Sannsyn og kombinatorikk – blanda oppgåver

a) Sjå biletet til høgre.

b) Vi går inn i den nedste linja og finn plass nummer 2 (det vil seie den tredje frå venstre), og vi ser at det er 6 måtar å trekkje ut 2 kuler på.

c) Vi går inn på plass nummer 3 (det vil seie den fjerde frå venstre), og vi ser at det er 4 måtar å trekkje ut 2 kuler på.

d) Som i b) finn vi dette svaret på den siste rada, plass 2. Vi har at $$ \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=6$$.

Ved rekning:

$$ \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!·2!}=\frac{\cancel{4}·3·2}{\cancel{2·2}}=6$$

a) Her skal vi trekkje ut tre personar av ti, det vil seie at vi kan finne talet ved hjelp av binomialformelen:

$$ \left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=10C3=120$$

Dei kan altså få 120 ulike arbeidsutval.

b) Her må vi sjå på det som talet på måtar vi kan sortere (permutere) dei 3 utvalde representantane på. Det kan vi gjere på $$ 3!=6$$ ulike måtar.

c) Denne kan vi løyse på (minst) to ulike måtar. Vi kan anten bruke tala vi har frå tidlegare i oppgåva og sjå på at for kvart av dei 120 ulike utvala kan vi få 6 ulike samansetningar:

$$ 120·6=720$$

Eller vi kan finne det direkte, vi har eit ordna utval utan tilbakelegging:

$$ \frac{10!}{7!}=10·9·8=720$$

d) Denne kan òg løysast på to måtar. Vi kan anten sjå på at alle i elevrådet har den same moglegheita til å bli sekretær, altså $$ \frac{1}{10}$$.

Eller vi ser at dersom Ali skal bli sekretær, må ein av dei andre bli både leiar og nestleiar:

$$ \frac{9}{10}·\frac{8}{9}·\frac{1}{8}=\frac{\cancel{9·8}·1}{10\cancel{·9·8}}=\frac{1}{10}$$

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

Talet på ulike moglege bilskilt er

$$ 20·9·10·10·10=180·{10}^3=1,8·{10}^5$$

b) Talet på moglege bilskilt er

$$ 20·9·10·10·10·10=180·{10}^4=1,8·{10}^6$$

c) Talet på moglege bilskilt er

$$ 20·20·9·10·10·10·10=3 600·{10}^4=3,6·{10}^7$$

d) Når det gjeld bokstavane, har han to moglegheiter: AR og RA. Når det gjeld siffera, må det første vere 1 eller større og det siste 9 eller mindre. Det gir 5 ulike moglegheiter når siffera skal følgje etter kvarandre. Han har altså $$ 2·5=10$$ moglege val, og berre eitt av dei er riktig. Sannsynet blir då $$ \frac{\mathrm{talet} \mathrm{på} \mathrm{gunstige}}{\mathrm{talet} \mathrm{på} \mathrm{moglege}}=\frac{1}{10}.$$

a) Sannsynet er $$ \frac{\mathrm{gunstige}}{\mathrm{moglege}}=\frac{{\displaystyle 28 042}}{54 495}=0,514 5\approx 0,515$$.

b) Sannsynet blir $$ 1-0,515=0,485$$.

c) Sannsynet er

$$ 0,515·0,515=0,{515}^2=0,265 2\approx 0,265$$

d) Sannsynet er $$ 0,{485}^5·0,{515}^5=0,000 9\approx 0,001$$.

e) Dette kan vi sjå på som eit binomisk forsøk med $$ n=10$$ og $$ p=0,485$$.

Vi har den stokastiske variabelen $$ J$$: talet på jenter.

$$ P\left(J=5\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)·0,{485}^5·0,{515}^5=0,245$$

f) Vi bruker den same modellen som i e), men set $$ n=60$$:

$$ P\left(J=30\right)=\left(\begin{array}{c}60\\ 30\end{array}\right)·0,{485}^{30}·0,{515}^{30}=0,099 8\approx 0,100$$

a) Her kan vi bruke binomialformelen for å finne talet på moglege kombinasjonar:

$$ \left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)=2 598 960$$

b) Her må vi gruppere dei 52 korta på ulike måtar og bruke hypergeometrisk fordeling:

$$ P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}39\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)}=0,000 5$$

