Modellering med andregradsfunksjonar

Sidan summen av dei to veggane er 2 m og den eine er $x$, må den andre vere $2-x$.

Arealet er produktet av lengde og breidde, og vi får

$A\left(x\right)=x\left(2-x\right)=2x-x^2$

Sidan planken er 2 m, kan ikkje nokon av sidene vere større enn det. Ingen av sidene kan vere null eller mindre. $x$ må altså vere mindre enn 2 m og større enn 0 m.

I praksis må senga vere brei nok og lang nok til at hunden skal få plass. Vi kan ikkje seie noko heilt eksakt, men vi kan sjå for oss at senga må vere minimum ein halv meter i kvar retning. Då er 0,5 nedre grense for $x$. Den øvre grensa for $x$ får vi når den andre sida er 0,5. Då kan vi løyse likninga

$\begin{array}{rcl}2-x& =& 0,5\\ -x& =& 0,5-2\\ x& =& 1,5\end{array}$

Då blir den praktiske definisjonsmengda $[0.5 , 1,5]$.

Dette kan løysast på fleire måtar. Vi kan teikne funksjonen og finne toppunktet (korleis veit vi at funksjonen har eit toppunkt?). Alternativt kan vi starte med å rekne ut kor stort arealet er når $x=0,5$ og når $x=1,5$ sidan dette er grensene for definisjonsmengda.

$$\begin{gathered} A\left(0,5\right)=2·0,5-0,5^2=1-0,25=0,75 \\ A\left(1,5\right)=2·1,5-1,5^2=3-2,25=0,75 \end{gathered}$$

Kvifor får vi same areal?

For å finne toppunktet, kan vi bruke at andregradsfunksjonar er symmetriske. Det betyr at sidan vi fekk same svar på dei to utrekningane over, må toppunktet liggje midt i mellom 0,5 og 1,5, altså for $x=1$. Då er begge sidene lik 1 m, og arealet må bli 1 m².

Den praktiske verdimengda til funksjonen blir derfor $V_A=[0.75 , 1]$.

Ut ifrå løysinga i den førre oppgåva får vi den største moglege hundesenga når sidene er 1 m, og då er arealet 1 m².

Når vi løyser likninga, finn vi ut for kva $x$-verdiar arealet er lik 0,84 m². Når vi løyser ulikskapen, finn vi ut for kva $x$-verdiar arealet er mindre enn eller lik 0,84 m². Når vi skal løyse ulikskapen, må vi først starte med å løyse den tilsvarande likninga:

$\begin{array}{rcl} A\left(x\right) & =& 0,84 \\ 2x-x^2 & =& 0,84\\ -x^2+2x-0,84 & =& 0\end{array}$

Vi løyser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-0,84\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4-3,36}}{-2}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{0,64}}{-2}\\ & =& \frac{-2\pm 0,8}{-2}\\ x & =& \frac{-2+0,8}{-2}=0,6 \vee x=\frac{-2-0,8}{-2}=1,4\end{array}$

Sidan vi veit mykje om funksjonen $A\left(x\right)$ frå før, ser vi at dersom $A\left(x\right)\le 0,84$, må $x$ vere mindre eller lik 0,6 og større eller lik 1,4. Samtidig kan ikkje $x$ vere mindre enn 0,5 eller større enn 1,5. Vi slepp å teikne forteiknslinje. Løysinga på ulikskapen blir derfor

$x\in [0.5 , 0.6] \cup [1.4 , 1.5]$

Alternativ skrivemåte: $0,5\le x\le 0,6 \vee 1,4\le x\le 1,5$

Teiknet $\vee$ betyr "eller".

Oppgåva kan òg løysast grafisk eller med CAS.

Her kan du bruke formlike trekantar.

For at skapet skal bli så stort som mogleg, må det plasserast inntil den høgaste veggen. Vi bruker at trekantane $GFC$ og $DHC$ er formlike. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}\frac{GF}{DH}& =& \frac{FC}{HC}\\ \frac{x}{300}& =& \frac{260-h}{260-65}\\ \frac{x}{300}& =& \frac{260-h}{195} |·195\\ \frac{x}{300}·195& =& \frac{260-h}{195}·195\\ \frac{195x}{300}& =& 260-h\\ h& =& 260-\frac{195}{300}x\\ h& =& 260-0,65x\end{array}$

Merk at vi ikkje multipliserte med fellesnemnaren, som er produktet av 300 og 195, fordi det gir oss enklare rekning når vi ønskjer å ende opp med $h=$.

$$ A\left(x\right)=x·h=x\left(260-0,65x\right)=260x-0,65x^2$$

Volumet av skapet er produktet av arealet av fronten, $A\left(x\right)$, og djupna av skapet. Vi må anta at veggen er plan slik at djupna av skapet er den same overalt. Då varierer volumet berre med $A\left(x\right)$, så når denne funksjonen har den største verdien sin, vil òg volumet av skapet vere størst.

Her betyr det at vi ønskjer å finne toppunktet til arealfunksjonen $A\left(x\right)$. Vi teiknar funksjonen i GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt".

Arealet av fronten er størst når breidda på skapet er 200 cm.
Høgda på skapet er då: $$ h=260-0,65·200=130 \mathrm{cm}.$$

Oppgåva kan òg løysast ved å bruke CAS.

Her er det mange moglegheiter. Eitt forslag er å dele opp skapet i to og la kvar del gå så høgt som mogleg. Då vil den høgre delen av skapet kome høgare enn resten.

Start med å finne ein ny formel for høgda $h$ der lengda $HC$ no blir $260-s$ i staden for $260-65$.

Bruk GeoGebra. Legg inn talet $s$ som ein glidar og la glidaren gå frå 0 til 260. Legg inn arealfunksjonen $A\left(x\right)$ frå den førre oppgåva med glidaren $s$. Finn toppunktet til arealfunksjonen med GeoGebra. Observer korleis toppunktet flyttar seg når verdien for $s$ blir endra med glidaren.

Kva betyr det i praksis når toppunktet til funksjonen har $x$-koordinat som er større enn 300?