4.2.50
I kvart av tilfella nedanfor skal du avgjere om vi har eit ordna utval med tilbakelegging, eit ordna utval utan tilbakelegging eller eit uordna utval utan tilbakelegging. Hugs å tenkje nøye over kvifor du vel som du gjer.
a) Ein kodelås består av tre tal mellom 0 og 9. Kvart tal kan brukast fleire gonger.
Løysing
I dette tilfellet har rekkjefølgja noko å seie. Vi kan òg bruke tala mellom 0 og 9 fleire gonger. Vi har eit ordna utval med tilbakelegging.
b) Ein kodelås består av fem bokstavar. Kvar bokstav kan berre brukast éin gong.
Løysing
I dette tilfellet har rekkjefølgja noko å seie. Vi kan ikkje bruke bokstavane meir enn éin gong. Vi har eit ordna utval utan tilbakelegging.
c) Eit bilnummer består av to bokstavar og fem siffer.
Løysing
I dette tilfellet har rekkjefølgja noko å seie. Vi reknar med at vi kan bruke tal og bokstavar meir enn éin gong. Vi har eit ordna utval med tilbakelegging.
d) I klassen din skal det trekkjast ut éin leiar, éin festansvarleg og éin økonomiansvarleg. Den første som blir trekt ut, blir leiar, den neste som blir trekt ut, blir festansvarleg, og den siste som blir trekt ut, blir økonomiansvarleg.
Løysing
I dette tilfellet har rekkjefølgja noko å seie. Den same personen kan ikkje trekkjast to gonger. Vi har dermed eit ordna utval utan tilbakelegging.
e) I klassen din skal det trekkjast ut fire elevar som skal ta ansvar for ein klassefest.
Løysing
I dette tilfellet har ikkje rekkjefølgja noko å seie. Den same personen kan ikkje trekkjast to gonger. Vi har dermed eit uordna utval utan tilbakelegging.
4.2.51
Ein kodelås består av fem tal mellom 0 og 9. Det same talet kan brukast fleire gonger.
a) Kor mange ulike kodar kan du lage?
Løysing
Her har vi eit ordna utval med tilbakelegging. Vi har 10 valmoglegheiter kvar gong vi skal velje eit tal.
Vi får altså moglege kodar.
b) Kor mange ulike kodar kan du lage dersom du ikkje kan ha to like tal etter kvarandre?
Løysing
Her har vi eit utval som ikkje følgjer nokon av mønstera vi har sett på. Vi tenkjer på den same måten som i a), men hugsar at vi ikkje kan bruke det talet som står føre om igjen. På plass nummer 1 har vi 10 val, mens vi på plass nummer 2 kan velje alle dei 9 tala som ikkje står på plass nummer 1. Likeins har vi 9 val på plass nummer 3, 4 og 5.
Vi får altså moglege kodar.
4.2.52
a) Eit bilnummer består av to bokstavar og deretter fem tal mellom 0 og 9. Det kan veljast mellom 20 ulike bokstavar. Det første talet kan ikkje vere 0. Kor mange ulike bilnummer kan vi lage?
Løysing
Her kan vi velje mellom 20 bokstavar. Det første talet i bilnummeret blir valt mellom 9 ulike tal, mens dei fire siste blir valde mellom 10 ulike tal.
Vi får moglege bilnummer.
b) Eit anna bilnummer består av tre bokstavar og deretter fire tal mellom 0 og 9. Det kan veljast mellom 20 ulike bokstavar. Det første talet kan ikkje vere 0. Kor mange ulike bilnummer kan vi lage?
Løysing
Her kan vi velje mellom 20 bokstavar. Det første talet i bilnummeret blir valt mellom 9 ulike tal, mens dei 3 siste blir valde mellom 10 ulike tal.
Vi får moglege bilnummer.
4.2.53
Stefania, Dina, Joar, Jon og Henrik skal springe ein skulestafett. Dei trekkjer ut kven som skal springe dei ulike etappane.
a) Kor mange måtar kan vi setje opp stafettlaget på?
Løysing
Dette er eit ordna utval utan tilbakelegging. Her kan vi velje mellom 5 løparar til den første etappen, deretter 4 på den andre etappen og så vidare.
Det gir ulike måtar å setje opp laget på.
b) Det er bestemt på førehand at Henrik skal springe den siste etappen. Kor mange moglege stafettoppsett blir det no?
Løysing
No har vi berre 4 løparar å velje mellom til den første etappen, 3 til den andre og så vidare.
Det gir moglege stafettoppsett.
4.2.54
Ein kode på 3 bokstavar skal bestå av bokstavar frå det norske alfabetet. Ein bokstav kan berre brukast éin gong. Det er 29 bokstavar i det norske alfabetet. Kor mange ulike kodar kan du lage?
Løysing
Vi får ulike kodar.
4.2.55
a) Eit burettslag med 50 medlemmer skal velje eit styre med leiar, nestleiar og kasserar. Først vel dei leiar, deretter nestleiar og til slutt kasserar. Kor mange måtar kan styret setjast saman på?
