øvste rada i Pascals taltrekant for rad nummer 0 (grunnen til dette skal vi sjå på lengre ned i denne artikkelen). Den andre rada blir då rad nummer 1. I trekanten over har vi valt å lage 10 rader, som betyr at den nedste rada er rad nummer 9. Trekanten kan utvidast vidare etter det same mønsteret.

Trekanten blir bygd opp ved å setje einarar på kantane. Kvart tal innanfor einarane skal vere summen av dei to tala som er på kvar side av talet i rada over. Talet 10 på rad nummer 5 (den sjette rada) får vi til dømes ved å finne summen av dei to tala i rada over, som er 4 og 6.

I ei skål ligg det tre teljebrikker: ei raud, ei gul og ei blå.

Dersom du skal trekkje ut éi brikke frå skåla, har du tre moglegheiter. Du kan anten trekkje den raude, den gule eller den blå.

Det finst òg tre måtar å trekkje ut to brikker på: Du kan trekkje ut raud og gul, raud og blå eller blå og gul. Her går vi ut frå at vi trekkjer utan tilbakelegging og ser bort frå rekkjefølgja.

Det finst berre éin måte å trekkje ut tre brikker på, nemleg å trekkje alle dei tre brikkene. Vi kan òg seie at det berre finst éin måte å trekkje ut null brikker på: Du kan la vere å trekkje.

No skal vi gjere ei øving. Her er det lurt å samarbeide med ein medelev. Dersom du gjer øvinga åleine: Tenk nøye gjennom kva du gjer.

Først skal vi la skåla vere heilt tom. På kor mange måtar kan vi trekkje null brikker frå skåla?

Så legg vi éi brikke i skåla. Her kan vi trekkje anten null brikker eller éi brikke. På kor mange måtar kan vi trekkje 0 brikker? På kor mange måtar kan vi trekkje éi brikke?

No skal de auke talet på brikker i skåla. For kvar gong de har auka talet på brikker, skal de finne ut på kor mange måtar de kan trekkje 0, 1, 2 ... brikker frå skåla. Fyll ut tabellen som vi har byrja på under.

Kjenner du igjen talmønsteret du får?

Vi har sett at vi kan bruke Pascals trekant til å finne ut på kor mange måtar vi til dømes kan trekkje ut to brikker av fem. Dette har matematikarar bestemt av vi kan skrive slik:

$$ \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10$$

$$ \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$$ les vi som "fem over to".

Å ta ut eit volleyballag

Vi kan òg sjå på eit døme der vi ikkje like enkelt kan telje opp dei ulike måtane vi kan lage kombinasjonar på.

Ein volleyballtrenar har ni spelarar i troppen og skal ta ut eit lag på seks spelarar. Kor mange ulike lag kan han setje saman?

Vi skal altså trekkje ut seks av ni spelarar. Vi går inn i Pascals trekant på rad nummer 9 på plass nummer 6 og finn at talet på ulike lag er 84.

Dette kan vi òg skrive som "ni over seks":

$$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)=84$$

Den generelle binomialkoeffisienten

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ og $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)$ kallar vi binomialkoeffisientar.

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ er binomialkoeffisienten av $n$ og $r$, og det les vi som "$n$ over $r$".

Vi kan òg skrive dette som nCr. C står her for kombinasjonar, eller rettare sagt det engelske ordet "combinations".

Talet $n$ står for talet på element totalt, og talet $r$ står for talet på element i utvalet.

I Pascals trekant står $n$ for radnummer når den første rada har nummer null. $r$ står for plassnummer på ruta i rada når vi startar frå venstre og tel ruter frå null og innover.

Dersom vi bruker binomialkoeffisientar, kan vi fylle ut radene i Pascals trekant som vist nedanfor. Her er det øvste talet i binomialkoeffisientane radnummeret, og det nedste talet er plassnummeret på rada.

$$ $ \begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\end{array}$$$

Vi treng ikkje teikne Pascals taltrekant for å finne talet på kombinasjonsmoglegheiter. Tala i Pascals trekant er bygd inn i dei fleste digitale verktøy.

Binomialkoeffisientar i GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan du bruke kommandoen nCr[<Tall n>,<Tall r>] der det første talet er talet på element totalt n, og det andre talet er talet på element i utvalet r.

Vi finn ut kor mange ulike lag volleyballtrenaren vår kunne lage ved hjelp av CAS:

Binomialkoeffisientar i Python

I Python kan vi som vi gjorde i oppgåve 4.2.4 lage eit program som tel opp talet på kombinasjonar for oss. Du kan jo prøve, men du vil kanskje merke at dette er eit omstendeleg og tidkrevjande arbeid. Heldigvis finst det hjelp å få. Vi kan importere ein generator som heiter combinations() frå biblioteket itertools som hjelper oss. Då blir programmet slik:

1from itertools import combinations
2
3spelarar = ["A","B","C","D","E","F","G","H","I"] #liste over spelarane
4
5comb = combinations(spelarar,6)
6Lag = list(comb)
7
8print(f"Talet på lag er {len(Lag)}.")

For å finne lengda må vi ha ei liste. Generatoren vi bruker her sorterer berre og resultatet "forsvinn" etter at det er brukt den første gongen. Så her bør ein venne seg til å lage lista ein treng med ein gong.

For å få svaret må vi køyre programmet. Kopier programmet inn i den editoren du plar bruke, og prøv det.