Oppgåve

Eksponentialfunksjonar

Eksponentialfunksjonen er ein av dei mest brukte funksjonane i matematikken. Funksjonsuttrykket inneheld ein potens med x i eksponenten. Oppgåvene nedanfor viser kjende situasjonar der vi bruker eksponentialfunksjonar. Bruk eit hjelpemiddel, til dømes GeoGebra, når du skal løyse oppgåvene.

3.3.50

Eksponentialfunksjonane $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

$f (x) = 3 \cdot 0, 6^{x}$

$g (x) = 3 \cdot 1, 2^{x}$

$h (x) = 3 \cdot 2, 1^{x}$

a) Teikn grafane til dei tre funksjonane i det same koordinatsystemet.

Løysing

3 grafar teikna i det same koordinatsystemet med x-verdiar frå minus 5 til 6. Grafen f av x er lik 3 multiplisert med 0,6 opphøgd i x er teikna med blå farge. Grafen h av x er lik 3 multiplisert 2,1 opphøgd i x er teikna med grøn farge. Grafen g av x er lik 3 multiplisert med 1,2 opphøgd i x. Skjermutklipp. — Grafane til f, g og h teikna i det same koordinatsystemet. Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

b) Grafane skjer andreaksen i 3. Kva er grunnen til det?

Løysing

Når $x = 0$ , vil vekstfaktoren opphøgd i 0 bli 1, og grafane vil då skjere andreaksen i 3.

c) Kva betydning har vekstfaktoren for stiginga til grafen?

Løysing

Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høgre.
Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen søkke mot høgre.

3.3.51

Ein gul skuter ved sjøen. Foto. — Bilete: Jens Sølvberg / CC BY-NC-SA 4.0

Miriam kjøpte ein skuter for 10 000 kroner i byrjinga av 2020. Vi reknar med at verdien søkk med 15 prosent per år.

a) Lag eit funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser kor mykje skuteren er verd etter $x$ år.

Løysing

Vekstfaktoren ved 15 prosent nedgang er

$1 - \frac{15}{100} = 0, 85$

Funksjonsuttrykket blir

$S (x) = 10 000 \cdot 0, 85^{x}$

b) Teikn grafen til S. Vel $x$ mellom 0 og 8.

Løysing

Grafen til funksjonen S av x er lik 10000 multiplisert med 0,85 opphøgd i x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 8. Linja y er lik 3000 er også teikna, og skjeringspunktet B mellom linja og grafen til S er markert og har koordinatane 7,41 og 3000. Punktet A med koordinatane 3 og 6141,25 på grafen til S er også teikna. Skjermutklipp. — Graf som viser korleis verdien på ein skuter søkk. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

c) Finn grafisk verdien av skuteren når han er tre år gammal.

Løysing

Vi skriv inn punktet $(3, S (3))$ , sjå punkt $A$ på grafen. Verdien av skuteren etter tre år er 6 141 kroner.

d) Finn grafisk når verdien av skuteren er 3 000 kroner.

Løysing

Vi teiknar linja $y = 3 000$ . Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $S$ med kommandoen "Skjering mellom to objekt", sjå punkt $B$ på grafen. Det tek omtrent 7,4 år før verdien av skuteren er 3 000 kroner.

3.3.52

Temperaturen i eit kjøleskap dei første timane etter eit straumbrot er gitt ved

$T (x) = 3 \cdot 1, 15^{x}$

der $x$ er talet på timar etter straumbrotet.

a) Kva var temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet?

Løysing

Når straumbrotet skjer, er $x = 0$ . Vi set inn i 0 uttrykket og får $T (0) = 3 \cdot 1, 15^{0} = 3 \cdot 1 = 3$ . Temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet var $3$ grader celsius.

b) Kva var temperaturen i kjøleskapet fem timar etter straumbrotet?