I GeoGebra sin sannsynskalkulator vel vi hypergeometrisk fordeling med populasjon $$ =52$$, $$ n=13$$ og utval $$ =5$$ og finn $$ P(5\le X\le 5)=0,000 5$$.

$$ P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}26\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}26\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)}\approx 0,025 3$$ (populasjon $$ =52$$, $$ n=26$$ og utval $$ =5$$)

$$ P\left(C\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}44\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 5\end{array}\right)}\approx 0,000 022$$

c) Det er no 4 kongar og 45 kort som ikkje er konge igjen. Ho kan få konge anten ein eller to gonger for å få minst ein konge:

Vi bruker hypergeometrisk fordeling i GeoGebra med populasjon lik 45, $$ n=4$$ og utval lik 2. Vi finn at $$ P\left(1\le X\le 2\right)=0,158 2$$.

a) Vi bruker binomialformelen og får $$ \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)=15.$$

b) Vi bruker binomialformelen og får

$$ \left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)=\frac{12!}{8!·4!}=\frac{\cancel{12}·11·10·9}{\cancel{4·3}·2}=\frac{990}{2}=495$$

c) Kvart av dei 495 laga i c) kan ordnast (permuterast) på 4! måtar, så vi får $$ 495·4!=11 880.$$

a) Vi har $$ \mathrm{100\%\; -\; 40\%\; =\; 60\%\; =}\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$$ som et frukost.

b) Vi får $$ {\left(\frac{3}{5}\right)}^{20}=0,000 036\approx 0,000 04$$.

c) Her kan vi bruke binomisk sannsynsfordeling fordi:

1. Vi kan sjå på å trekkje kvar av dei 20 elevane som uavhengige delforsøk. Det har jo inga betydning for dei andre 19 elevane om ein av dei et frukost eller ikkje.

2. Vi har berre to utfall: anten et ein elev frukost før hen går heimanfrå, eller hen gjer det ikkje.

3. Sannsynet for at ein tilfeldig vald elev et frukost, er lik heile vegen. Dette kan vi seie fordi gruppa "norske ungdomsskuleelevar" er så stor at det ikkje vil påverke sannsynet at vi tek ut 20 stykke av ho.

Vi set den stokastiske variabelen $$ X$$ lik talet som et frukost og får

$$ P\left(X=12\right)=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)·{\left(\frac{3}{5}\right)}^{12}·{\left(\frac{2}{5}\right)}^8=0,179 7\approx 0,180$$

d) Vi bruker binomisk fordeling i GeoGebra med $$ n=20$$ og $$ p=0,6$$. Vi får at $$ P\left(10\le X\right)=0,872 4\approx 0,872$$.

e) I b) kan vi rekne med det same sannsynet for alle elevane fordi det er såpass mange ungdomsskuleelevar i Noreg. Når vi har ei gruppe som er såpass lita som 200, vil sannsynet for at den neste eleven har ete frukost, endre seg etter kvart som vi trekkjer elevar ut av gruppa.

f) Her bruker vi hypergeometrisk fordeling i GeoGebra og set populasjon $$ =200$$, $$ n=120$$ og utval $$ =20$$.

Vi får at

$$ P\left(20\le X\right)=0,000 018\approx 0,000 02$$

$$ P\left(12\le X\le 12\right)=0,189 3\approx 0,189$$

$$ P\left(10\le X\right)=0,884 7\approx 0,885$$

a) Vi har eit ordna utval utan tilbakelegging, så her skal vi finne talet på permutasjonar. Vi får $$ 5!=120$$ ulike rekkjer.

b) Her har vi eit ordna utval med tilbakelegging. Vi kan få $$ 6^3=216$$ ulike tal.

c) Vi har 9 val på kvar plass, og vi kan bruke alle tala om igjen. Vi har altså eit ordna utval med tilbakelegging:

$$ 9·9·9=729$$

d) Mellom 99 og 1 000 er det 900 tal, og alle er tresifra (hugs at verken 99 eller 1 000 er med i denne mengda).
Vi såg i c) at det finst 729 tresifra tal utan 0. Då kan vi finne talet på tal som inneheld 0 ved å ta $$ 900-729=171$$ tal med minst ein null.

a) Her kan vi sjå på det å så tre frø som eit binomisk forsøk med $$ n=3$$ og $$ p=0,9$$.