Løysing
Styret kan setjast saman på ulike måtar.
b) Eit anna burettslag som òg består av 50 medlemmer, skal velje ut tre medlemmer til ein dugnadskomité. Kor mange ulike komitear er det mogleg å setje saman?
Løysing
Vi skal trekkje ut tre personar av 50. Det gjer vi ved å rekne ut .
Vi får altså 19 600 ulike moglegheiter for komiteen.
c) Forklar med dine eigne ord kvifor det blir langt færre moglegheiter i situasjonen som er beskriven i b) samanlikna med situasjonen i a).
Løysing
Det er mange ulike ordna utval som utgjer det same uordna utvalet. Tenk deg at personane A, B og C er trekt ut. Dersom vi hadde teke omsyn til rekkjefølgja, ville vi ha hatt seks ulike moglegheiter, nemleg permutasjonane ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA. Når vi ikkje tek omsyn til rekkjefølgja, dannar desse tre personane berre éin kombinasjon. Vi får derfor seks gonger så mange moglegheiter i situasjonen som er beskriven i a) samanlikna med situasjonen som er beskriven i b).
4.2.56
Det skal trekkjast ut to personar frå ei gruppe på fire personar.
a) Kva type utval er dette? Argumenter godt for svaret ditt.
Løysing
Dette er eit uordna utval utan tilbakelegging. Rekkjefølgja dei to personane blir trekt ut i, betyr ikkje noko. Ein elev kan heller ikkje bli trekt ut to gonger.
b) Vi lèt dei fire personane få bokstavane A, B, C og D. Lag eit program som kan skrive opp dei ulike kombinasjonane og telje opp talet på dei. Hugs å lage algoritme først.
Løysing – algoritme
1. Vi lagar ei liste over dei personane som er med.
2. Vi bruker ein metode for å hente ut dei ulike kombinasjonane.
3. Vi skriv ut dei ulike kombinasjonane og talet på kombinasjonar.
Løysing – program
Python
1from itertools import combinations
2Personar = ["A","B","C","D"] #lagar ei liste med dei aktuelle personane
3komb = combinations(Personer, 2) #generer alle kombinasjonar med to
4par = list(komb) #lagar ei liste av alle para
5for i in (par):
6 print(i) #lagar pen utskrift
7print(f"Det er {len(par)} kombinasjonar.") #finn talet på kombinasjonar
c) Bruk formelen for uordna utval utan tilbakelegging, og finn talet på ulike kombinasjonar.
Løysing
Talet på ulike kombinasjonar er
4.2.57
Du skal no sjå på nokre døme på forsøk som vi kan oppfatte som at vi legg n talet på nummererte lappar i ein hatt og trekkjer ut ein lapp r gonger. Denne oppgåva har ikkje løysingsforslag. Diskuter med medelevane dine dersom du er usikker. Tenk deg godt om før du spør læraren din.
a) Å kaste ein terning kan oppfattast som å plassere 6 lappar, nummererte frå 1 til 6, i ein hatt, og så trekkje 1 lapp. Kor mange moglege utfall finst det?
b) Å spele lotto kan oppfattast som å ha 34 lappar, nummererte frå 1 til 34, i ein hatt, og så trekkje 7 lappar. Kor mange moglege utfall finst det?
c) Å velje to elevar til elevrådet kan oppfattast som å ha 30 lappar, nummererte frå 1 til 30, i ein hatt, og så trekkje 2 lappar. Kor mange moglege utfall finst det?
d) Å velje leiar og nestleiar i klassen kan oppfattast som å ha 30 lappar, nummererte frå 1 til 30, i ein hatt, og så trekkje 2 lappar. Den første som blir trekt, blir leiar. Kor mange moglege utfall finst det?
e) Å tippe fotballkampar kan oppfattast som å ha 3 lappar, nummererte frå 1 til 3, i ein hatt, og så trekkje ein lapp 12 gonger. Kvar gong blir lappen lagd tilbake. Kor mange moglege utfall finst det?
f) Å lage ein bokstavkode på 3 bokstavar kan oppfattast som å ha 29 lappar, nummererte frå 1 til 29, i ein hatt, og så trekkje 3 lappar. Kor mange moglege utfall finst det?
g) Å velje ut 11 spelarar frå ein stall på 18 kan oppfattast som å ha 18 lappar, nummererte frå 1 til 18, i ein hatt, og så trekkje 11 lappar. Kor mange moglege utfall finst det?
h) Å velje ut 4 skiløparar til eit stafettlag frå ein stall på 8 kan oppfattast som å ha 8 lappar, nummererte frå 1 til 8, i ein hatt, og så trekkje 4 lappar. Kor mange moglege utfall finst det?
i) Her har vi den same situasjonen som i h), men vi tek òg omsyn til kven som skal gå dei ulike etappane. Kor mange moglege utfall finst det?
j) Å få utdelt 13 kort når du speler amerikanar, kan oppfattast som å ha 52 lappar, nummererte frå 1 til 52, i ein hatt, og så trekkje 13 lappar. Kor mange moglege utfall finst det?