Løysing

Fem timar etter straumbrotet er $x = 5$ . Vi får $T (5) = 3 \cdot 1, 15^{5} \approx 6, 03$ . Fem timar etter straumbrotet er temperaturen i kjøleskapet 6 grader celsius.

c) Teikn grafen til $T$ . La $x$ variere mellom 0 og 35.

Løysing

Grafen til t av x er lik 3 multiplisert med 1,15 opphøgd i x er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 35 og y-aksen går frå 0 til 30. Vi ser at grafen stig, og stiginga er aukande. Langs x-aksen står det x timar etter straumbrot, og langs y-aksen står det T temperatur i grader celsius. Skjermutklipp. — Grafen til T(x). Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-NC-SA 4.0

d) Kor lang tid går det før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader ?

Løysing

Vi teiknar linja $y = 10$ . Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Det tek omtrent 8,6 timar før det er 10 grader i kjøleskapet.

e) Kva betyr talet 1,15 i funksjonen $T (x)$ ?

Løysing

Sidan $T (x)$ er ein eksponentialfunksjon, kan vi sjå på talet 1,15 som ein vekstfaktor. 1,15 er vekstfaktoren ved 15 prosent stiging, så etter modellen stig temperaturen med 15 prosent for kvar time.

f) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom straumen er borte over ein lengre periode (i meir enn eitt døgn)? Grunngi svaret ditt.

Løysing

Vi kan setje $x$ lik til dømes 24 og 30 timar, og vi finn temperaturen i kjøleskapet:

$T (24) = 31, 63$

$T (30) = 69, 21$

Ut frå denne modellen vil temperaturen stige sterkt etter eitt døgn, noko som er lite sannsynleg. Modellen viser at det etter 30 timar vil vere nesten 70 grader i kjøleskapet. Vi ventar at temperaturen i kjøleskapet tilpassar seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk dersom straumbrotet varer over ein lengre periode.

g) Lag ei meir truverdig skisse av korleis du trur temperaturen i kjøleskapet vil utvikle seg.

Løysing

Det er mest sannsynleg at temperaturen stig mest i starten. Når temperaturen nærmar seg romtemperatur, vil stiginga minke. Ein mogleg graf for temperaturutviklinga er teikna nedanfor.

Grafen til ein ukjend funksjon er teikna for x-verdiar mellom 0 og 13. Grafen er stigande heile vegen, men han stig mindre og mindre etter kvart som x blir større og større. Skjermutklipp. — Grafen til T(x). Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

3.3.53

Virus farga raude med gule overflateprotein. Foto. — Covid-19-virus farga og fotografert gjennom eit elektronmikroskop. Bilete: Science Photo Library / CC BY-NC 4.0

Covid-19 er ein smittsam sjukdom forårsaka av koronaviruset. Ein liten by, Alubia, brukte ein modell laga av anerkjende forskarar for å berekne talet på smitta personar per dag.

a) 9. februar 2021 var vekstfaktoren for smitte 1,22. Kva betyr det for utvikling av koronaviruset i Alubia?

Løysing

Spreiinga av koronaviruset auka med 22 prosent per dag etter 9. februar.

b) Gå ut ifrå at det allereie var 371 smitta før 9. februar. Lag eit funksjonsuttrykk, $A (x)$ , som viser talet på smitta personar i Alubia $x$ dagar etter 9. februar.

Løysing

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{x}$

c) Kor mange smitta personar var det i Alubia på valentinsdagen 14. februar?

Løysing

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{5} \approx 1 002, 7$

Det var 1 003 smitta personar i Alubia på valentinsdagen.

d) I nabobyen, Tiblix, hadde dei 735 smitta 9. februar. Utrekningar viste at talet på smitta personar auka med 8 prosent for kvar dag. Lag eit funksjonsuttrykk, $T (x)$ , som viser talet på smitta personar i Tiblix $x$ dagar etter 9. februar.

Løysing

$T (x) = 735 \cdot 1, 08^{x}$

e) Teikn grafane $A (x)$ og $T (x)$ i det same koordinatsystemet.