Vi set den stokastiske variabelen $$ X$$ lik talet på frø som spirer.

$$ P\left(X=0\right)=0,1^3=0,001$$

b) $$ P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)·0,9^1·0,1^2=0,027$$

c) Vi har

$$ P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-0,001=0,999$$

d) Her er det enklast å prøve seg fram. Vi reknar ut at sannsynet for at $$ X=2$$ dersom ho sår to frø, er

$$ P(X=2)=0,9^2=0,81=\mathrm{81\; \%}$$

Dette er for lite. Vi bruker det vi fann i b) og c) for å finne sannsynet for minst to spirer dersom vi sår tre frø:

$$ \begin{array}{rcl}P\left(X\ge 2\right) & =& 1-P\left(X=0\right)-P\left(X=1\right)\\ & =& 1-0,001-0,027\\ & =& 0,972\\ & =& 97,\mathrm{2\; \%}\end{array}$$

Vi ser at det held med tre frø for at minst 95 prosent skal spire.

e) Vi legg inn i GeoGebra. Vi vel binomisk fordeling med $$ p=0,9$$. Vi set svaret til å vere $$ P\left(10\le X\right)$$. Så prøver vi oss med ulike verdiar for $$ n$$ til vi finn talet på forsøk vi må gjere.

Vi finn at ved $$ n=12$$ har vi

$$ P\left(X\ge 10\right)=0,889 1\approx 0,889=88,\mathrm{9\; \%}$$

Ved $$ n=13$$ har vi

$$ P\left(X\ge 10\right)=0,965 8\approx 0,966=96,\mathrm{6\; \%}$$

a) Her har vi ei hypergeometrisk fordeling. Vi har 28 menneske, 8 av dei er nordmenn. Vi set opp i GeoGebra med populasjon lik 28, $$ n=28$$ og utval lik 5. Vi får at

$$ P\left(X=5\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 5\end{array}\right)}=0,000 56\approx 0,000 6$$

b) Vi bruker den same fordelinga i GeoGebra, men set P(X=2):

$$ P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 5\end{array}\right)}=0,324 7\approx 0,325$$

c) Her deler vi opp i to grupper, vi får ei gruppe med Per og Kari og ei gruppe med dei 26 andre. I GeoGebra endrar vi no $$ n$$ til 2.

$$ P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}26\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 5\end{array}\right)}=0,026 4\approx 0,026$$

d) Her kan vi dele dei 28 opp i tre ulike grupper: Per, Kari og resten. Vi definerer hendinga $$ P$$: Per er med, men ikkje Kari.

Då får vi den følgjande utrekninga:

$$ P\left(P\right)=\frac{\left(\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{l}26\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}28\\ 5\end{array}\right)}=0,152 1\approx 0,152$$

Vi kan òg bruke fordelinga frå c) og finne $$ P(X=1)$$. Då får vi sannsynet for at nøyaktig 1 av dei to er med. Dette sannsynet er 0,3042, altså det dobbelte av at berre Per er med.

a)
$$ \begin{array}{l}P\left(S\right)=\frac{10}{750}\\ P\left(\overline{S}\right)=\frac{740}{750}=\frac{74}{75}\\ P\left(T|S\right)=0,933\\ P\left(T|\overline{S}\right)=1-0,994=0,006\end{array}$$

b) Vi skal altså finne $$ P\left(T\right)$$. Dette finn vi ved å finne summen av sannsynet for at testen slår ut på sjuke, og sannsynet for at testen slår ut på dei friske.

$$ \begin{array}{l}P\left(T\right)=P\left(T\cap S\right)+P\left(T\cap \overline{S}\right)\\ P\left(T\right)=P\left(S\right)·P\left(T|S\right)+P\left(\overline{S}\right)·P\left(T|\overline{S}\right)\\ P\left(T\right)=\frac{1}{75}·0,933+\frac{74}{75}·0,006=0,018 3\approx 0,018\end{array}$$

c)
$$ \begin{array}{l}P\left(\mathrm{Alle} \mathrm{dei} \mathrm{ti} \mathrm{smitta} \mathrm{testar} \mathrm{positivt}\right)=\\ P{\left(T|S\right)}^{10}=0,{933}^{10}=0,499 8\approx 0,500\end{array}$$

d)
$$ \begin{array}{l}P\left(\mathrm{Alle} \mathrm{usmitta} \mathrm{testar} \mathrm{negativt}\right)=\\ P{\left(T|\overline{S}\right)}^{740}=0,{994}^{740}=0,011 6\approx 0,012\end{array}$$

e) Vi løyser i GeoGebra. Vi bruker binomisk sannsynsmodell med $$ n=750$$ og $$ p=0,018$$, og vi set $$ 10\le X\le 10$$. Vi får at sannsynet er 0,075 8.

f) Vi endrar intervallet i modellen frå e) og set $$ 0\le X\le 0$$. Vi får at sannsynet er 0,000 001 212 3, det vil seie tilnærma 0.

g) Her må vi finne kombinasjonen av at dei 10 elevane som er smitta, testar positivt og dei 740 andre testar negativt:

$$ \begin{array}{rcl}P\left(\mathrm{De} \mathrm{ti} \mathrm{positive} \mathrm{testane} \mathrm{er} \mathrm{dei} \mathrm{ti} \mathrm{smitta}\right) & =& 0,500·0,012\\ & =& 0,006\end{array}$$

Vi startar med å lage ein algoritme:

1. Vi importerer "random".

2. Vi opprettar ein variabel for å lagre talet på seksarar (suksess).

3. Vi lagar ei for-lykkje der vi kastar dei tre terningane mange gonger.

4. Inne i for-lykkja bruker vi if-elif for å sjekke om vi får ein seksar på nokre av terningane, og vi legg til resultatet i riktig plasshaldar.

5. Vi finn og skriv ut sannsynet for å kome ut av huset på første tur ved å ta talet på suksessar delt på talet på forsøk.

Programmet kan sjå slik ut:

1import random
2suksess = 0     #variabel for seksar
3talPaForsok = 1000000 
4
5for i in range(talPaForsok):
6    terning1 = random.randint(1,6) 
7    terning2 = random.randint(1,6) 
8    terning3 = random.randint(1,6)
9    if terning1 == 6:
10        suksess = suksess + 1
11    elif terning2 == 6:
12        suksess = suksess + 1
13    elif terning3 ==  6:
14        suksess = suksess + 1
15    
16        
17print(f"Sannsynet for å kome ut av huset på første tur er {(suksess/talPaForsok):.3f}.")

Ein annan måte å løyse det på kan vere å bruke ei lykkje inne i lykkja:

1import random
2talPaSeksarar = 0
3talPaForsok = 100000
4
5for i in range(talPaForsok):
6    tal = 0
7    for i in range(3):
8        if tal != 6:
9            tal = random.randint(1,6)
10            if (tal == 6):
11                talPaSeksarar = talPaSeksarar+1
12                
13print(f"Sannsynet for å kome ut av huset på første tur er {(talPaSeksarar/talPaForsok):.3f}.")

Vi startar med å skrive ein algoritme for programmet vi skal lage:

1. Vi importerer random slik at vi kan simulere terningkast.

2. Vi opprettar ein variabel for talet på forsøk der vi får 5 eller 6 på ein av terningane (suksess).

3. Vi lagar ei for-lykkje der vi "kastar terningane" mange gonger.

4. Vi bruker ei if-setning for å sjekke om vi vinn og legg resultatet til riktig plasshaldar.

6. Vi finn og skriv ut sannsynet for siger ved å dele talet på suksessar på talet på forsøk.

Programmet kan sjå slik ut:

1import random
2suksess = 0     #variabel for vinnarkast
3talPaForsok = 1000000
4
5for i in range(talPaForsok):
6    terning1 = random.randint(1,6)     #kastar terning 1
7    terning2 = random.randint(1,6)     #kastar terning 2
8    if terning1 > 4 or terning2 > 4:
9        suksess = suksess + 1
10        
11print(f"Sannsynet for å vinne i dette spelet er {(suksess/talPaForsok):.3f}.")

Her kan det òg vere lurt å lage algoritmar først. Vi viser her berre forslag til program.

a)

Vi har 52 kort i ein kortstokk. 13 av dei er hjarter. Så trekkjer vi tilfeldig 5 kort i kortstokken. Dersom det første kortet vi trekkjer ikkje er ein hjarter, treng vi ikkje å halde fram med å trekkje, då veit vi at vi har ein fiasko. Så fort vi ikkje trekkjer ein hjarter, kan vi stoppe trekkinga.