Løysing

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 10 og y-aksen går fra 0 til 2000. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En rød graf, a av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En blå graf, t av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Grafene krysser hverandre på omtrent x er lik 5,5. Skjermutklipp. — Grafene til A(x) og T(x). Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-NC-SA 4.0

f) Sjølv om Tiblix hadde nesten dobbelt så mange smitta personar som Alubia, vart situasjonen omvendt etter nokre dagar. Når vart det fleire smitta personar i Alubia enn i Tiblix?

Løysing

Vi vel "Skjering mellom to objekt" og får punktet (5.61, 1 131.77). Seks heile dagar etter 9. februar var det altså fleire smitta personar i Alubia enn i Tiblix.

g) Kor mange smitta personar var det i byane Alubia og Tiblix 18. februar 2021? Bruk funksjonsuttrykka $A (x)$ og $T (x)$ for å finne svaret.

Løysing

18. februar er ni dagar etter 9. februar. Vi skriv $x = 9$ og vel "Skjering mellom to objekt" for å finne punkta der linja skjer grafane. Vi les av verdien på skjeringspunkta. 18. februar var det 2 221 smitta personar i Alubia og 1 469 smitta personar i Tiblix.

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 11 og y-aksen går frå 0 til 2500. Langs x-aksen står det dagar etter 9. februar. Langs y-aksen står det tal på smitta personar. Ein blå graf, a av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøgd i x, er stigande, og han skjer y-aksen i 371. Ein raud graf, t av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøgd i x, er også stigande, og han skjer y-aksen i 735. Ei rett linje er teikna inn for x er lik 9. Linja skjer den raude grafen i punktet x er lik 9 og y er lik 1469,3. Linja skjer den blå grafen i punktet x er lik 9 og y er lik 2221,3. Skjermutklipp. — Grafane til A(x) og T(x). Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-NC-SA 4.0

3.3.54

Stabel med myntar omgitt av pengesetlar. Foto. — Bilete: Gorm Kallestad / CC BY-NC-SA 4.0

Salim får 15 000 kroner i gåve frå bestefar. Han set pengane i banken og får ei årleg rente på 5,3 prosent.

a) Lag eit funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser kor mykje pengar Salim har i banken etter $x$ år.

Løysing

$S (x) = 15 000 \cdot 1, 053^{x}$

b) Venen til Salim, Isak, sette 17 000 kroner i banken samtidig med Salim. Isak brukte ein annan bank og fekk ei årleg rente på 2,7 prosent. Lag eit funksjonsuttrykk, $I (x)$ , som viser kor mykje pengar Isak har på bankkontoen sin etter $x$ år.

Løysing

$I (x) = 17 000 \cdot 1, 027^{x}$

c) Teikn grafane til $S (x)$ og $I (x)$ i det same koordinatsystemet.

Løysing

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 25 og y-aksen går frå 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskot. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. Ein blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøgd i x, er stigande. Ein raud graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøgd i x, er også stigande. Skjermutklipp. — Grafane til I(x) og S(x). Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-NC-SA 4.0

d) Etter kor mange år har Salim for første gong meir pengar på bankkontoen sin enn Isak?

Løysing

Vi vel "Skjering mellom to objekt" for å finne punktet der grafane skjer kvarandre. Punktet viser at etter litt over fem år vil Salim ha meir pengar på kontoen enn Isak.

Grafisk løysing:

e) Etter kor mange år vil Salim for først gong ha over 30 000 kroner på bankkontoen sin?

Løysing

Vi lagar ei horisontal linje ved å velje $y = 30 000$ . Vi ser der linja skjer den blå grafen. Etter 14 år vil Salim for første gong ha over 30 000 kroner på kontoen sin.

Grafisk løysing:

3.3.50

3.3.51

3.3.52

3.3.53

3.3.54

Reglar for bruk av teksten "Eksponentialfunksjonar"