I simuleringa der vi trekkjer frå ein "bunke" på 52 "kort", lèt vi dei 13 første tala symbolisere hjarter. Vi kunne òg ha valt at dei 13 siste tala skulle ha symbolisert hjarter, eller vi kunne ha plukka ut kva som helst 13 andre av dei 52 tala. Det er enkelt å teste på om resultatet av trekkinga er ein hjarter når det betyr at vi testar om det talet vi har trekt, er mindre enn 13. Legg merke til at vi for kvar hjarter vi trekkjer, må redusere talet på hjarter i kortstokken.

1import random
2
3suksess = 0
4fiasko = 0
5
6for i in range(100000):
7    a = random.randint(1,52)     #trekkjer det første kortet
8    if a > 13:     #a er ikkje hjarter
9        fiasko = fiasko + 1
10    else:     #a er hjarter
11        b = random.randint(1,51)     #trekkjer det neste kortet
12        if b > 12:     #b er ikkje hjarter
13            fiasko = fiasko + 1
14        else:     #b er hjarter
15            c = random.randint(1,50)     #osv.
16            if c > 11:
17                fiasko = fiasko + 1
18            else:
19                d = random.randint(1,49)
20                if d > 10:
21                    fiasko = fiasko + 1
22                else:
23                    e = random.randint(1,48)
24                    if e > 9:
25                        fiasko = fiasko + 1
26                    else:
27                        suksess = suksess + 1
28
29print(f"Sannsynet for å få fem hjarter er {(suksess/(suksess + fiasko)):.5f}.")

b)

Her bruker vi at vi veit at det vil vere likt sannsyn for kvar av dei fire fargane, og vi utvidar programmet i den siste linja ved å gonge med 4:

print(f"Sannsynet for å få fem like kort er {(4*suksess/(suksess + fiasko)):.5f}")

c)

I denne oppgåva må vi tenkje litt annleis, sidan vi ikkje kan slutte trekkinga med ein gong vi ikkje får ei dame. Vi må trekkje alle fem korta og sjekke om vi får tre damer på handa.

1import random
2
3talPaForsok = 100000
4suksess = 0
5
6for i in range(talPaForsok):
7    damer = 0    #plasshaldar for talet for damer på handa
8    kort = 0     #plasshaldar for verdien på kortet vi trekkjer
9    for j in range(5):    
10        kort = random.randint(1,52-j)   #vi trekkjer fem kort
11        if kort < (5-damer):            #vi sjekkar om kortet er ei dame
12            damer = damer + 1           #viss kortet er ei dame, tel vi det opp
13                                
14    if damer == 3:                      #vi sjekkar om det vart tre damer  
15        suksess = suksess + 1           #vi legg til suksessen
16    
17sannsyn = suksess/talPaForsok         
18 
19print(f"Sannsynet for å få tre damer er {sannsyn:.5f}.")

Dersom du ønskjer at programmet ditt skal vise at du trekkjer til dømes kløver dame eller spar ess, kan du bruke "product()" frå modulen "itertools". Under ser du eit døme som ikkje berre har simulert reint matematisk, men faktisk laga kortstokken først ved å lage ei liste som inneheld alle korta i kortstokken:

1import itertools, random
2
3sort = ["hjarter", "kløver", "ruter", "spar"]
4verdi = ["A", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "J", "Q", "K"]
5
6talPaForsok = 1000000
7talPaUtdelte = 5
8treDamer = 0
9
10for i in range(talPaForsok):
11    talpaDamer = 0
12    kortstokk = list(itertools.product(sort,verdi))
13    for i in range(talPaUtdelte):
14        nr = random.randint(0,len(kortstokk) - 1)
15        if kortstokk[nr][1] == "Q":
16            talPaDamer = talPaDamer + 1
17        del kortstokk[nr]
18    if talPaDamer == 3:
19        treDamer = treDamer + 1
20        
21print(f"Fem kort er delte ut {talPaForsok} gonger. {treDamer} gonger vart resultatet at nøyaktig tre damer vart delte ut.")
22print(f"Sannsynet for at det er nøyaktig tre damer, blir ut frå dette {(treDamer/talPaForsok):.5f}.")